Lineare Gleichungssysteme · Erklären & üben

Lineare Gleichungssysteme Aufgaben

Du wählst ein passendes Verfahren, übersetzt Sachtexte in zwei Gleichungen und deutest die Lösung mit Einheiten. Entscheidend ist, was die beiden Variablen bedeuten.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Ein Verfahren passend wählen

Entgegengesetzte Koeffizienten sprechen für Addieren. Ist eine Variable bereits allein, bietet sich Einsetzen an. Sind beide Gleichungen nach derselben Variable aufgelöst, ist Gleichsetzen oft kurz.

Alle drei Verfahren liefern bei korrekten Umformungen dieselbe Lösungsmenge. Prüfe jedes Zahlenpaar in beiden ursprünglichen Gleichungen.

So geht es am Beispiel

Wähle ein kurzes Verfahren und löse $\mathsf{x+y=8\quad\textsf{und}\quad x-y=2}$ .

Addieren beseitigt y.

$\mathsf{2x=10}$ — beide Gleichungen addieren.

$\mathsf{x=5}$ — durch 2 teilen.

$\mathsf{5+y=8}$ — x in die erste Gleichung einsetzen.

$\mathsf{y=3}$ — 5 abziehen.

$\mathsf{5+3=8}$ — erste Probe.

$\mathsf{5-3=2}$ — zweite Probe.

Erklärung 02

Vom Text zum Modell

Lege die Variable mit ihrer Bedeutung fest. Übersetze zwei unabhängige Angaben in zwei Gleichungen. Löse das System und prüfe anschließend auch den Sachtext.

Bei Preisen gelten gemeinsame Einheiten. Bei Anzahlen sind nur nichtnegative ganze Zahlen sinnvoll. Eine negative rechnerische Lösung kann deshalb für die Situation unzulässig sein.

Die zwei Zoo-Einkäufe liefern zwei Gleichungen mit gemeinsamen Einzelpreisen.

So geht es am Beispiel

Im Zoo kosten zwei Erwachsenenkarten und eine Kinderkarte 28 Euro. Eine Erwachsenenkarte und zwei Kinderkarten kosten 23 Euro. Bestimme beide Einzelpreise.

a ist der Erwachsenenpreis, k der Kinderpreis, jeweils in Euro.

$\mathsf{2a+k=28}$ — erster Einkauf.

$\mathsf{a+2k=23}$ — zweiter Einkauf.

$\mathsf{2a+4k=46}$ — die zweite Gleichung mit 2 multiplizieren.

$\mathsf{3k=18}$ — die erste Gleichung von dieser Gleichung abziehen.

$\mathsf{k=6}$ — durch 3 teilen.

$\mathsf{a+2\cdot6=23}$ — in die zweite Ausgangsgleichung einsetzen.

$\mathsf{a+12=23}$ — ausrechnen.

$\mathsf{a=11}$ — 12 abziehen.

$\mathsf{2\cdot11+6=28}$ — erster Einkauf geprüft.

$\mathsf{11+2\cdot6=23}$ — zweiter Einkauf geprüft.

So geht es am Beispiel

Ein Rechteck hat 30 cm Umfang. Seine Länge ist 3 cm größer als seine Breite. Bestimme die Maße.

l ist die Länge, b die Breite, jeweils in cm.

$\mathsf{2l+2b=30}$ — Umfang.

$\mathsf{l=b+3}$ — Längenunterschied.

$\mathsf{2(b+3)+2b=30}$ — l einsetzen.

$\mathsf{2b+6+2b=30}$ — Klammer ausmultiplizieren.

$\mathsf{4b+6=30}$ — b-Terme zusammenfassen.

$\mathsf{4b=24}$ — 6 abziehen.

$\mathsf{b=6}$ — durch 4 teilen.

$\mathsf{l=6+3}$ — zurückeinsetzen.

$\mathsf{l=9}$ — ausrechnen.

$\mathsf{2\cdot9+2\cdot6=30}$ — Umfang prüfen.

$\mathsf{9=6+3}$ — Unterschied prüfen.

Erklärung 03

Ergebnis prüfen und weitergehen

Ein vollständiges Ergebnis passt zu beiden Gleichungen und zum Text. Benenne die gesuchten Größen mit Einheiten. Gib bei einer Verfahrenwahl einen konkreten Grund an.

Mehr als zwei Variablen lassen sich systematisch mit dem Gauß-Algorithmus dieses Blocks behandeln. Dort folgen Zeilenstufenform und vollständiges Rückwärtseinsetzen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Lineare Gleichungssysteme Aufgaben · GrundlagenWähle ein kurzes Verfahren, begründe es und löse $\mathsf{2x+y=11\quad\textsf{und}\quad 3x-y=9}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Verfahren und Grund
Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Das Additionsverfahren beseitigt y.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{5x=20}$ — addieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=4}$ — durch 5 teilen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{8+y=11}$ — x in die erste Gleichung einsetzen und das Produkt berechnen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=3}$ — 8 abziehen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot4+3=11}$ — erste Probe.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3\cdot4-3=9}$ — zweite Probe.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Verfahren und GrundAddieren, weil sich +y und −y aufheben.
2. Lösungsmenge $\mathsf{L=\{(4,3)\}}$
02
Aufgabe 2Lineare Gleichungssysteme Aufgaben · GrundlagenWähle ein kurzes Verfahren, begründe es und löse $\mathsf{y=3x-1\quad\textsf{und}\quad y=-x+7}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Verfahren und Grund
Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x+(-1)=-1x+(7)}$ — die beiden Ausdrücke für y gleichsetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{4x+(-1)=7}$ — auf beiden Seiten $\mathsf{-1x}$ abziehen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{4x=8}$ — auf beiden Seiten $\mathsf{-1}$ abziehen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=2}$ — beide Seiten durch $\mathsf{4}$ teilen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=3\cdot(2)+(-1)}$ — x in die erste Gleichung einsetzen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=5}$ — ausrechnen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{5=3\cdot(2)+(-1)}$ — Probe in der ersten Gleichung.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{5=-1\cdot(2)+(7)}$ — Probe in der zweiten Gleichung.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Verfahren und GrundGleichsetzen, weil beide Gleichungen nach y aufgelöst sind.
2. Lösungsmenge $\mathsf{L=\{(2,5)\}}$
03
Aufgabe 3Lineare Gleichungssysteme Aufgaben · GrundlagenWähle ein kurzes Verfahren, begründe es und löse $\mathsf{x=2y+1\quad\textsf{und}\quad x+y=10}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Verfahren und Grund
Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Einsetzen nutzt das bereits freigestellte x.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2y+1+y=10}$ — x ersetzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3y+1=10}$ — zusammenfassen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3y=9}$ — 1 abziehen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=3}$ — durch 3 teilen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=2\cdot3+1}$ — zurückeinsetzen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=7}$ — ausrechnen.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{7=2\cdot3+1}$ — erste Probe.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{7+3=10}$ — zweite Probe.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Verfahren und GrundEinsetzen, weil x schon freigestellt ist.
2. Lösungsmenge $\mathsf{L=\{(7,3)\}}$
04
Aufgabe 4Lineare Gleichungssysteme Aufgaben · AnwendenZwei Zahlen haben die Summe 23. Die erste ist um 5 größer als die zweite. Stelle ein Gleichungssystem auf und bestimme die gesuchten Größen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gleichungssystem mit Variablenbedeutung
Erste Zahl
Zweite Zahl
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+y=23}$ — Summe.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=y+5}$ — Unterschied.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y+5+y=23}$ — einsetzen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2y+5=23}$ — zusammenfassen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2y=18}$ — 5 abziehen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=9}$ — durch 2 teilen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=9+5}$ — zurückeinsetzen.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=14}$ — ausrechnen.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{14+9=23}$ — Summe prüfen.
10. Schritt 10 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{14-9=5}$ — Unterschied prüfen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Gleichungssystem mit Variablenbedeutungx: erste Zahl, y: zweite Zahl. $\mathsf{x+y=23}$ , $\mathsf{x=y+5}$ .
2. Erste Zahl14
3. Zweite Zahl9
05
Aufgabe 5Lineare Gleichungssysteme Aufgaben · AnwendenDrei Hefte und ein Block kosten 11 Euro. Ein Heft und ein Block kosten 5 Euro. Stelle ein Gleichungssystem auf und bestimme die gesuchten Größen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gleichungssystem mit Variablenbedeutung
Heftpreis
Blockpreis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  h ist der Heftpreis, b der Blockpreis in Euro.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3h+b=11}$ — erster Kauf.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h+b=5}$ — zweiter Kauf.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2h=6}$ — zweite Gleichung von der ersten abziehen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h=3}$ — durch 2 teilen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3+b=5}$ — einsetzen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{b=2}$ — 3 abziehen.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3\cdot3+2=11}$ — erster Kauf geprüft.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3+2=5}$ — zweiter Kauf geprüft.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Gleichungssystem mit Variablenbedeutungh und b: Preise in Euro. $\mathsf{3h+b=11}$ , $\mathsf{h+b=5}$ .
2. Heftpreis3 Euro.
3. Blockpreis2 Euro.
06
Aufgabe 6Lineare Gleichungssysteme Aufgaben · AnwendenEine Fahrradvermietung verlangt eine feste Grundgebühr und einen Preis pro Stunde. Zwei Stunden kosten 13 Euro, fünf Stunden 25 Euro. Stelle ein Gleichungssystem auf und bestimme die gesuchten Größen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gleichungssystem mit Variablenbedeutung
Grundgebühr
Stundenpreis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  g ist die Grundgebühr in Euro, s der Stundenpreis in Euro pro Stunde.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g+2s=13}$ — zwei Stunden.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g+5s=25}$ — fünf Stunden.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3s=12}$ — erste Gleichung von der zweiten abziehen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s=4}$ — durch 3 teilen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g+8=13}$ — in die erste Gleichung einsetzen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g=5}$ — 8 abziehen.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{5+2\cdot4=13}$ — erste Probe.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{5+5\cdot4=25}$ — zweite Probe.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Gleichungssystem mit Variablenbedeutung $\mathsf{g+2s=13}$ , $\mathsf{g+5s=25}$ . g: Grundgebühr in Euro, s: Euro pro Stunde.
2. Grundgebühr5 Euro.
3. Stundenpreis4 Euro pro Stunde.
07
Aufgabe 7Lineare Gleichungssysteme Aufgaben · AnwendenEine Kiste soll 10 Kugeln enthalten. Rote Kugeln wiegen je 2 g, blaue je 5 g. Angeblich wiegen alle Kugeln zusammen 17 g. Stelle das System auf und beurteile, ob die Angabe möglich ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gleichungssystem
Beurteilung mit Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  r und b sind die Anzahlen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r+b=10}$ — Gesamtzahl.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2r+5b=17}$ — Gesamtgewicht.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2r+2b=20}$ — erste Gleichung mit 2 multiplizieren.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3b=-3}$ — diese Gleichung von der Gewichtsgleichung abziehen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{b=-1}$ — durch 3 teilen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r-1=10}$ — zurückeinsetzen.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r=11}$ — 1 addieren.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  Eine negative Kugelanzahl ist unmöglich. Schon zehn rote Kugeln wiegen 20 g.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Gleichungssystem $\mathsf{r+b=10}$ , $\mathsf{2r+5b=17}$ . r: rote, b: blaue Kugeln.
2. Beurteilung mit BegründungUnmöglich: rechnerisch b = −1. Anzahlen dürfen nicht negativ sein.
08
Aufgabe 8Lineare Gleichungssysteme Aufgaben · VertiefenBeim Schulfest werden 40 Karten verkauft. Erwachsene zahlen 8 Euro, Kinder 5 Euro. Insgesamt werden 260 Euro eingenommen. Stelle ein Gleichungssystem auf und bestimme die gesuchten Größen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gleichungssystem mit Variablenbedeutung
Erwachsenenkarten
Kinderkarten
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  a und k sind die Kartenanzahlen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a+k=40}$ — Gesamtzahl.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{8a+5k=260}$ — Einnahmen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{5a+5k=200}$ — erste Gleichung mit 5 multiplizieren.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3a=60}$ — diese Gleichung von der Einnahmengleichung abziehen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a=20}$ — durch 3 teilen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{20+k=40}$ — zurückeinsetzen.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{k=20}$ — 20 abziehen.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{20+20=40}$ — Anzahl prüfen.
10. Schritt 10 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{8\cdot20+5\cdot20=260}$ — Einnahmen prüfen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Gleichungssystem mit Variablenbedeutunga: Erwachsene, k: Kinder. $\mathsf{a+k=40}$ , $\mathsf{8a+5k=260}$ .
2. Erwachsenenkarten20 Karten.
3. Kinderkarten20 Karten.
09
Aufgabe 9Lineare Gleichungssysteme Aufgaben · VertiefenBeim Pflanzenverkauf kosten kleine Töpfe 3 Euro und große Töpfe 7 Euro. Es werden 30 Töpfe für insgesamt 150 Euro verkauft. Stelle ein Gleichungssystem auf und bestimme die gesuchten Größen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gleichungssystem mit Variablenbedeutung
Kleine Töpfe
Große Töpfe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  k und g sind die Anzahlen kleiner und großer Töpfe.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{k+g=30}$ — Anzahl.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3k+7g=150}$ — Einnahmen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3k+3g=90}$ — erste Gleichung mit 3 multiplizieren.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{4g=60}$ — diese Gleichung von der zweiten abziehen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g=15}$ — durch 4 teilen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{k+15=30}$ — zurückeinsetzen.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{k=15}$ — 15 abziehen.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{15+15=30}$ — Anzahl prüfen.
10. Schritt 10 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3\cdot15+7\cdot15=150}$ — Einnahmen prüfen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Gleichungssystem mit Variablenbedeutungk: kleine Töpfe, g: große Töpfe. $\mathsf{k+g=30}$ , $\mathsf{3k+7g=150}$ .
2. Kleine Töpfe15 Töpfe.
3. Große Töpfe15 Töpfe.
10
Aufgabe 10Lineare Gleichungssysteme Aufgaben · VertiefenTarif A kostet 12 Euro Grundgebühr und 2 Euro pro Stunde. Tarif B kostet 4 Euro Grundgebühr und 4 Euro pro Stunde. Nach wie vielen Stunden sind beide gleich teuer, und wie hoch ist dann der Preis? Stelle ein Gleichungssystem auf und bestimme die gesuchten Größen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gleichungssystem mit Variablenbedeutung
Stundenzahl
Gemeinsamer Preis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  x ist die Stundenzahl, y der Preis in Euro.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=12+2x}$ — Tarif A.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=4+4x}$ — Tarif B.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{12+2x=4+4x}$ — gleichsetzen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{12=4+2x}$ — 2x abziehen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{8=2x}$ — 4 abziehen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=4}$ — durch 2 teilen.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=12+2\cdot4}$ — zurückeinsetzen.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=20}$ — ausrechnen.
10. Schritt 10 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{20=4+4\cdot4}$ — auch Tarif B prüfen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Gleichungssystem mit Variablenbedeutungx: Stunden, y: Euro. $\mathsf{y=12+2x}$ , $\mathsf{y=4+4x}$ .
2. Stundenzahl4 Stunden.
3. Gemeinsamer Preis20 Euro.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich wähle ein passendes Verfahren und begründe die Wahl.
Ich bestimme alle gesuchten Größen und prüfe die Ausgangsgleichungen.
Ich erkenne Widersprüche und freie Variablen.

AT Academy · Version 2026-10-21