AT Academy
Zum Mathematik-Inhalt

Summen · Erklären & üben

Gaußsche Summenformel

Die Zahlen von 1 bis n lassen sich geschickt paaren. So entsteht eine kurze Formel, mit der du lange Summen und passende Sachaufgaben ohne einzelnes Addieren berechnest.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die Summe von 1 bis n

Für eine positive ganze Zahl n gilt:

1+2+⋯+n=∑k=1nk=n(n+1)2\mathsf{1+2+\cdots+n=\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}2}

n ist hier die letzte Zahl und zugleich die Anzahl der Summanden. Bei einer Summe mit anderem Anfang oder anderer Schrittweite musst du die Formel passend anpassen.

So geht es am Beispiel

Berechne 1+2+⋯+40\mathsf{1+2+\cdots+40}.

n=40\mathsf{n=40}
S=40⋅412\mathsf{S=\frac{40\cdot41}{2}}
S=20⋅41\mathsf{S=20\cdot41}
S=820\mathsf{S=820}

Ergebnis

Die Summe der Zahlen von 1 bis 40 ist 820.

Erklärung 02

Warum die Paarbildung funktioniert

Schreibe die Summe einmal vorwärts und einmal rückwärts untereinander. Jede Spalte hat denselben Wert n+1\mathsf{n+1}. Es gibt n Spalten.

S=1+2+⋯+(n−1)+n\mathsf{S=1+2+\cdots+(n-1)+n}
S=n+(n−1)+⋯+2+1\mathsf{S=n+(n-1)+\cdots+2+1}
2S=n(n+1)\mathsf{2S=n(n+1)}
S=n(n+1)2\mathsf{S=\frac{n(n+1)}2}

Dieser Weg verdoppelt zunächst die ganze Summe. Er funktioniert auch für ungerades n, ohne einen mittleren Summanden falsch zu zählen.

Vorwärts- und Rückwärtssumme von 1 bis 6 mit sechs Spaltensummen 7.

Erklärung 03

Teilbereiche durch Abziehen berechnen

Für ganze Zahlen 1≤a≤b\mathsf{1\le a\le b} entfernst du aus der Summe von 1 bis b die Zahlen von 1 bis a−1\mathsf{a-1}:

∑k=abk=b(b+1)2−(a−1)a2\mathsf{\sum_{k=a}^{b}k=\frac{b(b+1)}2-\frac{(a-1)a}2}

Das untere Teilstück endet bei a−1\mathsf{a-1}, weil a selbst noch enthalten sein soll.

So geht es am Beispiel

Berechne 12+13+⋯+30\mathsf{12+13+\cdots+30}.

S=∑k=130k−∑k=111k\mathsf{S=\sum_{k=1}^{30}k-\sum_{k=1}^{11}k}
S=30⋅312−11⋅122\mathsf{S=\frac{30\cdot31}{2}-\frac{11\cdot12}{2}}
S=465−66\mathsf{S=465-66}
S=399\mathsf{S=399}

Ergebnis

Die 19 Summanden von 12 bis 30 ergeben 399.

Erklärung 04

Vielfache und regelmäßige Zahlenfolgen

Bei 2+4+⋯+2n\mathsf{2+4+\cdots+2n} kann der konstante Faktor 2 ausgeklammert werden: 2∑k=1nk=n(n+1)\mathsf{2\sum_{k=1}^{n}k=n(n+1)}. Hier zählt n die Summanden; die letzte Zahl ist 2n.

Für die ersten n ungeraden Zahlen gilt ∑k=1n(2k−1)=2∑k=1nk−n=n2\mathsf{\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=2\sum_{k=1}^{n}k-n=n^2}.

So geht es am Beispiel

Berechne 5+10+15+⋯+60\mathsf{5+10+15+\cdots+60}.

60=5⋅12\mathsf{60=5\cdot12}
S=5∑k=112k\mathsf{S=5\sum_{k=1}^{12}k}
S=5⋅12⋅132\mathsf{S=5\cdot\frac{12\cdot13}{2}}
S=390\mathsf{S=390}

Ergebnis

Es gibt 12 Summanden; n ist 12 und nicht 60.

Erklärung 05

Zählen in Sachaufgaben

Eine Treppe mit 1, 2, 3, …, n Steinen pro Reihe enthält n(n+1)/2\mathsf{n(n+1)/2} Steine. Bei regelmäßig zunehmenden Reihen können Anfangsbestand und Zuwachs getrennt summiert werden.

Bei einem Turnier mit n Mannschaften spielt jede Paarung genau einmal. Die Zahl der Spiele ist (n−1)+(n−2)+⋯+1=n(n−1)/2\mathsf{(n-1)+(n-2)+\cdots+1=n(n-1)/2}. Das sind andere Grenzen als bei der Summe von 1 bis n.

Treppenfigur aus fünf Reihen mit insgesamt 15 quadratischen Steinen.

So geht es am Beispiel

Ein Saal hat 10 Reihen. Die erste enthält 8 Plätze, jede weitere 2 Plätze mehr. Wie viele Plätze sind es?

Die k-te Reihe enthält 8+2(k−1)\mathsf{8+2(k-1)} Plätze.

S=∑k=110(8+2(k−1))\mathsf{S=\sum_{k=1}^{10}(8+2(k-1))}
S=80+2∑j=09j\mathsf{S=80+2\sum_{j=0}^{9}j}
S=80+2⋅9⋅102\mathsf{S=80+2\cdot\frac{9\cdot10}{2}}
S=170\mathsf{S=170}

Ergebnis

Der Saal hat 170 Plätze.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Gaußsche Summenformel · EinstiegBerechne die Summe von 1 bis 25.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      S=25⋅26/2\mathsf{S=25\cdot26/2}
      S=25⋅13=325\mathsf{S=25\cdot13=325}

    Ergebnis

    1. Rechenweg und ErgebnisDie Summe ist 325.
  2. Aufgabe 2Gaußsche Summenformel · EinstiegBerechne 1+2+⋯+100\mathsf{1+2+\cdots+100}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      S=100⋅101/2\mathsf{S=100\cdot101/2}
      S=50⋅101=5050\mathsf{S=50\cdot101=5050}

    Ergebnis

    1. Rechenweg und ErgebnisDie Summe ist 5050.
  3. Aufgabe 3Gaußsche Summenformel · StandardErkläre die Paarbildung für die Zahlen von 1 bis 7 durch zwei entgegengesetzte Zeilen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Vorwärts: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Rückwärts: 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.

    3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      Jede der sieben Spalten ergibt 8.

      2S=7⋅8=56\mathsf{2S=7\cdot8=56}

    Ergebnis

    1. Rechenweg und ErgebnisS=28\mathsf{S=28}; das mittlere Paar ist 4+4\mathsf{4+4} in der verdoppelten Summe.
  4. Aufgabe 4Gaußsche Summenformel · StandardBerechne die Summe von 8 bis 20.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      S=20⋅21/2−7⋅8/2\mathsf{S=20\cdot21/2-7\cdot8/2}
      S=210−28=182\mathsf{S=210-28=182}

    Ergebnis

    1. Rechenweg und ErgebnisDie Summe ist 182.
  5. Aufgabe 5Gaußsche Summenformel · StandardBerechne 3+6+9+⋯+45\mathsf{3+6+9+\cdots+45}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      45=3⋅15\mathsf{45=3\cdot15}
      S=3∑k=115k\mathsf{S=3\sum_{k=1}^{15}k}
      S=3⋅15⋅16/2=360\mathsf{S=3\cdot15\cdot16/2=360}

    Ergebnis

    1. Rechenweg und ErgebnisDie Summe ist 360; es gibt 15 Summanden.
  6. Aufgabe 6Gaußsche Summenformel · StandardBerechne die Summe der ersten 12 ungeraden positiven Zahlen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      S=∑k=112(2k−1)\mathsf{S=\sum_{k=1}^{12}(2k-1)}
      S=2⋅12⋅13/2−12\mathsf{S=2\cdot12\cdot13/2-12}
      S=156−12=144\mathsf{S=156-12=144}

    Ergebnis

    1. Rechenweg und ErgebnisDie Summe 1+3+⋯+23\mathsf{1+3+\cdots+23} ist 144.
  7. Aufgabe 7Gaußsche Summenformel · StandardEine Treppenfigur hat 18 Reihen mit 1 bis 18 Steinen. Wie viele Steine sind es?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      S=18⋅19/2\mathsf{S=18\cdot19/2}
      S=9⋅19=171\mathsf{S=9\cdot19=171}

    Ergebnis

    1. Rechenweg und Ergebnis171 Steine.
  8. Aufgabe 8Gaußsche Summenformel · VertiefungBei 8 Mannschaften spielt jede Paarung genau einmal. Wie viele Spiele finden statt?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      S=7+6+⋯+1\mathsf{S=7+6+\cdots+1}
      S=7⋅8/2\mathsf{S=7\cdot8/2}
      S=28\mathsf{S=28}

    Ergebnis

    1. Rechenweg und Ergebnis28 Spiele.
  9. Aufgabe 9Gaußsche Summenformel · VertiefungEin Saal hat 6 Reihen mit 10, 13, 16, 19, 22 und 25 Plätzen. Berechne die Gesamtzahl mithilfe einer Summe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      S=∑k=05(10+3k)\mathsf{S=\sum_{k=0}^{5}(10+3k)}
      S=6⋅10+3⋅5⋅62\mathsf{S=6\cdot10+3\cdot\frac{5\cdot6}{2}}
      S=60+45=105\mathsf{S=60+45=105}

    Ergebnis

    1. Rechenweg und Ergebnis105 Plätze.
  10. Aufgabe 10Gaußsche Summenformel · VertiefungFür die Summe von 10 bis 30 wurde 30⋅31/2−10⋅11/2\mathsf{30\cdot31/2-10\cdot11/2} gerechnet. Erkläre und korrigiere den Fehler.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die Rechnung entfernt auch die 10.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Abgezogen werden darf nur die Summe von 1 bis 9.

      S=465−9⋅10/2\mathsf{S=465-9\cdot10/2}
      S=465−45=420\mathsf{S=465-45=420}

    Ergebnis

    1. Rechenweg und ErgebnisRichtig ist 420; die 10 muss enthalten bleiben.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich lese Index, Grenzen und Summand getrennt.
  • Ich zähle die Summanden und prüfe Anfangs- und Endwert.
  • Ich passe die Gaußsche Formel an den tatsächlich summierten Bereich an.

AT Academy · Version 2026-10-21

Gaußsche Summenformel | AT Academy