Summen · Erklären & üben

Summenzeichen

Das Summenzeichen fasst mehrere Additionen zusammen. Die Grenzen sagen, welche ganzzahligen Indexwerte eingesetzt werden; der Summand beschreibt den jeweiligen Term.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die Teile einer Summe lesen

In $\mathsf{\sum_{k=2}^{5}k^2}$ ist k der Index, 2 die untere Grenze, 5 die obere Grenze und $\mathsf{k^2}$ der Summand. Setze nacheinander alle ganzzahligen Werte von 2 bis einschließlich 5 ein.

\mathsf{\sum_{k=2}^{5}k^2=2^2+3^2+4^2+5^2}

Bei ganzzahligen Grenzen $\mathsf{a\le b}$ enthält $\mathsf{\sum_{k=a}^{b}a_k}$ genau $\mathsf{b-a+1}$ Summanden. Die Zahl der Summanden ist nicht immer die obere Grenze.

Zuordnung von vier Indexwerten zu den Summanden einer endlichen Summe.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\sum_{k=0}^{3}(2k+1)}$ .

\mathsf{2\cdot0+1=1}

\mathsf{2\cdot1+1=3}

\mathsf{2\cdot2+1=5}

\mathsf{2\cdot3+1=7}

\mathsf{\sum_{k=0}^{3}(2k+1)=1+3+5+7=16}

Erklärung 02

Konstante Summanden und kurze Grenzen

Bei $\mathsf{\sum_{k=2}^{6}4}$ hängt der Summand nicht von k ab. Die Zahl 4 wird fünfmal addiert: $\mathsf{5\cdot4=20}$ .

Bei gleicher unterer und oberer Grenze entsteht genau ein Summand: $\mathsf{\sum_{k=3}^{3}k^2=9}$ .

Für eine aufsteigende ganzzahlige Indexmenge mit unterer Grenze größer als oberer Grenze gibt es keine Indexwerte. Eine solche leere Summe hat nach der hier verwendeten Konvention den Wert 0, etwa $\mathsf{\sum_{k=4}^{3}k^2=0}$ .

Erklärung 03

Faktoren und Summen aufteilen

Ein konstanter Faktor darf vor die Summe: $\mathsf{\sum_{k=a}^{b}c\,a_k=c\sum_{k=a}^{b}a_k}$ . Der Faktor darf dabei nicht vom Index abhängen.

Bei gleichen Grenzen gilt $\mathsf{\sum_{k=a}^{b}(a_k+b_k)=\sum_{k=a}^{b}a_k+\sum_{k=a}^{b}b_k}$ . Das gilt ebenso für eine Differenz.

Teilstücke dürfen ohne Lücke und ohne doppelte Grenzstelle zusammengefügt werden: $\mathsf{\sum_{k=1}^{6}a_k=\sum_{k=1}^{3}a_k+\sum_{k=4}^{6}a_k}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\sum_{k=1}^{4}(3k+2)}$ mit den Regeln.

\mathsf{\sum_{k=1}^{4}(3k+2)=3\sum_{k=1}^{4}k+\sum_{k=1}^{4}2}

\mathsf{=3(1+2+3+4)+4\cdot2}

\mathsf{=30+8}

\mathsf{=38}

Erklärung 04

Den Index wechseln

Der Name des Index ist austauschbar: $\mathsf{\sum_{k=1}^{3}k^2=\sum_{j=1}^{3}j^2}$ . Eine Verschiebung verändert dagegen Grenzen und Summand gemeinsam.

Prüfe nach einer Verschiebung den ersten und letzten Summanden. Die tatsächlich addierten Werte sollen gleich bleiben.

Indexverschiebung mit passenden Grenzen und unveränderten Summanden.

So geht es am Beispiel

Schreibe $\mathsf{\sum_{k=2}^{5}k^2}$ mit einem Index j, der bei 0 beginnt.

\mathsf{j=k-2}

\mathsf{k=j+2}

\mathsf{k=2\Rightarrow j=0}

\mathsf{k=5\Rightarrow j=3}

\mathsf{\sum_{k=2}^{5}k^2=\sum_{j=0}^{3}(j+2)^2}

Erklärung 05

Typische Verwechslungen vermeiden

Die Summe von Quadraten ist nicht das Quadrat einer Summe: $\mathsf{1^2+2^2=5}$ , aber $\mathsf{(1+2)^2=9}$ .

Eine im Summanden vorhandene Variable außerhalb des Index bleibt erhalten. Zum Beispiel ist $\mathsf{\sum_{k=1}^{3}kx=(1+2+3)x=6x}$ .

Für die Summe $\mathsf{1+2+\cdots+n}$ gibt es die Gaußsche Summenformel. Sie wird im anschließenden Thema aus einer Paarbildung erklärt.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Summenzeichen · EinstiegSchreibe $\mathsf{\sum_{k=1}^{4}k^2}$ aus und berechne den Wert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1^2+2^2+3^2+4^2}$
  $\mathsf{1+4+9+16=30}$
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisDie Summe ist 30.
02
Aufgabe 2Summenzeichen · EinstiegBerechne $\mathsf{\sum_{j=0}^{4}(j+2)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2+3+4+5+6}$
  $\mathsf{=20}$
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisFünf Summanden ergeben 20.
03
Aufgabe 3Summenzeichen · StandardBerechne $\mathsf{\sum_{k=3}^{7}5}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{7-3+1=5}$ Summanden.
  $\mathsf{5\cdot5=25}$
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisDie Summe ist 25.
04
Aufgabe 4Summenzeichen · StandardBestimme $\mathsf{\sum_{k=4}^{4}(2k-1)}$ und $\mathsf{\sum_{k=4}^{3}(2k-1)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die erste Summe enthält nur k = 4.
  $\mathsf{2\cdot4-1=7}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die zweite Indexmenge ist leer.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisErste Summe 7, leere Summe 0.
05
Aufgabe 5Summenzeichen · StandardSchreibe $\mathsf{3+6+9+12+15}$ mit einem Summenzeichen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der k-te Summand ist 3k.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Indexwerte laufen von 1 bis 5.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{\sum_{k=1}^{5}3k}$ .
06
Aufgabe 6Summenzeichen · StandardBerechne $\mathsf{\sum_{k=1}^{3}(4k-2)}$ durch Aufteilen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{4\sum_{k=1}^{3}k-\sum_{k=1}^{3}2}$
  $\mathsf{=4(1+2+3)-3\cdot2}$
  $\mathsf{=24-6=18}$
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisDie Summe ist 18.
07
Aufgabe 7Summenzeichen · StandardZerlege $\mathsf{\sum_{k=2}^{8}k}$ nach dem Summanden mit Index 5 in zwei Summen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der erste Teil enthält die Indizes 2, 3, 4, 5.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der zweite Teil beginnt daher mit 6.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{\sum_{k=2}^{5}k+\sum_{k=6}^{8}k}$ .
08
Aufgabe 8Summenzeichen · VertiefungSchreibe $\mathsf{\sum_{k=3}^{6}(k+1)}$ mit $\mathsf{j=k-3}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{k=j+3}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Neue Grenzen: 0 und 3.
  $\mathsf{k+1=j+4}$
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{\sum_{j=0}^{3}(j+4)}$ ; beide Summen ergeben $\mathsf{4+5+6+7=22}$ .
09
Aufgabe 9Summenzeichen · VertiefungVergleiche $\mathsf{\sum_{k=1}^{3}k^2}$ mit $\mathsf{(\sum_{k=1}^{3}k)^2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\sum k^2=1+4+9=14}$
  $\mathsf{(\sum k)^2=(1+2+3)^2=36}$
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis14 und 36: Die Ausdrücke sind verschieden.
10
Aufgabe 10Summenzeichen · VertiefungVereinfache $\mathsf{\sum_{k=2}^{4}(kx+1)}$ , wobei x nicht der Summenindex ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(2x+1)+(3x+1)+(4x+1)}$
  $\mathsf{=(2+3+4)x+3}$
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{9x+3}$ .

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich lese Index, Grenzen und Summand getrennt.
Ich zähle die Summanden und prüfe Anfangs- und Endwert.
Ich passe die Gaußsche Formel an den tatsächlich summierten Bereich an.

AT Academy · Version 2026-10-21