Weitere Funktionstypen · Erklären & üben

Gebrochen rationale Funktionen

Gebrochen rationale Funktionen sind Quotienten von Polynomen. Ihre Nenner bestimmen ausgeschlossene Eingaben; nach dem Kürzen unterscheiden wir hebbare Lücken und echte Polstellen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Den ursprünglichen Nenner untersuchen

Eine rationale Funktion hat die Form f(x) = P(x)/Q(x), wobei P und Q Polynome sind und Q nicht das Nullpolynom ist. Der natürliche Definitionsbereich enthält alle reellen x mit Q(x) ≠ 0.

Bestimme die Ausschlüsse vor dem Kürzen. Ein gekürzter Term stimmt mit dem ursprünglichen nur auf dessen Definitionsbereich überein.

So geht es am Beispiel

Bestimme den Definitionsbereich von f(x) = (x+1)/(x²−4).

\mathsf{x^2-4=(x-2)(x+2)}

\mathsf{x^2-4=0\iff x=\pm2}

\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{-2;2\}}

Erklärung 02

Hebbare Lücke oder Polstelle

Fällt ein Nennerfaktor beim vollständigen Kürzen weg, kann an seiner Nullstelle eine hebbare Lücke entstehen. Der Grenzwert ist dann endlich; die ursprüngliche Funktion bleibt an der Stelle trotzdem undefiniert.

Bleibt nach vollständigem Kürzen ein Nennerfaktor stehen, während der gekürzte Zähler dort nicht 0 ist, liegt eine Polstelle vor. Die Funktionswerte werden beim Annähern unbeschränkt.

Gerade y = x+1 mit offenem Kreis bei (1 | 2); der ursprüngliche Bruch ist dort nicht definiert.

So geht es am Beispiel

Untersuche f(x) = (x²−1)/(x−1).

\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{1\}}

\mathsf{x^2-1=(x-1)(x+1)}

\mathsf{f(x)=x+1\quad(x e1)}

\mathsf{\lim_{x\to1}f(x)=2}

Erklärung 03

Nullstellen nur an erlaubten Eingaben

Eine Nullstelle liegt vor, wenn der Zähler 0 und der ursprüngliche Nenner nicht 0 ist. Eine ausgeschlossene Stelle ist keine Nullstelle, selbst wenn auch der Zähler dort verschwindet.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Nullstellen von f(x) = (x²−1)/(x−1).

Der Zähler ist bei −1 und 1 gleich 0.

1 ist aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen.

\mathsf{f(-1)=0/(-2)=0}

Erklärung 04

Asymptoten aus Umformung und Grenzwert

Eine senkrechte Asymptote x = c liegt an einer Polstelle. Eine waagerechte Asymptote y = L beschreibt einen endlichen Grenzwert für x → +∞ oder x → −∞.

Für einen echten Bruch mit kleinerem Zählergrad als Nennergrad ist y = 0 die waagerechte Asymptote. Bei gleichem Grad ist L der Quotient der Leitkoeffizienten.

Ist der Zählergrad um 1 größer, liefert die Polynomdivision eine schiefe Asymptote. Entscheidend ist, dass die Differenz zwischen Funktion und Gerade im Unendlichen gegen 0 geht.

So geht es am Beispiel

Untersuche f(x) = (x²+1)/(x−1).

\mathsf{x^2+1=(x-1)(x+1)+2}

\mathsf{f(x)=x+1+\frac2{x-1}}

\mathsf{\frac2{x-1}\to0\quad(x\to\pm\infty)}

Erklärung 05

Ein verschobener Hyperbelgraph

Bei f(x) = 2+1/(x−1) ist x = 1 eine Polstelle und y = 2 die waagerechte Asymptote. Links der Polstelle geht f gegen −∞, rechts gegen +∞.

Asymptoten sind keine zusätzlichen Graphenäste. Eine waagerechte oder schiefe Asymptote kann bei anderen rationalen Funktionen im endlichen Bereich geschnitten werden; ihre Definition betrifft das Grenzverhalten.

Getrennte Graphenäste von 2+1/(x-1), mit senkrechter Asymptote x = 1 und waagerechter Asymptote y = 2.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Gebrochen rationale Funktionen · EinstiegBestimme den Definitionsbereich von f(x) = 3/(x²−9).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2-9=(x-3)(x+3)}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=\pm3}$ — Nennernullstellen.
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{-3;3\}}$
02
Aufgabe 2Gebrochen rationale Funktionen · EinstiegKürze f(x) = (x²−4)/(x−2), erhalte den Definitionsbereich und bestimme die Lücke.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{2\}}$
  $\mathsf{x^2-4=(x-2)(x+2)}$
  $\mathsf{f(x)=x+2\quad(x e2)}$
  $\mathsf{\lim_{x\to2}f(x)=4}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisLoch bei (2 | 4); keine Polstelle.
03
Aufgabe 3Gebrochen rationale Funktionen · StandardBestimme die Nullstelle und die Polstelle von f(x) = (x−3)/(x+1).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{-1\}}$
  $\mathsf{x-3=0\iff x=3}$
  $\mathsf{f(3)=0/4=0}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Bei −1 ist der Zähler −4, also nicht 0.
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisNullstelle 3; einfache Polstelle −1.
04
Aufgabe 4Gebrochen rationale Funktionen · StandardBestimme die waagerechte Asymptote von f(x) = (3x²+1)/(2x²+5).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(x)=\frac{3+1/x^2}{2+5/x^2}}$
  $\mathsf{f(x)\to\frac32\quad(x\to\pm\infty)}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{y=3/2}$
05
Aufgabe 5Gebrochen rationale Funktionen · StandardBestimme die Asymptoten von f(x) = 4−2/(x+3).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Nenner wird bei −3 gleich 0, der Zähler des Bruchteils bleibt −2.
  $\mathsf{-2/(x+3)\to0\quad(x\to\pm\infty)}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisSenkrecht x = −3, waagerecht y = 4.
06
Aufgabe 6Gebrochen rationale Funktionen · StandardForme f(x) = (x²+2)/(x−1) um und bestimme die schiefe Asymptote.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2+2=(x-1)(x+1)+3}$
  $\mathsf{f(x)=x+1+\frac3{x-1}}$
  $\mathsf{3/(x-1)\to0\quad(x\to\pm\infty)}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisSchiefe Asymptote y = x+1; D = ℝ ohne 1.
07
Aufgabe 7Gebrochen rationale Funktionen · StandardUntersuche f(x) = (x−1)/((x−1)(x+2)) auf Lücke und Polstelle.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{1;-2\}}$
  $\mathsf{f(x)=\frac1{x+2}\quad(x\ne1,-2)}$
  $\mathsf{\lim_{x\to1}f(x)=\frac13}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Bei −2 bleibt ein Nennerfaktor erhalten.
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisHebbare Lücke (1 | 1/3); einfache Polstelle −2.
08
Aufgabe 8Gebrochen rationale Funktionen · VertiefungEine Person nennt x = 2 als Nullstelle von (x²−4)/(x−2). Korrigiere.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Bei 2 ist der ursprüngliche Nenner 0; die Funktion ist dort nicht definiert.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Nach Kürzen bleibt x+2 auf dem ursprünglichen Definitionsbereich.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Die erlaubte Zählernullstelle ist -2.
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisEinzige Nullstelle −2; bei 2 liegt ein Loch mit Grenzwert 4.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich bestimme den Definitionsbereich vor dem Kürzen.
Ich unterscheide Loch, Nullstelle und Polstelle.
Ich begründe Asymptoten durch Grenzwerte oder Division.

AT Academy · Version 2026-10-21