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Weitere Funktionstypen · Erklären & üben

Polstelle

An einer Polstelle werden die Funktionswerte beim Annähern unbeschränkt. Die verbleibende Vielfachheit des Nennerfaktors entscheidet, ob die beiden Seiten unterschiedliche oder gleiche Vorzeichen haben.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Erst vollständig kürzen

Eine Nennernullstelle ist nur ein Kandidat. Nach dem Kürzen gemeinsamer Faktoren muss noch ein Nennerfaktor übrig bleiben. Verschwindet er vollständig, liegt bei rationalen Funktionen eine hebbare Lücke vor.

Ist der Faktor (x−c) im ursprünglichen Nenner häufiger enthalten als im Zähler, bleibt eine Polstelle bei c. Die Differenz der Vielfachheiten ist die Polordnung.

So geht es am Beispiel

Untersuche f(x) = (x−2)/(x−2)³.

D=R∖{2}\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{2\}}
f(x)=1(x−2)2(x≠2)\mathsf{f(x)=\frac1{(x-2)^2}\quad(x\ne2)}

Von drei Nennerfaktoren wird einer gekürzt. Zwei bleiben.

Ergebnis

Polstelle zweiter Ordnung bei x = 2.

Erklärung 02

Gerade und ungerade Polordnung

In der Nähe einer Polstelle c kann man schreiben f(x)=h(x)/(x−c)m\mathsf{f(x)=h(x)/(x-c)^m}, wobei h stetig ist und h(c) ≠ 0. Der Faktor h behält in einer kleinen Umgebung sein Vorzeichen.

Ist m ungerade, wechselt (x−c)ᵐ das Vorzeichen: Die beiden unendlichen Grenzwerte haben entgegengesetzte Vorzeichen. Ist m gerade, haben beide Seiten dasselbe Vorzeichen.

Die Richtung +∞ oder −∞ hängt zusätzlich vom Vorzeichen von h(c) ab. Die Ordnung allein genügt dafür nicht.

Erklärung 03

Eine einfache Polstelle mit Seitenwechsel

Für f(x) = 2/(x−1) ist der Zähler positiv. Links von 1 ist der Nenner negativ, rechts positiv.

Einfache Polstelle bei 1 für 2/(x-1): linker Ast nach minus unendlich, rechter Ast nach plus unendlich. Keine Verbindung über die Polstelle.

So geht es am Beispiel

Gib die beiden einseitigen Grenzwerte von f(x) = 2/(x−1) an.

Für x → 1 von links ist x−1 negativ und sein Betrag wird beliebig klein.

lim⁡x→1−2x−1=−∞\mathsf{\lim_{x\to1^-}\frac2{x-1}=-\infty}

Für x → 1 von rechts ist x−1 positiv und beliebig klein.

lim⁡x→1+2x−1=+∞\mathsf{\lim_{x\to1^+}\frac2{x-1}=+\infty}

Ergebnis

Einfache Polstelle bei 1 mit Vorzeichenwechsel.

Erklärung 04

Eine doppelte Polstelle ohne Seitenwechsel

Für g(x) = −3/(x+2)² ist der Nenner auf beiden Seiten von −2 positiv. Der Zähler ist negativ. Beide Äste laufen deshalb nach unten.

Doppelte Polstelle bei minus 2 für minus 3/(x+2)²: beide Äste gehen nach unten. Die senkrechte Asymptote ist markiert.

So geht es am Beispiel

Bestimme Ordnung und Grenzwerte für g(x) = −3/(x+2)².

Der Nennerfaktor bleibt quadratisch; es gibt nichts zu kürzen.

lim⁡x→−2−g(x)=−∞\mathsf{\lim_{x\to-2^-}g(x)=-\infty}
lim⁡x→−2+g(x)=−∞\mathsf{\lim_{x\to-2^+}g(x)=-\infty}

Ergebnis

Polstelle zweiter Ordnung bei −2, ohne Vorzeichenwechsel.

Erklärung 05

Senkrechte Asymptote und Definitionsbereich

Zu einer Polstelle c gehört die senkrechte Asymptote x = c. Die Funktion erhält dort keinen Wert „unendlich“; c bleibt ausgeschlossen.

Andere ausgeschlossene Stellen müssen getrennt untersucht werden. Eine Funktion kann gleichzeitig Polstellen und hebbare Lücken besitzen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Polstelle · EinstiegUntersuche f(x) = 1/(x−3) auf Polstelle, Ordnung und Seitenverhalten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Bei 3 bleibt ein einfacher Nennerfaktor. Der Zähler ist positiv.

      lim⁡x→3−f(x)=−∞\mathsf{\lim_{x\to3^-}f(x)=-\infty}
      lim⁡x→3+f(x)=+∞\mathsf{\lim_{x\to3^+}f(x)=+\infty}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisEinfache Polstelle 3; links −∞, rechts +∞.
  2. Aufgabe 2Polstelle · EinstiegUntersuche f(x) = −2/(x+1).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Polstelle −1, einfacher Faktor. Der negative Zähler kehrt die Vorzeichen um.

      lim⁡x→−1−f(x)=+∞\mathsf{\lim_{x\to-1^-}f(x)=+\infty}
      lim⁡x→−1+f(x)=−∞\mathsf{\lim_{x\to-1^+}f(x)=-\infty}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisEinfache Polstelle −1; links +∞, rechts −∞.
  3. Aufgabe 3Polstelle · StandardUntersuche f(x) = 5/(x−2)².Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Polstelle 2, Ordnung 2. Nenner und Zähler sind auf beiden Seiten positiv.

      lim⁡x→2−f(x)=+∞\mathsf{\lim_{x\to2^-}f(x)=+\infty}
      lim⁡x→2+f(x)=+∞\mathsf{\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisDoppelte Polstelle 2; beidseits +∞.
  4. Aufgabe 4Polstelle · StandardUntersuche f(x) = −1/x⁴.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Bei 0 bleibt ein Faktor der Ordnung 4. x⁴ ist auf beiden Seiten positiv.

      lim⁡x→0−f(x)=−∞\mathsf{\lim_{x\to0^-}f(x)=-\infty}
      lim⁡x→0+f(x)=−∞\mathsf{\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisPolstelle vierter Ordnung; beidseits −∞.
  5. Aufgabe 5Polstelle · StandardUntersuche f(x) = (x−1)²/(x−1)³.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      D=R∖{1}\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{1\}}
      f(x)=1x−1(x≠1)\mathsf{f(x)=\frac1{x-1}\quad(x\ne1)}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Nach Kürzen bleibt genau ein Nennerfaktor.

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisEinfache Polstelle 1; links −∞, rechts +∞, nicht Ordnung 3.
  6. Aufgabe 6Polstelle · StandardIst x = 2 eine Polstelle von f(x) = (x²−4)/(x−2)?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      x2−4=(x−2)(x+2)\mathsf{x^2-4=(x-2)(x+2)}
      f(x)=x+2(xe2)\mathsf{f(x)=x+2\quad(x e2)}
      lim⁡x→2f(x)=4\mathsf{\lim_{x\to2}f(x)=4}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisNein. Hebbare Lücke mit endlichem Grenzwert 4.
  7. Aufgabe 7Polstelle · StandardUntersuche die Polstellen von f(x) = 1/((x−1)(x+1)).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Bei 1 ist x+1 positiv: links −∞, rechts +∞.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Bei −1 ist x−1 negativ: links +∞, rechts −∞.

    3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      Beide verbleibenden Faktoren sind einfach.

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisEinfache Polstellen −1 und 1; Seitenrichtungen wie angegeben.
  8. Aufgabe 8Polstelle · VertiefungFür f(x) = (x+2)³/(x+2)² bleibt x = −2 ausgeschlossen. Klassifiziere die Stelle.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(x)=x+2(xe−2)\mathsf{f(x)=x+2\quad(x e-2)}
      lim⁡x→−2f(x)=0\mathsf{\lim_{x\to-2}f(x)=0}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisHebbare Lücke (−2 | 0), keine Polstelle und keine tatsächlich angenommene Nullstelle.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich kürze zuerst und erhalte die ursprünglichen Ausschlüsse.
  • Ich bestimme die verbleibende Polordnung.
  • Ich prüfe beide Seiten und das Vorzeichen des übrigen Faktors.

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