Brüche: Arten · Erklären & üben

Gemischter Bruch

Eine gemischte Zahl zeigt ganze Einheiten und einen verbleibenden Bruchanteil. Du setzt beide Teile zu einem Bruch zusammen und zerlegst Brüche wieder in diese Teile.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Ganzes plus Bruchanteil

Eine positive gemischte Zahl besteht aus einer ganzen Zahl und einem echten positiven Bruch. Die Schreibweise $\mathsf{2\,\frac{3}{5}}$ bedeutet $\mathsf{2+\frac{3}{5}}$ . Zwischen beiden Teilen wird kein Pluszeichen geschrieben; es ist aber auch keine Multiplikation gemeint.

Im Thema Unechter Bruch steht die Einordnung der Brucharten im Mittelpunkt. Hier übst du die Zusammensetzung und die beiden Umwandlungsrichtungen.

Lies zuerst die Anzahl der Ganzen.
Lies danach den Bruchanteil.
Denke zwischen beiden Teilen ein Pluszeichen.

Eine positive gemischte Zahl steht für eine Summe.

Drei gleich große Fünftelstreifen. Zwei Streifen vollständig und drei Fünftel des dritten gefärbt; insgesamt dreizehn Fünftel.

So geht es am Beispiel

Schreibe $\mathsf{2\,\frac{3}{5}}$ als einen Bruch.

Zwei Ganze sind $\mathsf{2\cdot5=10}$ Fünftel.

Die drei weiteren Fünftel ergeben $\mathsf{10+3=13}$ Fünftel.

Erklärung 02

Ganze in Bruchteile verwandeln

Multipliziere die ganze Zahl mit dem Nenner. Damit weißt du, wie viele Bruchteile in den ganzen Einheiten stecken. Addiere den vorhandenen Zähler. Der Nenner bleibt gleich.

Multipliziere Ganzzahl und Nenner.
Addiere den Zähler des Bruchanteils.
Schreibe die Summe über den unveränderten Nenner.

Neuer Zähler: Ganzzahl mal Nenner plus vorhandener Zähler.

Zwei Ganze entsprechen zehn Fünfteln. Drei weitere Fünftel ergeben dreizehn Fünftel.

Erklärung 03

Vom Bruch zurück und mit Minuszeichen

Teile den positiven Zähler ganzzahlig durch den Nenner. Der Quotient ist die Zahl der Ganzen, der Rest der Zähler des Bruchanteils. Der Rest ist kleiner als der Nenner. Bei Rest null schreibst du nur die Ganzzahl.

Bei einer negativen gemischten Zahl steht das Minus vor der ganzen Summe. $\mathsf{-1\,\frac{2}{3}}$ bedeutet $\mathsf{-(1+\frac{2}{3})}$ . Wandle zuerst den positiven Betrag um und übernimm danach das Minuszeichen.

Bestimme Quotient und Rest.
Nutze den unveränderten Nenner für den Rest.
Beziehe ein vorangestelltes Minuszeichen auf das Ganze und den Bruchanteil.

Ein negativer gemischter Bruch hat ein Minus vor der gesamten Summe.

So geht es am Beispiel

Schreibe $\mathsf{\frac{23}{6}}$ als gemischte Zahl.

Drei Ganze entsprechen $\mathsf{3\cdot6=18}$ Sechsteln.

Der Rest beträgt $\mathsf{23-18=5}$ .

So geht es am Beispiel

Vereinfache die Schreibweise $\mathsf{4\,\frac{0}{7}}$ .

Der Bruchanteil ist $\mathsf{\frac{0}{7}=0}$ .

Es bleibt $\mathsf{4+0=4}$ .

So geht es am Beispiel

Wandle $\mathsf{-1\,\frac{2}{3}}$ in einen Bruch um.

Schreibe das Minus vor die Gesamtsumme: $\mathsf{-1\,\frac{2}{3}=-(1+\frac{2}{3})}$ .

Für den Betrag gilt $\mathsf{1=\frac{3}{3}}$ .

Addiere $\mathsf{\frac{3}{3}+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}}$ .

Übernimm das Minuszeichen: $\mathsf{-(\frac{5}{3})=-\frac{5}{3}}$ .

Erklärung 04

Darstellungen nutzen und vergleichen

Haben zwei positive gemischte Zahlen denselben ganzen Anteil, genügt es, ihre Bruchanteile zu vergleichen. Dazu kannst du einen gemeinsamen Nenner bilden. Für allgemeine Vergleiche, auch bei negativen Zahlen, helfen ein gemeinsamer Nenner oder eine Zahlengerade.

Brüche vergleichen und ordnen vertieft diese Verfahren.

Vergleiche zuerst die ganzen Anteile positiver gemischter Zahlen.
Bringe bei gleichen Ganzen die Bruchanteile auf einen gemeinsamen Nenner.

Bei gleichen positiven Ganzen entscheidet der Bruchanteil.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Gemischter Bruch · 1Nenne die Ganzzahl und den Bruchanteil von $\mathsf{3\,\frac{2}{7}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ganzzahl
Bruchanteil
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die drei steht für drei ganze Einheiten.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der verbleibende Anteil sind zwei Siebtel.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ganzzahl3
2. Bruchanteil $\mathsf{\frac{2}{7}}$
02
Aufgabe 2Gemischter Bruch · 1Wandle $\mathsf{2\,\frac{4}{9}}$ in einen Bruch um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Ganze in Neunteln: $\mathsf{2\cdot9=18}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zähler zusammenfassen: $\mathsf{18+4=22}$ .
Ergebnis
1. Bruch $\mathsf{\frac{22}{9}}$
03
Aufgabe 3Gemischter Bruch · 1Wandle $\mathsf{5\,\frac{3}{8}}$ in einen Bruch um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Ganze in Achteln: $\mathsf{5\cdot8=40}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zähler zusammenfassen: $\mathsf{40+3=43}$ .
Ergebnis
1. Bruch $\mathsf{\frac{43}{8}}$
04
Aufgabe 4Gemischter Bruch · 2Wandle $\mathsf{\frac{29}{4}}$ in eine gemischte Zahl um. Gib Quotient, Rest und gemischte Zahl an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ganzzahliger Quotient
Rest
Gemischte Zahl
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Sieben Ganze enthalten $\mathsf{7\cdot4=28}$ Viertel.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Rest beträgt $\mathsf{29-28=1}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ganzzahliger Quotient7
2. Rest1
3. Gemischte Zahl $\mathsf{7\,\frac{1}{4}}$
05
Aufgabe 5Gemischter Bruch · 2Vereinfache $\mathsf{\frac{35}{7}}$ . Erkläre, warum kein Bruchanteil übrig bleibt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Wert
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Teile $\mathsf{35:7=5}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Es bleibt der Rest null.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vereinfachter Wert5
2. Begründung35 ist ein Vielfaches von 7. Beim Teilen bleibt kein Rest, daher ist kein zusätzlicher Bruchanteil nötig.
06
Aufgabe 6Gemischter Bruch · 2Schreibe $\mathsf{-2\,\frac{3}{4}}$ zuerst als Minuszeichen vor einer Summe in Klammern und dann als einen Bruch.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Klammerform
Bruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Bedeutung ist $\mathsf{-(2+\frac{3}{4})}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zwei Ganze sind $\mathsf{2=\frac{8}{4}}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der positive Betrag ist $\mathsf{\frac{8}{4}+\frac{3}{4}=\frac{11}{4}}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Mit Minuszeichen erhältst du $\mathsf{-\frac{11}{4}}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Klammerform $\mathsf{-(2+\frac{3}{4})}$
2. Bruch $\mathsf{-\frac{11}{4}}$
07
Aufgabe 7Gemischter Bruch · 3Jemand schreibt $\mathsf{4\,\frac{2}{3}=\frac{8}{3}}$ . Ist das richtig? Gib den richtigen Bruch an und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Richtiger Bruch
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Vier Ganze sind $\mathsf{4\cdot3=12}$ Drittel.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Dazu kommen zwei Drittel: $\mathsf{12+2=14}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein
2. Richtiger Bruch $\mathsf{\frac{14}{3}}$
3. BegründungVier Ganze enthalten bereits zwölf Drittel. Der Bruchanteil wird dazuaddiert; Ganzzahl und Zähler werden nicht miteinander multipliziert.
08
Aufgabe 8Gemischter Bruch · 2Färbe $\mathsf{2\,\frac{1}{4}}$ auf den drei vorbereiteten Viertelstreifen. Gib den entsprechenden Bruch an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zwei Ganze enthalten $\mathsf{2\cdot4=8}$ Viertel.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Ein weiteres Viertel ergibt $\mathsf{8+1=9}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Färbe zwei ganze Streifen und ein Viertel des dritten.
Ergebnis
1. Bruch $\mathsf{\frac{9}{4}}$
09
Aufgabe 9Gemischter Bruch · 3Vergleiche $\mathsf{2\,\frac{5}{6}}$ und $\mathsf{2\,\frac{3}{4}}$ . Schreibe beide Bruchanteile mit dem Nenner zwölf und setze ein Vergleichszeichen zwischen die gegebenen gemischten Zahlen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erster Bruchanteil mit Nenner zwölf
Zweiter Bruchanteil mit Nenner zwölf
Vergleichszeichen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die ganzen Anteile sind beide zwei.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Erweitere $\mathsf{\frac{5}{6}=\frac{10}{12}}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Erweitere $\mathsf{\frac{3}{4}=\frac{9}{12}}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Zehn Zwölftel sind größer als neun Zwölftel.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erster Bruchanteil mit Nenner zwölf $\mathsf{\frac{10}{12}}$
2. Zweiter Bruchanteil mit Nenner zwölf $\mathsf{\frac{9}{12}}$
3. Vergleichszeichen $\mathsf{>}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich lese eine gemischte Zahl als Ganzes plus Bruchanteil.
Ich kann beide Umwandlungsrichtungen erklären.
Ich beachte den Geltungsbereich eines Minuszeichens.

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