Brüche: Arten · Erklären & üben

Doppelbruch

Ein Doppelbruch ist eine Division, bei der im Zähler oder Nenner selbst ein Bruch steht. Der Hauptbruchstrich zeigt, welche vollständigen Terme dividiert werden.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Den Hauptbruchstrich lesen

Der längere Hauptbruchstrich trennt den gesamten Zählerterm vom gesamten Nennerterm. Um einen Bruch durch einen anderen Bruch zu teilen, multiplizierst du mit dem Kehrwert des vollständigen Nennerbruchs.

Alle inneren Nenner müssen von null verschieden sein. Außerdem darf der gesamte Nennerbruch nicht null sein. Erst unter diesen Bedingungen ist die Division erlaubt.

Lies zuerst den vollständigen Zähler und Nenner am Hauptbruchstrich.
Ersetze die Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert des Nennerbruchs.
Multipliziere und kürze.

Der Kehrwert gehört zum gesamten Nennerbruch.

Drei Viertel stehen vollständig über dem längeren Hauptbruchstrich. Zwei Fünftel stehen vollständig darunter. Der Hauptstrich bedeutet Division.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{\frac{\frac{3}{4}}{\frac{2}{5}}}$ auf.

Lies den Hauptbruch als $\mathsf{\frac{3}{4}:\frac{2}{5}}$ .

Der Kehrwert des Divisors ist $\mathsf{\frac{5}{2}}$ .

Multipliziere $\mathsf{\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{2}=\frac{15}{8}}$ .

Erklärung 02

Ein Bruch steht nur auf einer Seite

Steht nur im Zähler oder nur im Nenner ein Bruch, kannst du die andere Zahl als Bruch mit Nenner eins schreiben. Danach gilt dieselbe Regel.

Die Zahl über dem Hauptbruchstrich und die Zahl unter ihm dürfen nicht verwechselt werden. Eine Division ist im Allgemeinen nicht vertauschbar.

Schreibe die ganze Zahl als Bruch mit Nenner eins.
Bilde den Kehrwert des Divisors.
Kürze das Produkt.

Auch eine ganze Zahl kann als Bruch mit Nenner eins geschrieben werden.

Links fünf geteilt durch zwei Drittel, rechts drei Zehntel geteilt durch sechs. Jeweils längerer Hauptbruchstrich und deutlich getrennte innere Bruchstriche.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{\frac{6}{\frac{3}{7}}}$ auf.

Schreibe den Zähler als $\mathsf{6=\frac{6}{1}}$ .

Multipliziere mit dem Kehrwert: $\mathsf{\frac{6}{1}\cdot\frac{7}{3}=\frac{42}{3}}$ .

Teile $\mathsf{42:3=14}$ .

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{\frac{\frac{5}{6}}{4}}$ auf.

Schreibe den Divisor als $\mathsf{4=\frac{4}{1}}$ .

Sein Kehrwert ist $\mathsf{\frac{1}{4}}$ .

Multipliziere $\mathsf{\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{4}=\frac{5}{24}}$ .

Erklärung 03

Variablen und ausgeschlossene Werte

Bei Variablen bestimmst du zuerst die Bedingungen des ursprünglichen Terms. Ein weggefallener Nenner oder ein gekürzter Faktor macht einen vorher ausgeschlossenen Wert nicht nachträglich zulässig.

Für $\mathsf{\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}}$ müssen $\mathsf{b\ne0}$ , $\mathsf{d\ne0}$ und $\mathsf{c\ne0}$ gelten. Die ersten beiden Bedingungen sichern die inneren Brüche. Die dritte verhindert, dass durch einen Nullbruch dividiert wird.

Notiere die Bedingungen vor dem Umformen.
Forme um und kürze nur unter diesen Bedingungen.
Übernimm alle ursprünglichen Ausschlüsse ins Ergebnis.

Kürzen erhält den Termwert nur für ursprünglich zulässige Werte.

Der Faktor x minus zwei wird im Doppelbruch gekürzt. Die vereinfachte Zahl fünf Drittel gilt weiterhin nur für x ungleich zwei.

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{\frac{\frac{x}{6}}{\frac{x}{9}}}$ und nenne die Bedingung.

Die inneren Nenner sechs und neun sind nicht null.

Der Nennerbruch ist nur bei $\mathsf{x\ne0}$ von null verschieden.

Forme um: $\mathsf{\frac{\frac{x}{6}}{\frac{x}{9}}=\frac{x}{6}\cdot\frac{9}{x}}$ .

Für zulässiges x kürze $\mathsf{\frac{9x}{6x}=\frac{3}{2}}$ .

So geht es am Beispiel

Forme $\mathsf{\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}}$ unter seinen Definitionsbedingungen um.

Die Bedingungen lauten $\mathsf{b\ne0}$ , $\mathsf{d\ne0}$ und $\mathsf{c\ne0}$ .

Der Kehrwert des Nennerbruchs ist $\mathsf{\frac{d}{c}}$ .

Multipliziere $\mathsf{\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}}$ .

Erklärung 04

Null an der richtigen Stelle

Ein Zähler darf null sein, wenn der übrige Term definiert ist und der Divisor nicht null ist. Ein Nullbruch im Nenner des Hauptbruchs ist dagegen unzulässig.

Bruchrechnen Aufgaben bietet weitere Übungen zu den Grundrechenarten mit Brüchen. Hier bleibt die Gliederung in Zählerterm, Hauptbruchstrich und Nennerterm entscheidend.

Prüfe, ob null im Zähler oder im Divisor steht.
Berechne nur einen definierten Term.

Null geteilt durch eine von null verschiedene Zahl ist null; Division durch null ist nicht definiert.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Doppelbruch · 1Löse $\mathsf{\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{5}}}$ auf. Gib die Multiplikation mit dem Kehrwert und das gekürzte Ergebnis an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Multiplikation mit dem Kehrwert
Gekürztes Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Kehrwert von vier Fünfteln ist $\mathsf{\frac{5}{4}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Multipliziere $\mathsf{\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{10}{12}}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Kürze $\mathsf{\frac{10}{12}=\frac{5}{6}}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Multiplikation mit dem Kehrwert $\mathsf{\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}}$
2. Gekürztes Ergebnis $\mathsf{\frac{5}{6}}$
02
Aufgabe 2Doppelbruch · 1Löse $\mathsf{\frac{\frac{7}{8}}{\frac{14}{3}}}$ auf und kürze.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Forme in $\mathsf{\frac{7}{8}\cdot\frac{3}{14}}$ um.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das Produkt ist $\mathsf{\frac{21}{112}}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Kürze mit 7: $\mathsf{\frac{21}{112}=\frac{3}{16}}$ .
Ergebnis
1. Ergebnis $\mathsf{\frac{3}{16}}$
03
Aufgabe 3Doppelbruch · 1Löse $\mathsf{\frac{5}{\frac{2}{3}}}$ auf.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Schreibe $\mathsf{5=\frac{5}{1}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Multipliziere $\mathsf{\frac{5}{1}\cdot\frac{3}{2}=\frac{15}{2}}$ .
Ergebnis
1. Ergebnis $\mathsf{\frac{15}{2}}$
04
Aufgabe 4Doppelbruch · 1Löse $\mathsf{\frac{\frac{3}{10}}{6}}$ auf.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Divisor ist $\mathsf{6=\frac{6}{1}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Multipliziere $\mathsf{\frac{3}{10}\cdot\frac{1}{6}=\frac{3}{60}}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Kürze $\mathsf{\frac{3}{60}=\frac{1}{20}}$ .
Ergebnis
1. Ergebnis $\mathsf{\frac{1}{20}}$
05
Aufgabe 5Doppelbruch · 2Löse $\mathsf{\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{2}{5}}}$ auf.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Divisor ist positiv; der Zähler ist negativ.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Forme um: $\mathsf{(-\frac{3}{4})\cdot\frac{5}{2}=-\frac{15}{8}}$ .
Ergebnis
1. Ergebnis $\mathsf{-\frac{15}{8}}$
06
Aufgabe 6Doppelbruch · 2Vereinfache $\mathsf{\frac{\frac{2}{x}}{\frac{3}{4}}}$ . Nenne die ursprüngliche Bedingung für x.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Bedingung für x
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der innere Nenner verlangt $\mathsf{x\ne0}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Nennerbruch drei Viertel ist nicht null.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Multipliziere $\mathsf{\frac{2}{x}\cdot\frac{4}{3}=\frac{8}{3x}}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vereinfachter Term $\mathsf{\frac{8}{3x}}$
2. Bedingung für x $\mathsf{x\ne0}$
07
Aufgabe 7Doppelbruch · 3Vereinfache $\mathsf{\frac{\frac{x}{x+1}}{\frac{2}{x-3}}}$ . Gib die beiden ausgeschlossenen Werte für x einzeln an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Erster ausgeschlossener Wert
Zweiter ausgeschlossener Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der erste innere Nenner verlangt $\mathsf{x\ne-1}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der zweite innere Nenner verlangt $\mathsf{x\ne3}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der Nennerbruch hat den Zähler zwei und kann bei zulässigem x nicht null werden.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Forme um: $\mathsf{\frac{x}{x+1}\cdot\frac{x-3}{2}=\frac{x(x-3)}{2(x+1)}}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vereinfachter Term $\mathsf{\frac{x(x-3)}{2(x+1)}}$
2. Erster ausgeschlossener Wert−1
3. Zweiter ausgeschlossener Wert3
08
Aufgabe 8Doppelbruch · 3Vereinfache $\mathsf{\frac{\frac{x-2}{3}}{\frac{x-2}{5}}}$ . Nenne die ursprüngliche Bedingung. Ist x gleich zwei nach dem Kürzen erlaubt? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Ursprüngliche Bedingung
Ist x gleich zwei nachträglich erlaubt?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Nennerbruch wäre bei $\mathsf{x=2}$ null. Daher gilt $\mathsf{x\ne2}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Forme um: $\mathsf{\frac{x-2}{3}\cdot\frac{5}{x-2}=\frac{5(x-2)}{3(x-2)}}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Für zulässiges x kürze zu $\mathsf{\frac{5}{3}}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Die Bedingung des ursprünglichen Terms bleibt erhalten.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vereinfachter Term $\mathsf{\frac{5}{3}}$
2. Ursprüngliche Bedingung $\mathsf{x\ne2}$
3. Ist x gleich zwei nachträglich erlaubt?Nein
4. BegründungBei x gleich zwei ist der ursprüngliche Nennerbruch null. Kürzen ändert diese ursprüngliche Unzulässigkeit nicht.
09
Aufgabe 9Doppelbruch · 3Bestimme den Wert von $\mathsf{\frac{0}{\frac{3}{7}}}$ und entscheide, ob $\mathsf{\frac{3}{\frac{0}{7}}}$ definiert ist. Begründe die Entscheidung zum zweiten Term.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert des ersten Terms
Ist der zweite Term definiert?
Begründung zum zweiten Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Im ersten Term ist der Divisor drei Siebtel von null verschieden.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{0: (\frac{3}{7})=0}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Im zweiten Term ist der Divisor $\mathsf{\frac{0}{7}=0}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Durch null kann nicht dividiert werden.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wert des ersten Terms0
2. Ist der zweite Term definiert?Nein
3. Begründung zum zweiten TermDer gesamte Nennerbruch hat den Wert null. Eine Division durch diesen Nullbruch ist nicht definiert.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich erkenne den Hauptbruchstrich.
Ich nehme den Kehrwert des vollständigen Divisors.
Ich erhalte ursprüngliche Definitionsbedingungen beim Kürzen.

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