Geometrische Begriffe · Erklären & üben

Geometrie

Die Geometrie untersucht Formen, Größen und ihre Lage. Du beschreibst Figuren, konstruierst sie und berechnest Längen, Winkel, Flächen oder Rauminhalte.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Punkt, Gerade, Strahl und Strecke

Ein Punkt bezeichnet eine Lage und besitzt keine Ausdehnung. Eine Gerade läuft in beide Richtungen unbegrenzt weiter. Ein Strahl hat einen Anfangspunkt und läuft in einer Richtung weiter. Eine Strecke besitzt zwei Endpunkte. $\mathsf{\overline{AB}}$ bezeichnet die Strecke, $\mathsf{|AB|}$ ihre Länge.

Ordne zuerst die gegebenen Objekte und Größen zu.
Begründe das Ergebnis mit der angegebenen Eigenschaft.

$\mathsf{|AB|\geq0}$

So geht es am Beispiel

Eine Strecke $\mathsf{\overline{AB}}$ hat Länge $\mathsf{4\,\mathsf{cm}}$ . Wodurch unterscheidet sie sich von einem Strahl ab $\mathsf{A}$ ?

Die Strecke endet bei B.

Der Strahl beginnt bei A, besitzt aber keinen zweiten Endpunkt.

Erklärung 02

Figuren in der Ebene

Dreiecke, Vierecke und Kreise sind ebene Figuren. Der Umfang misst den Rand, die Fläche das Innere. Beim Konstruieren nutzt du festgelegte Bedingungen, etwa gleiche Radien mit dem Zirkel oder Senkrechte mit dem Geodreieck. Eine Skizze veranschaulicht; sie ersetzt keine Begründung.

Ordne zuerst die gegebenen Objekte und Größen zu.
Begründe das Ergebnis mit der angegebenen Eigenschaft.

$\mathsf{U_{\mathsf{Rechteck}}=2(a+b),\qquad A_{\mathsf{Rechteck}}=ab}$

So geht es am Beispiel

Ein Rechteck ist $\mathsf{6\,\mathsf{cm}}$ lang und $\mathsf{3\,\mathsf{cm}}$ breit. Berechne Umfang und Fläche.

\mathsf{U=2(6+3)\,\mathsf{cm}=18\,\mathsf{cm}}

\mathsf{A=6\cdot3\,\mathsf{cm}^2=18\,\mathsf{cm}^2}

Erklärung 03

Körper und rechnerische Verfahren

Ein Körper wie Würfel, Quader oder Kugel besitzt räumliche Ausdehnung. Seine Oberfläche wird in Quadrateinheiten, sein Volumen in Kubikeinheiten gemessen. Trigonometrie verbindet Winkel und Seitenlängen, zum Beispiel im rechtwinkligen Dreieck. Analytische Geometrie beschreibt Punkte durch Koordinaten und rechnet mit ihnen; in der Ebene genügen zwei, im Raum drei Koordinaten.

Ordne zuerst die gegebenen Objekte und Größen zu.
Begründe das Ergebnis mit der angegebenen Eigenschaft.

$\mathsf{V_{\mathsf{Quader}}=abc}$

So geht es am Beispiel

Ein Quader hat Kanten $\mathsf{4\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{3\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{2\,\mathsf{cm}}$ . Berechne sein Volumen.

\mathsf{V=4\cdot3\cdot2\,\mathsf{cm}^3=24\,\mathsf{cm}^3}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Geometrie · basisOrdne die Beschreibungen zu: zwei Endpunkte; ein Anfangspunkt und unbegrenzt; in beide Richtungen unbegrenzt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zwei Endpunkte
Ein Anfangspunkt
Beidseitig unbegrenzt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Anzahl der Begrenzungen unterscheidet die Objekte.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Zwei EndpunkteStrecke
2. Ein AnfangspunktStrahl
3. Beidseitig unbegrenztGerade
02
Aufgabe 2Geometrie · standardBerechne Umfang und Fläche eines Rechtecks mit $\mathsf{5\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{2\,\mathsf{cm}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Umfang
Fläche
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{U=2(5+2)\,\mathsf{cm}=14\,\mathsf{cm}}$
  $\mathsf{A=5\cdot2\,\mathsf{cm}^2=10\,\mathsf{cm}^2}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Umfang $\mathsf{14\,\mathsf{cm}}$
2. Fläche $\mathsf{10\,\mathsf{cm}^2}$
03
Aufgabe 3Geometrie · standardEin Würfel hat Kantenlänge $\mathsf{3\,\mathsf{cm}}$ . Berechne sein Volumen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Volumen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{V=3^3\,\mathsf{cm}^3=27\,\mathsf{cm}^3}$
Ergebnis
1. Volumen $\mathsf{27\,\mathsf{cm}^3}$
04
Aufgabe 4Geometrie · standardVerbinde im Raster $\mathsf{A(1|1)}$ , $\mathsf{B(5|1)}$ und $\mathsf{C(1|4)}$ zu einem Dreieck. Markiere seinen rechten Winkel und beschrifte die beiden senkrechten Seitenlängen. Eine Einheit entspricht $\mathsf{1\,\mathsf{cm}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Dreieckszeichnung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Dreieckszeichnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{AB=4\,\mathsf{cm},\quad AC=3\,\mathsf{cm}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die waagerechte und die senkrechte Seite treffen sich bei A im rechten Winkel.
Ergebnis
1. DreieckszeichnungDreieck $\mathsf{ABC}$ mit rechtem Winkel bei $\mathsf{A}$ ; $\mathsf{AB=4\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{AC=3\,\mathsf{cm}}$ .
05
Aufgabe 5Geometrie · standardEin Dreieck hat Grundseite $\mathsf{6\,\mathsf{cm}}$ und zugehörige Höhe $\mathsf{4\,\mathsf{cm}}$ . Berechne die Fläche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fläche
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{A=\frac12\cdot6\cdot4\,\mathsf{cm}^2=12\,\mathsf{cm}^2}$
Ergebnis
1. Fläche $\mathsf{12\,\mathsf{cm}^2}$
06
Aufgabe 6Geometrie · transferOrdne zu: Ein Kreis wird gezeichnet, ein Quader wird gefüllt, eine fehlende Seite wird aus einem Winkel und einer Seite berechnet, ein Punkt wird durch drei Koordinaten beschrieben.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Kreis
Quader
Winkel und Seite
Drei Koordinaten
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Ein Kreis liegt in einer Ebene; der Quader besitzt Volumen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Winkel-Seiten-Beziehungen gehören zur Trigonometrie, Koordinaten zur analytischen Geometrie.
Ergebnisse & Teilantworten
1. KreisEbene Figur
2. QuaderRäumlicher Körper
3. Winkel und SeiteTrigonometrie
4. Drei KoordinatenAnalytische Raumgeometrie

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich kann die zentralen Begriffe an einer eigenen Skizze erklären.
Ich ordne entsprechende Größen und Einheiten richtig zu.
Ich begründe meine Lösung mit einer geometrischen Eigenschaft.

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