Geometrische Begriffe · Erklären & üben

Strahlensätze

Die Strahlensätze verknüpfen Längen in einer Figur aus zwei Strahlen und zwei parallelen Verbindungsstrecken. Entscheidend sind die Parallelität und die richtige Zuordnung der Strecken.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Eine feste Zuordnung

Die Strahlen beginnen bei $\mathsf{S}$ . Auf einem liegen $\mathsf{A,A\prime}$ , auf dem anderen $\mathsf{B,B\prime}$ , jeweils in dieser Reihenfolge. Es gilt $\mathsf{AB\parallel A\prime B\prime}$ . Dadurch sind die Dreiecke $\mathsf{SAB}$ und $\mathsf{SA\prime B\prime}$ ähnlich. Ohne Parallelität dürfen die folgenden Verhältnisse nicht einfach verwendet werden.

Ordne zuerst die gegebenen Objekte und Größen zu.
Begründe das Ergebnis mit der angegebenen Eigenschaft.

$\mathsf{\frac{SA}{SA\prime}=\frac{SB}{SB\prime}=\frac{AB}{A\prime B\prime}}$

Zwei Strahlen und parallele Querstrecken

So geht es am Beispiel

$\mathsf{SA=3\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{SA\prime=6\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{SB=4\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme $\mathsf{SB\prime}$ .

\mathsf{\frac3{6}=\frac4{SB\prime}}

\mathsf{SB\prime=4\cdot\frac63\,\mathsf{cm}=8\,\mathsf{cm}}

Erklärung 02

Strecken auf den Strahlen

Der erste Strahlensatz vergleicht die Entfernungen vom gemeinsamen Anfangspunkt. Beachte: $\mathsf{SA\prime=SA+AA\prime}$ . Die Teilstrecke $\mathsf{AA\prime}$ darf nicht an die Stelle der Gesamtlänge $\mathsf{SA\prime}$ gesetzt werden. Aus der gleichen Vergrößerung folgt auch $\mathsf{AA\prime/BB\prime=SA/SB}$ .

Ordne zuerst die gegebenen Objekte und Größen zu.
Begründe das Ergebnis mit der angegebenen Eigenschaft.

$\mathsf{\frac{SA}{SA\prime}=\frac{SB}{SB\prime}}$

So geht es am Beispiel

$\mathsf{SA=4\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{AA\prime=6\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{SB=6\,\mathsf{cm}}$ . Berechne $\mathsf{SB\prime}$ .

\mathsf{SA\prime=4+6=10\,\mathsf{cm}}

\mathsf{SB\prime=6\cdot\frac{10}4\,\mathsf{cm}=15\,\mathsf{cm}}

Erklärung 03

Die parallelen Querstrecken

Der zweite Strahlensatz vergleicht die Querstrecken mit den Strecken auf einem Strahl. Alle jeweils entsprechenden Längen wachsen mit demselben Faktor. Für Schattenaufgaben müssen die Sonnenstrahlen parallel sein und beide Höhen senkrecht zum gleichen ebenen Boden stehen.

Ordne zuerst die gegebenen Objekte und Größen zu.
Begründe das Ergebnis mit der angegebenen Eigenschaft.

$\mathsf{\frac{AB}{A\prime B\prime}=\frac{SA}{SA\prime}}$

So geht es am Beispiel

$\mathsf{SA=3\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{SA\prime=9\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{AB=4\,\mathsf{cm}}$ . Berechne $\mathsf{A\prime B\prime}$ .

\mathsf{k=9:3=3}

\mathsf{A\prime B\prime=3\cdot4\,\mathsf{cm}=12\,\mathsf{cm}}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Strahlensätze · basisBei parallelen Querstrecken gelten $\mathsf{SA=3}$ , $\mathsf{SA\prime=6}$ , $\mathsf{SB=4}$ , $\mathsf{SB\prime=8}$ in Zentimetern. Prüfe das Verhältnis der Entfernungen vom Startpunkt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Verhältnis
Vergleich
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac36=\frac12,\qquad\frac48=\frac12}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Verhältnis $\mathsf{\frac12}$
2. VergleichDie beiden Verhältnisse stimmen überein.
02
Aufgabe 2Strahlensätze · standard $\mathsf{AB\parallel A\prime B\prime}$ , $\mathsf{SA=5\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{SA\prime=15\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{SB=4\,\mathsf{cm}}$ . Berechne $\mathsf{SB\prime}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Länge SB′
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{k=15:5=3}$
  $\mathsf{SB\prime=3\cdot4\,\mathsf{cm}=12\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Länge SB′ $\mathsf{12\,\mathsf{cm}}$
03
Aufgabe 3Strahlensätze · standard $\mathsf{AB\parallel A\prime B\prime}$ , $\mathsf{SA=4\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{AA\prime=2\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{SB=6\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme $\mathsf{BB\prime}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Teilstrecke BB′
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{SA\prime=6\,\mathsf{cm},\qquad k=6:4=1{,}5}$
  $\mathsf{SB\prime=1{,}5\cdot6\,\mathsf{cm}=9\,\mathsf{cm}}$
  $\mathsf{BB\prime=9-6=3\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Teilstrecke BB′ $\mathsf{3\,\mathsf{cm}}$
04
Aufgabe 4Strahlensätze · standardIm Raster sind $\mathsf{S(0|0)}$ , $\mathsf{A(2|0)}$ und $\mathsf{B(2|2)}$ vorgegeben. Ergänze $\mathsf{A\prime}$ und $\mathsf{B\prime}$ auf denselben Strahlen mit doppeltem Abstand von $\mathsf{S}$ . Zeichne die beiden Strahlenabschnitte und die parallelen Querstrecken ein.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Strahlensatzfigur
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Strahlensatzfigur
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{A\prime(4|0),\qquad B\prime(4|4)}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Beide Querstrecken sind senkrecht; daher sind sie parallel.
Ergebnis
1. Strahlensatzfigur $\mathsf{A\prime(4|0)}$ und $\mathsf{B\prime(4|4)}$ mit den Verbindungen aus der Aufgabenstellung.
05
Aufgabe 5Strahlensätze · standard $\mathsf{AB\parallel A\prime B\prime}$ , $\mathsf{AB=5\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{A\prime B\prime=15\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{SA=4\,\mathsf{cm}}$ . Berechne $\mathsf{SA\prime}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Länge SA′
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{k=15:5=3}$
  $\mathsf{SA\prime=3\cdot4\,\mathsf{cm}=12\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Länge SA′ $\mathsf{12\,\mathsf{cm}}$
06
Aufgabe 6Strahlensätze · transferEin senkrechter Stab von $\mathsf{1{,}5\,\mathsf{m}}$ wirft einen $\mathsf{2\,\mathsf{m}}$ langen Schatten. Gleichzeitig ist der Schatten eines senkrechten Baums $\mathsf{10\,\mathsf{m}}$ lang. Der Boden ist eben. Wie hoch ist der Baum?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Baumhöhe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac h{10}=\frac{1{,}5}2}$
  $\mathsf{h=10\cdot\frac{1{,}5}2\,\mathsf{m}=7{,}5\,\mathsf{m}}$
Ergebnis
1. Baumhöhe $\mathsf{7{,}5\,\mathsf{m}}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich kann die zentralen Begriffe an einer eigenen Skizze erklären.
Ich ordne entsprechende Größen und Einheiten richtig zu.
Ich begründe meine Lösung mit einer geometrischen Eigenschaft.

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