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Körper verstehen · Erklären & üben

Geometrische Körper

Geometrische Körper sind räumliche Formen. Du erkennst sie an ihren Flächen, Kanten, Ecken und Grundformen – nicht allein daran, wie ihre Zeichnung auf dem Blatt aussieht.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Flächen, Kanten und Ecken

Ein Körper besitzt Volumen. Seine Oberfläche begrenzt ihn. Bei einem Polyeder bestehen die Flächen aus Vielecken; an ihren Rändern liegen Kanten, an zusammentreffenden Kanten Ecken. Gekrümmte Körper brauchen eine gesonderte Beschreibung: Eine Kugel hat beispielsweise keine geraden Kanten und keine Ecken.

  1. Unterscheide den Körper von seinem Bild und von einer einzelnen Fläche.

Volumen misst Raum in Kubikeinheiten, Oberfläche Fläche in Quadrateinheiten.

Erklärung 02

Würfel, Quader und Pyramide

Ein Quader besitzt sechs rechteckige Flächen, zwölf Kanten und acht Ecken. Ein Würfel ist ein besonderer Quader mit sechs gleich großen Quadraten. Eine Pyramide besitzt eine vieleckige Grundfläche; die übrigen Flächen sind Dreiecke mit gemeinsamer Spitze. Eine quadratische Pyramide hat fünf Flächen, acht Kanten und fünf Ecken.

  1. Bei einer Pyramide bestimmt die Grundfläche die Anzahl der Seitenflächen.

Nicht jede Pyramide hat eine quadratische Grundfläche.

Quader mit drei räumlichen Kantenrichtungen und gestrichelten verdeckten Kanten.
Quadratische Pyramide mit Spitze S und senkrechter Höhe h.

So geht es am Beispiel

Eine Pyramide hat eine quadratische Grundfläche. Zähle ihre Flächen.

Eine quadratische Grundfläche und vier dreieckige Seitenflächen.

Ergebnis

Fünf Flächen

Erklärung 03

Zwei gleiche Grundflächen

Ein Prisma besitzt zwei parallele, deckungsgleiche Vielecksflächen. Die zugehörigen Eckpunkte sind durch parallele Kanten verbunden. Bei einem geraden Prisma sind die Seitenflächen Rechtecke; bei einem schiefen Prisma Parallelogramme. Ein dreieckiges Prisma hat zwei Dreiecke und drei Seitenflächen, sechs Ecken und neun Kanten.

  1. Suche die beiden gleichen, parallelen Vielecke.

Würfel und Quader sind besondere gerade Prismen.

Erklärung 04

Zylinder, Kegel und Kugel

Ein gerader Kreiszylinder hat zwei parallele, gleich große Kreisflächen und eine gekrümmte Mantelfläche. Ein gerader Kreiskegel hat eine Kreisgrundfläche, eine Spitze und eine gekrümmte Mantelfläche. Eine Kugel ist durch ihren Mittelpunkt und Radius bestimmt; ihre Oberfläche ist überall gekrümmt. Kreisförmige Randlinien am Zylinder oder Kegel sind keine geraden Polyederkanten.

  1. Achte auf Grundflächen und mögliche Spitze.

Ein Kreis ist eine ebene Figur; ein Zylinder oder eine Kugel ist ein Körper.

Zylinder, gerader Kreiskegel und Kugel in schematischer räumlicher Ansicht.

Erklärung 05

Von Figuren zu Körpern

Ein Rechteck kann eine Quaderfläche sein; ein Dreieck kann Seitenfläche einer Pyramide sein. Die ebene Figur beschreibt dabei nur eine Fläche. Netze zeigen die abgewickelte Oberfläche, Schrägbilder eine räumliche Ansicht.

  1. Weiterlernen: Körpernetze und Schrägbilder in dieser Themenfamilie.

  2. Ausführliche Berechnungen einzelner Körper folgen in den entsprechenden Körperblöcken.

Eine Zeichnung auf Papier bleibt zweidimensional, auch wenn sie einen dreidimensionalen Körper darstellt.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Geometrische Körper · AnwendenOrdne Kreis und Kugel zu: Welche Form ist eine ebene Figur, welche ein Körper?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Der Kreis liegt in einer Ebene; die Kugel nimmt Raum ein.

    Ergebnis

    1. ZuordnungKreis: ebene Figur. Kugel: Körper.
  2. Aufgabe 2Geometrische Körper · AnwendenWie viele Flächen, Kanten und Ecken hat ein Würfel?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Sechs quadratische Flächen begrenzen den Würfel.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Es gibt vier Kanten oben, vier unten und vier verbindende Kanten.

    3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      Oben und unten liegen jeweils vier Ecken.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Flächen6
    2. Kanten12
    3. Ecken8
  3. Aufgabe 3Geometrische Körper · AnwendenEin Körper hat zwei parallele, deckungsgleiche Dreiecke und drei rechteckige Seitenflächen. Wie heißt er?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die Dreiecke sind die beiden Grundflächen; rechteckige Seitenflächen zeigen ein gerades Prisma.

    Ergebnis

    1. KörpernameGerades dreieckiges Prisma
  4. Aufgabe 4Geometrische Körper · AnwendenBestimme Flächen- und Eckenzahl einer quadratischen Pyramide.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Eine Grundfläche und vier Seitenflächen ergeben fünf Flächen.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Vier Grundecken und eine Spitze ergeben fünf Ecken.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Flächen5
    2. Ecken5
  5. Aufgabe 5Geometrische Körper · AnwendenErgänze direkt unter B ein gleich großes Quadrat F. Zeichne seine Randlinien. Das vervollständigt ein Würfelnetz.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Ergänztes Netz

    Leere Netzvorlage mit fünf gleich großen Quadraten A bis E.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Übernimm die Seitenlänge von B.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Zeichne F an die untere Kante von B.

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Beim Falten schließen die sechs Quadrate den Würfel ohne Überlappung.

    Ergebnis

    1. Ergänztes NetzUnter B liegt ein gleich großes Quadrat F; die bisherigen fünf Quadrate bleiben erhalten.
  6. Aufgabe 6Geometrische Körper · AnwendenOrdne zu: A hat zwei Kreisflächen, B hat eine Kreisfläche und eine Spitze, C hat keine ebene Begrenzungsfläche. Gemeint sind die drei runden Körper aus der Erklärung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Zylinder: zwei Kreisflächen.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Kegel: Kreisgrundfläche und Spitze.

    3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      Kugel: vollständig gekrümmte Oberfläche.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Körper AZylinder
    2. Körper BKegel
    3. Körper CKugel

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
  • Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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