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Körper verstehen · Erklären & üben

Zusammengesetzte Körper

Zusammengesetzte Körper zerlegst du in bekannte Teilkörper. Beim Volumen zählst du den Raum, bei der Oberfläche nur die von außen erreichbaren Begrenzungsflächen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zerlegen, ohne doppelt zu zählen

Teilvolumina dürfen addiert werden, wenn die Teile sich im Inneren nicht überlappen. Eine vollständig entnommene Aussparung wird abgezogen. Gemeinsame Grenzflächen haben kein Volumen, können aber bei der Oberfläche wichtig sein.

  1. Skizziere die Teilkörper und ihre Maße.

Addieren und Subtrahieren folgen der tatsächlich verbleibenden Form.

Erklärung 02

Volumina addieren oder abziehen

Ein zusammengesetzter Körper besteht etwa aus einem Quader und einem Dachprisma. Ein durchbohrter Quader wird als großer Quader minus entnommener Körper gerechnet.

  1. Berechne jeden Teil mit derselben Volumeneinheit.

Vgesamt=V1+V2\mathsf{V_{\mathsf{gesamt}}=V_1+V_2} für nicht überlappende Teile.

Quader mit drei Maßen als Ausgangskörper einer Volumendifferenz.

So geht es am Beispiel

Ein Quader mit 6 cm × 5 cm × 4 cm erhält ein durchgehendes quadratisches Loch von 2 cm × 2 cm über die Höhe 4 cm. Bestimme das Restvolumen.

Vgross=6⋅5⋅4=120 cm3\mathsf{V_{\mathsf{gross}}=6\cdot5\cdot4=120\,\mathsf{cm}^3}
VLoch=2⋅2⋅4=16 cm3\mathsf{V_{\mathsf{Loch}}=2\cdot2\cdot4=16\,\mathsf{cm}^3}
VRest=104 cm3\mathsf{V_{\mathsf{Rest}}=104\,\mathsf{cm}^3}

Ergebnis

104 cm³

Erklärung 03

Hausvolumen auf zwei Wegen

Das Hausmodell ist geschlossen und massiv gedacht: Breite 4 m, Länge 6 m, Wandhöhe 3 m und Dachhöhe 1,5 m. Das Dach hat einen gleichschenkligen dreieckigen Querschnitt. Der erste Weg addiert Quader und Dreiecksprisma; der zweite betrachtet die gesamte Hausfront als Grundfläche eines Prismas.

  1. Weg 1: Quader und Dach getrennt berechnen.

  2. Weg 2: Hausfront berechnen und mit der Länge multiplizieren.

Beide Wege müssen dasselbe Volumen liefern.

Hausmodell aus Quader und dreieckigem Dachprisma mit Breite a, Länge b, Wandhöhe h 1 und Dachhöhe h 2.

So geht es am Beispiel

Berechne das Volumen des Hausmodells auf zwei Wegen.

V1=4⋅6⋅3=72 m3\mathsf{V_1=4\cdot6\cdot3=72\,\mathsf m^3}
V2=12⋅4⋅1,5⋅6=18 m3\mathsf{V_2=\frac12\cdot4\cdot1{,}5\cdot6=18\,\mathsf m^3}
V=72+18=90 m3\mathsf{V=72+18=90\,\mathsf m^3}
G=4⋅3+12⋅4⋅1,5=15 m2\mathsf{G=4\cdot3+\frac12\cdot4\cdot1{,}5=15\,\mathsf m^2}
V=G⋅6=90 m3\mathsf{V=G\cdot6=90\,\mathsf m^3}

Ergebnis

Beide Wege ergeben 90 m³.

Erklärung 04

Nur äußere Flächen zählen

Werden zwei Teilkörper flächig verbunden, liegt jede Kontaktfläche anschließend innen. Bei der Summe der einzelnen Oberflächen wurde sie zweimal mitgezählt; deshalb ziehst du die doppelte Kontaktfläche ab. Beim Hausmodell zählt die Bodenfläche hier ausdrücklich mit. Türen, Fenster und Dachüberstände werden nicht berücksichtigt.

  1. Markiere zunächst alle äußeren Flächen.

  2. Trenne Dachschräge von senkrechter Dachhöhe.

Ogesamt=O1+O2−2F\mathsf{O_{\mathsf{gesamt}}=O_1+O_2-2F} bei einer gemeinsamen Kontaktfläche F.

So geht es am Beispiel

Berechne die Oberfläche des Hausmodells aus dem vorigen Beispiel einschließlich Boden.

s=22+1,52=2,5 m\mathsf{s=\sqrt{2^2+1{,}5^2}=2{,}5\,\mathsf m}

Zwei Hausfronten: 30 m²; zwei Seitenwände: 36 m²; zwei Dachflächen: 30 m²; Boden: 24 m².

O=30+36+30+24=120 m2\mathsf{O=30+36+30+24=120\,\mathsf m^2}

Ergebnis

120 m²

Erklärung 05

Bekannte Teilkörper nutzen

Die Formeln der Grundkörper liefern die Bausteine. Ausführliche Spezialfälle zu Prismen, Pyramiden oder weiteren zusammengesetzten Körpern folgen in späteren Körperthemen.

  1. Weiterlernen: Volumen berechnen und Oberflächeninhalt für die einzelnen Größen.

Eine Zeichnung muss auch klären, ob der Körper geschlossen ist und ob der Boden mitgezählt wird.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Zusammengesetzte Körper · AnwendenZwei Quader mit Volumen 24 cm³ und 35 cm³ werden ohne innere Überlappung verbunden. Bestimme das Gesamtvolumen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      V=24+35=59 cm3\mathsf{V=24+35=59\,\mathsf{cm}^3}

    Ergebnis

    1. Volumen59 cm³
  2. Aufgabe 2Zusammengesetzte Körper · AnwendenAus einem Quader mit Volumen 150 cm³ wird ein vollständig darin liegender Würfel mit Kantenlänge 3 cm entfernt. Bestimme das Restvolumen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      VWuerfel=33=27 cm3\mathsf{V_{\mathsf{Wuerfel}}=3^3=27\,\mathsf{cm}^3}
      VRest=150−27=123 cm3\mathsf{V_{\mathsf{Rest}}=150-27=123\,\mathsf{cm}^3}

    Ergebnis

    1. Restvolumen123 cm³
  3. Aufgabe 3Zusammengesetzte Körper · AnwendenEin geschlossenes Hausmodell hat Breite 6 m, Länge 8 m, Wandhöhe 4 m und Dachhöhe 4 m. Der Dachquerschnitt ist ein gleichschenkliges Dreieck. Bestimme das Volumen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      VWandteil=6⋅8⋅4=192 m3\mathsf{V_{\mathsf{Wandteil}}=6\cdot8\cdot4=192\,\mathsf m^3}
      VDach=12⋅6⋅4⋅8=96 m3\mathsf{V_{\mathsf{Dach}}=\frac12\cdot6\cdot4\cdot8=96\,\mathsf m^3}
      V=288 m3\mathsf{V=288\,\mathsf m^3}

    Ergebnis

    1. Volumen288 m³
  4. Aufgabe 4Zusammengesetzte Körper · AnwendenZwei Würfel mit Kantenlänge 2 cm werden an einer ganzen Fläche verbunden. Berechne die Oberfläche des neuen Körpers.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      O1+O2=2⋅6⋅22=48 cm2\mathsf{O_1+O_2=2\cdot6\cdot2^2=48\,\mathsf{cm}^2}
      F=22=4 cm2\mathsf{F=2^2=4\,\mathsf{cm}^2}
      O=48−2⋅4=40 cm2\mathsf{O=48-2\cdot4=40\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Oberfläche40 cm²
  5. Aufgabe 5Zusammengesetzte Körper · AnwendenBestimme die gesamte Oberfläche des Hausmodells aus Aufgabe 3 einschließlich Boden. Türen, Fenster und Dachüberstände werden nicht berücksichtigt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      s=32+42=5 m\mathsf{s=\sqrt{3^2+4^2}=5\,\mathsf m}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Zwei Hausfronten: 72 m²; Seitenwände: 64 m²; Dachflächen: 80 m²; Boden: 48 m².

      O=72+64+80+48=264 m2\mathsf{O=72+64+80+48=264\,\mathsf m^2}

    Ergebnis

    1. Oberfläche264 m²
  6. Aufgabe 6Zusammengesetzte Körper · AnwendenDie beiden Würfel werden so gedreht und verbunden, dass F₁ und F₂ genau aufeinanderliegen. Kennzeichne in der Vorlage die beiden Flächen, die anschließend nicht mehr außen liegen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Kontaktflächen

    Zwei Würfel vor dem Zusammenfügen; ihre Frontflächen F 1 und F 2 werden aufeinandergelegt.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Beim Zusammenfügen verschwinden beide Kontaktflächen von der äußeren Oberfläche.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Kennzeichne F₁ und F₂, nicht die übrigen sichtbaren Flächen.

    Ergebnis

    1. KontaktflächenF₁ und F₂ sind markiert; sie liegen nach dem Verbinden innen.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
  • Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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