Summen · Erklären & üben

Geometrische Summenformel

In einer geometrischen Summe entsteht jedes Glied durch Multiplikation des vorherigen mit demselben Faktor q. Vor dem Einsetzen in eine Formel zählst du die Glieder und prüfst den Startindex.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Index und Gliederzahl unterscheiden

Die Summe von k=0 bis n enthält n+1 Glieder: 1,q,…,q hoch n. Die Summe von k=0 bis N−1 enthält genau N Glieder.

Bei einem Startwert a werden alle Glieder mit a multipliziert. Für reelles q≠1 gilt die folgende Formel; bei q=1 wird getrennt gerechnet.

$\mathsf{\sum_{k=0}^{N-1}aq^k=a\frac{1-q^N}{1-q}\quad(N\ge1,\ q\ne1)}$

So geht es am Beispiel

Berechne 3+6+12+24.

$\mathsf{a=3,\ q=2,\ N=4}$ — Start, Faktor und Anzahl.

$\mathsf{S=3\frac{1-2^4}{1-2}}$ — einsetzen.

$\mathsf{S=3\frac{-15}{-1}}$ — Potenz und Differenzen.

$\mathsf{S=45}$ — ausrechnen.

Erklärung 02

Warum die Formel stimmt

Multipliziere die Summe mit q. Die Glieder sind dann um eine Stelle verschoben. Beim Subtrahieren heben sich alle mittleren Glieder auf.

Das Teilen durch 1−q ist nur für q≠1 erlaubt. Für q=1 sind alle N Glieder gleich a; die Summe ist Na.

So geht es am Beispiel

Leite die Formel für S=1+q+…+q hoch (N−1) her.

$\mathsf{S=1+q+\cdots+q^{N-1}}$ — Ausgangssumme.

$\mathsf{qS=q+q^2+\cdots+q^N}$ — mit q multiplizieren.

$\mathsf{S-qS=1-q^N}$ — zeilenweise subtrahieren.

$\mathsf{(1-q)S=1-q^N}$ — ausklammern.

$\mathsf{S=\frac{1-q^N}{1-q}}$ — durch 1−q teilen; q≠1.

Erklärung 03

Verschobene Indizes und negative Faktoren

Von k=m bis n mit 0≤m≤n gibt es n−m+1 Glieder. Klammere das erste Glied q hoch m aus und beginne die innere Summe wieder bei Exponent 0.

Bei negativem q wechseln die Vorzeichen. Die endliche Formel gilt trotzdem. Klammern um negative Basen verhindern Vorzeichenfehler.

$\mathsf{\sum_{k=m}^{n}q^k=q^m\frac{1-q^{n-m+1}}{1-q}\quad(q\ne1)}$

So geht es am Beispiel

Berechne die Summe von k=2 bis 4 über 2 hoch k.

$\mathsf{N=4-2+1=3}$ — drei Glieder.

$\mathsf{S=2^2\frac{1-2^3}{1-2}}$ — erstes Glied ausklammern.

$\mathsf{S=4\cdot7=28}$ — ausrechnen.

Erklärung 04

Anwendung und klar begrenzter Zusatz

Werden Mengen in gleichen Schritten jeweils mit q multipliziert, ist ihre Gesamtsumme geometrisch. Ob ein Anfangswert mitgezählt wird, entscheidet der konkrete Auftrag.

Zusatz: Eine unendliche geometrische Reihe mit Startwert a hat für |q|<1 die Summe a/(1−q), weil q hoch N gegen 0 geht. Die endliche Formel braucht diese Einschränkung nicht.

Für |q|≥1 und a≠0 konvergiert die unendliche Reihe nicht. Bei a=0 ist jede Summe selbstverständlich null.

Vier proportional skalierte Mengenbalken mit Indizes 0 bis 3 und Mengen 80,40,20,10 ml.

So geht es am Beispiel

Ein Versuch liefert nacheinander 80 ml, 40 ml, 20 ml und 10 ml. Wie viel ist das zusammen?

$\mathsf{a=80,\ q=1/2,\ N=4}$ — vier Mengen.

$\mathsf{S=80\frac{1-(1/2)^4}{1-1/2}}$ — Formel.

$\mathsf{S=80\cdot\frac{15}{16}\cdot2}$ — vereinfachen.

$\mathsf{S=150}$ — ausrechnen.

Erklärung 05

Die Formel auch durch Induktion bestätigen

Für festes q≠1 kann die Formel über die Gliederzahl N bewiesen werden. Der Anfang N=1 ergibt 1=(1−q)/(1−q). Im Schritt wird genau das nächste Glied q hoch N ergänzt.

So geht es am Beispiel

Führe den Induktionsschritt aus.

$\mathsf{S_N=\frac{1-q^N}{1-q}}$ — Annahme für ein beliebiges N≥1.

$\mathsf{S_{N+1}=S_N+q^N}$ — nächstes Glied ergänzen.

$\mathsf{S_{N+1}=\frac{1-q^N}{1-q}+q^N}$ — Annahme einsetzen.

$\mathsf{S_{N+1}=\frac{1-q^N+q^N(1-q)}{1-q}}$ — gleicher Nenner.

$\mathsf{S_{N+1}=\frac{1-q^{N+1}}{1-q}}$ — kürzen und zusammenfassen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Geometrische Summenformel · GrundlagenBerechne 1+3+9+27+81.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{q=3,\ N=5}$ — zählen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{S=(1-3^5)/(1-3)}$ — Formel.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{S=(-242)/(-2)=121}$ — ausrechnen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis121.
02
Aufgabe 2Geometrische Summenformel · GrundlagenBerechne ∑ von k=0 bis 3 über 5·2 hoch k.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a=5,\ q=2,\ N=4}$ — Parameter.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{S=5(1-2^4)/(1-2)}$ — einsetzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{S=5\cdot15=75}$ — ausrechnen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis75.
03
Aufgabe 3Geometrische Summenformel · GrundlagenBerechne ∑ von k=1 bis 4 über 2 hoch k.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a=2,\ q=2,\ N=4}$ — erstes Glied ist 2.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{S=2(1-2^4)/(1-2)}$ — Formel.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{S=30}$ — ausrechnen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis30.
04
Aufgabe 4Geometrische Summenformel · AnwendenBerechne ∑ von k=2 bis 5 über 3 hoch k.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a=9,\ N=5-2+1=4}$ — zählen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{S=9(1-3^4)/(1-3)}$ — einsetzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{S=9\cdot40=360}$ — ausrechnen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis360.
05
Aufgabe 5Geometrische Summenformel · AnwendenBerechne ∑ von k=0 bis 6 über 4·1 hoch k.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{q=1}$ — Sonderfall.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{N=7}$ — sieben Glieder.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{S=7\cdot4=28}$ — konstante Glieder.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis28.
06
Aufgabe 6Geometrische Summenformel · AnwendenBerechne 1−2+4−8+16.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{q=-2,\ N=5}$ — alternierende Glieder.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{S=(1-(-2)^5)/(1-(-2))}$ — Klammern.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{S=(1+32)/3=11}$ — ausrechnen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis11.
07
Aufgabe 7Geometrische Summenformel · AnwendenEine Maschine liefert in fünf Durchgängen 64,32,16,8,4 Teile. Berechne die Gesamtausbeute.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a=64,\ q=1/2,\ N=5}$ — Parameter.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{S=64(1-(1/2)^5)/(1-1/2)}$ — Formel.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{S=64\cdot(31/32)\cdot2=124}$ — ausrechnen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis124 Teile.
08
Aufgabe 8Geometrische Summenformel · VertiefenZusatz: Bestimme die unendliche Summe 3+1,5+0,75+… . Warum darf dieselbe Aussage nicht auf 3+6+12+… übertragen werden?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{q=1/2,\ |q|<1}$ — Konvergenzbedingung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{S=3/(1-1/2)=6}$ — unendliche Summe.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Bei der zweiten Reihe ist q=2; ihre Glieder gehen nicht gegen 0.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisErste Summe 6; zweite Reihe divergiert.
09
Aufgabe 9Geometrische Summenformel · VertiefenJemand verwendet für ∑ von k=0 bis 4 über q hoch k die Formel (1−q⁴)/(1−q). Erkläre den Indexfehler und ergänze den Fall q=1.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Von 0 bis 4 werden fünf Glieder summiert.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Für q≠1 lautet die Formel $\mathsf{(1-q^5)/(1-q)}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Für q=1 ist die Summe 5.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungFünf Glieder benötigen den Exponenten 5.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich notiere Startindex und Gliederzahl.
Ich trenne Voraussetzungen und Schlussfolgerungen.
Ein allgemeiner Beweis benötigt mehr als einzelne Beispiele.

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