Summen · Erklären & üben

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion beweist Aussagen für alle ganzen Zahlen ab einem festgelegten Startwert. Ein gesicherter Anfang und ein allgemeiner Übergang zum nächsten Fall gehören zusammen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Anfang, Annahme und Schritt

Formuliere zuerst die Aussage A(n) und den Bereich n≥n₀. Im Induktionsanfang beweist du A(n₀) direkt.

Im Induktionsschritt wählst du ein beliebiges festes n≥n₀ und nimmst A(n) vorübergehend an. Unter genau dieser Annahme beweist du A(n+1).

Die Annahme ist kein Beweis für alle n. Erst zusammen mit dem Anfang erzeugt der Übergang die ganze Kette.

$\mathsf{A(n_0),\quad A(n)\Rightarrow A(n+1)\quad\Longrightarrow\quad A(n)\ \textsf{für alle }n\ge n_0}$

Vier beschriftete Aussagen in einer Kette mit Übergangspfeilen und getrennt genanntem Anfang und Schritt.

Erklärung 02

Eine Summe vollständig beweisen

Beim Übergang einer Summe von n zu n+1 bleibt der bisherige Summenblock erhalten. Ergänze genau den neuen Summanden und ersetze erst dann den alten Block mithilfe der Annahme.

So geht es am Beispiel

Beweise 1+3+…+(2n−1)=n² für n≥1.

Anfang n=1: $\mathsf{1=1^2}$ .

Annahme: $\mathsf{\sum_{k=1}^n(2k-1)=n^2}$ für ein beliebiges n≥1.

$\mathsf{\sum_{k=1}^{n+1}(2k-1)=\sum_{k=1}^n(2k-1)+(2n+1)}$ — neues Glied.

$\mathsf{\sum_{k=1}^{n+1}(2k-1)=n^2+2n+1}$ — Annahme.

$\mathsf{n^2+2n+1=(n+1)^2}$ — binomische Formel.

Erklärung 03

Teilbarkeit im Induktionsschritt

Teilbarkeit durch d bedeutet: Der Term ist d mal eine ganze Zahl. Verwende die Annahme in dieser Form oder zerlege den neuen Term in zwei durch d teilbare Teile.

Einzelne Beispiele genügen nicht für einen allgemeinen Beweis. Sie können allerdings eine falsche Behauptung widerlegen.

So geht es am Beispiel

Beweise: 3 hoch n−1 ist für alle n≥1 durch 2 teilbar.

Anfang n=1: $\mathsf{3^1-1=2}$ .

Annahme: $\mathsf{3^n-1=2m}$ für ein ganzes m.

$\mathsf{3^{n+1}-1=3(3^n-1)+2}$ — passend umformen.

$\mathsf{3^{n+1}-1=3\cdot2m+2}$ — Annahme einsetzen.

$\mathsf{3^{n+1}-1=2(3m+1)}$ — 2 ausklammern.

Erklärung 04

Fehler vermeiden und Startwert beachten

Ein Schritt ohne Anfang reicht nicht: Die Aussage „n=n+1“ lässt sich formal zum nächsten Fall weitertragen, ist aber schon am Start falsch.

Die Schlussfolgerung gilt nur ab dem bewiesenen Startwert. Wird eine Aussage erst für n≥2 behauptet, muss der Anfang bei 2 liegen.

Im Schritt darfst du A(n+1) nicht einfach voraussetzen. Schreibe die Zielgleichung als Ziel hin und leite sie aus A(n) her; sonst ist der Beweis ein Zirkelschluss.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Vollständige Induktion · GrundlagenFür A(n): 1+…+n=n(n+1)/2, n≥1. Führe nur den Induktionsanfang aus und formuliere die Annahme.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Anfang: $\mathsf{1=1\cdot2/2=1}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Annahme für beliebiges n≥1: $\mathsf{\sum_{k=1}^n k=n(n+1)/2}$ .
Ergebnis
1. Antwort und BegründungAnfang stimmt; Annahme bezieht sich auf ein beliebiges festes n.
02
Aufgabe 2Vollständige Induktion · GrundlagenVervollständige für dieselbe Aussage den Schritt von n nach n+1 und schließe den Beweis ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\sum_{k=1}^{n+1}k=\sum_{k=1}^nk+(n+1)}$ — neues Glied.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{=n(n+1)/2+(n+1)}$ — Annahme.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{=(n+1)(n/2+1)}$ — ausklammern.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{=(n+1)(n+2)/2}$ — Zielterm.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisMit dem Anfang aus Aufgabe 1 gilt die Formel für alle n≥1.
03
Aufgabe 3Vollständige Induktion · GrundlagenBeweise mit vollständiger Induktion: 2+4+…+2n=n(n+1) für n≥1.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Anfang n=1: $\mathsf{2=1\cdot2}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Annahme: $\mathsf{\sum_{k=1}^n2k=n(n+1)}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\sum_{k=1}^{n+1}2k=n(n+1)+2(n+1)}$ — Annahme und neues Glied.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{=(n+1)(n+2)}$ — ausklammern.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisDie Formel gilt für alle n≥1.
04
Aufgabe 4Vollständige Induktion · AnwendenBeweise: 1+2+…+2 hoch n = 2 hoch (n+1)−1 für n≥0. Gemeint ist die Summe der Zweierpotenzen von k=0 bis n.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Anfang n=0: $\mathsf{1=2^1-1}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Annahme: $\mathsf{\sum_{k=0}^n2^k=2^{n+1}-1}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\sum_{k=0}^{n+1}2^k=(2^{n+1}-1)+2^{n+1}}$ — nächstes Glied.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{=2\cdot2^{n+1}-1}$ — zusammenfassen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{=2^{n+2}-1}$ — Ziel.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisGilt für alle n≥0.
05
Aufgabe 5Vollständige Induktion · AnwendenBeweise: 5 hoch n−1 ist für alle n≥1 durch 4 teilbar.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Anfang: $\mathsf{5^1-1=4}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Annahme: $\mathsf{5^n-1=4m}$ mit ganzem m.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{5^{n+1}-1=5(5^n-1)+4}$ — umformen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{=5\cdot4m+4}$ — Annahme.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{=4(5m+1)}$ — ganzzahliges Vielfaches.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisTeilbar durch 4 für alle n≥1.
06
Aufgabe 6Vollständige Induktion · AnwendenBeweise: n(n+1) ist für alle n≥1 gerade. Nutze Induktion.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Anfang: $\mathsf{1\cdot2=2}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Annahme: $\mathsf{n(n+1)=2m}$ mit ganzem m.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(n+1)(n+2)=n(n+1)+2(n+1)}$ — zerlegen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{=2m+2(n+1)}$ — Annahme.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{=2(m+n+1)}$ — Faktor 2.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisFür alle n≥1 gerade.
07
Aufgabe 7Vollständige Induktion · AnwendenJemand hat eine Formel für n=1,2,3,4 nachgerechnet. Ist das bereits ein Induktionsbeweis?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Rechnungen prüfen nur vier Fälle.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der allgemeine Übergang von einem beliebigen n zu n+1 fehlt.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungNein; der Induktionsschritt fehlt.
08
Aufgabe 8Vollständige Induktion · VertiefenEine Behauptung gilt für n≥2. Im Beweis wird A(2) gezeigt und für alle n≥2 der Übergang A(n)⇒A(n+1). Welche Fälle sind damit bewiesen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  A(2) startet die Kette.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Schritt liefert A(3), danach A(4) und so weiter.
3. Schritt 3 · Erklärung
  A(1) wird dadurch nicht erreicht.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungAlle ganzen n≥2; keine Aussage über n=1.
09
Aufgabe 9Vollständige Induktion · VertiefenFinde ein Gegenbeispiel zu „n²+n+1 ist für alle n≥1 gerade“. Warum kann hierfür kein korrekter Induktionsbeweis gelingen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bei n=1: $\mathsf{1^2+1+1=3}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  3 ist ungerade.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Schon der erste verlangte Fall widerlegt die Aussage.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungGegenbeispiel n=1; die allgemeine Behauptung ist falsch.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich notiere Startindex und Gliederzahl.
Ich trenne Voraussetzungen und Schlussfolgerungen.
Ein allgemeiner Beweis benötigt mehr als einzelne Beispiele.

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