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Mittelwerte und Lage · Erklären & üben

Geometrisches Mittel

Das geometrische Mittel beschreibt einen gemeinsamen multiplikativen Faktor. Hier wird es ausschließlich für positive Werte verwendet, besonders für Wachstumsfaktoren gleich langer Zeitabschnitte.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Produkt statt Summe

Für positive Werte ist das geometrische Mittel die n-te Wurzel aus ihrem Produkt. Es beschreibt den gleichen Faktor, dessen n-fache Anwendung dasselbe Gesamtprodukt liefert.

Negative Zahlen und Null gehören hier nicht zur Definition. Ein Rückgang um 20 Prozent hat trotzdem einen positiven Wachstumsfaktor 0,8. Man mittelt die Faktoren, nicht direkt die vorzeichenbehafteten Prozentsätze.

  1. Prüfe positive Werte.

  2. Bilde das Produkt.

  3. Ziehe die zur Anzahl passende Wurzel.

g=x1⋯xnn,xi>0\mathsf{g=\sqrt[n]{x_1\cdots x_n},\qquad x_i>0}

Prozentänderungen zunächst in positive Faktoren übersetzen; vollständiger Verlust ist außerhalb des hier definierten positiven Modells.

So geht es am Beispiel

Berechne das geometrische Mittel von 4 und 9.

g=4⋅9=6\mathsf{g=\sqrt{4\cdot9}=6}

Ergebnis

Geometrisches Mittel 6.

Erklärung 02

Gleichmäßiger Faktor über die Zeit

Die Zeitabschnitte müssen für einen mittleren Periodenfaktor gleich lang sein. Aus einer Prozentänderung wird zuerst der Faktor 1 plus Rate als Dezimalzahl.

Der mittlere Faktor kann unter 1 liegen. Die mittlere prozentuale Änderung entsteht, indem man vom Faktor 1 abzieht und mit 100 Prozent multipliziert.

  1. Wandle Raten in Faktoren um.

  2. Berechne den gemeinsamen Periodenfaktor.

  3. Deute den Faktor als Zuwachs oder Rückgang.

qmittel=q1⋯qnn,rmittel=(qmittel−1)⋅100 %\mathsf{q_{\mathsf{mittel}}=\sqrt[n]{q_1\cdots q_n},\qquad r_{\mathsf{mittel}}=(q_{\mathsf{mittel}}-1)\cdot100\,\%}

Zwei gleich lange Zeitabschnitte: Gesamtfaktor1; durchschnittlicher Faktor1 trotz arithmetischem Ratenmittel2,5 Prozent.

So geht es am Beispiel

Ein Bestand wächst in einer Periode um 25 Prozent und sinkt in der nächsten gleich langen Periode um 20 Prozent. Bestimme den mittleren Faktor.

qmittel=1,25⋅0,8=1\mathsf{q_{\mathsf{mittel}}=\sqrt{1{,}25\cdot0{,}8}=1}
rmittel=0 %\mathsf{r_{\mathsf{mittel}}=0\,\%}

Ergebnis

Im geometrischen Mittel keine Änderung pro Periode.

Erklärung 03

Wiederholte Faktoren und Verhältnis-Mitte

Gilt ein Faktor über mehrere gleich lange Perioden, zählt er mehrfach im Produkt. Die Periodenzahlen sind hier positive ganze Gewichte. Allgemeine gewichtete Mittel und Logarithmenverfahren werden nicht vorausgesetzt.

Eine geometrische Mitte zwischen zwei positiven Frequenzen hat dasselbe Verhältnis zu beiden Randfrequenzen. Dies ist eine mathematische Verhältnis-Mitte, keine allgemeine Aussage zur Wahrnehmung. Harmonisches Mittel behandelt dagegen Mittelwerte von Raten bei gleichen Strecken.

  1. Nimm wiederholte Faktoren mit ihrer Periodenanzahl auf.

  2. Prüfe, ob ein multiplikativer Zusammenhang vorliegt.

gw=∏ixiwi∑iwi\mathsf{g_w=\sqrt[\sum_iw_i]{\prod_i x_i^{w_i}}}

So geht es am Beispiel

Der Faktor 2 gilt in einer Periode, der Faktor 4 in zwei weiteren gleich langen Perioden. Bestimme den mittleren Faktor.

gw=2⋅423=323≈3,175\mathsf{g_w=\sqrt[3]{2\cdot4^2}=\sqrt[3]{32}\approx3{,}175}

Ergebnis

Mittlerer Faktor ungefähr 3,175.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Verhältnis-Mitte zwischen 200 Hz und 800 Hz.

fm=200⋅800=400\mathsf{f_m=\sqrt{200\cdot800}=400}
400200=800400=2\mathsf{\frac{400}{200}=\frac{800}{400}=2}

Ergebnis

400 Hz; beide Verhältnisse sind 2.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Geometrisches Mittel · EinstiegBerechne das geometrische Mittel von 2 und 8.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      g=2⋅8=4\mathsf{g=\sqrt{2\cdot8}=4}

    Ergebnis

    1. Geometrisches Mittel4\mathsf{4}
  2. Aufgabe 2Geometrisches Mittel · EinstiegBerechne das geometrische Mittel von 1,2,4.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      g=1⋅2⋅43=2\mathsf{g=\sqrt[3]{1\cdot2\cdot4}=2}

    Ergebnis

    1. Geometrisches Mittel2\mathsf{2}
  3. Aufgabe 3Geometrisches Mittel · AnwendenEin Bestand 100 wächst um 25 Prozent und fällt danach um 20 Prozent. Zeichne den Vergleichspfad, der in beiden gleich langen Perioden denselben geometrischen Durchschnittsfaktor verwendet. Beschrifte die Bestände.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Gleichmäßiger Vergleichspfad

    Achsen Perioden0,1,2 und Bestand0bis150; Anfangspunkt100 gegeben.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung
      q=1,25⋅0,8=1\mathsf{q=\sqrt{1{,}25\cdot0{,}8}=1}
    2. Schritt 2 · Erklärung

      Der Vergleichspfad bleibt deshalb in beiden Perioden bei 100.

    Ergebnis

    1. Gleichmäßiger VergleichspfadPunkte(0,100),(1,100),(2,100), waagerecht verbunden und beschriftet.
  4. Aufgabe 4Geometrisches Mittel · AnwendenEin Wert steigt in zwei gleich langen Perioden jeweils um 10 Prozent. Berechne Gesamtfaktor und mittleren Periodenfaktor.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      qgesamt=1,12=1,21\mathsf{q_{\mathsf{gesamt}}=1{,}1^2=1{,}21}
      qmittel=1,21=1,1\mathsf{q_{\mathsf{mittel}}=\sqrt{1{,}21}=1{,}1}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Gesamtfaktor1,21\mathsf{1{,}21}
    2. Mittlerer Faktor1,1\mathsf{1{,}1}
  5. Aufgabe 5Geometrisches Mittel · TransferDer Faktor 2 gilt in zwei Perioden und der Faktor 16 in einer weiteren gleich langen Periode. Bestimme den mittleren Faktor.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      q=22⋅163=643=4\mathsf{q=\sqrt[3]{2^2\cdot16}=\sqrt[3]{64}=4}

    Ergebnis

    1. Mittlerer Faktor4\mathsf{4}
  6. Aufgabe 6Geometrisches Mittel · TransferEine Größe sinkt um 30 Prozent. Gib den positiven Wachstumsfaktor an. Erkläre, weshalb man nicht −30 als Wert in das hier definierte geometrische Mittel einsetzt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Ein Rückgang um 30 Prozent lässt 70 Prozent des Ausgangswertes bestehen.

      q=0,7\mathsf{q=0{,}7}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      −30 ist die Prozentangabe, nicht der positive Multiplikationsfaktor.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Wachstumsfaktor0,7\mathsf{0{,}7}
    2. BegründungGemittelt werden positive Faktoren; die negative Prozentzahl ist keine solche Eingabe.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich übersetze Änderungen in positive Faktoren.
  • Ich berechne einen gleichen Periodenfaktor aus einem Produkt und prüfe gleiche Zeitabschnitte.

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