Mittelwerte und Lage · Erklären & üben

Durchschnitt berechnen

Den einfachen Durchschnitt berechnest du, indem du alle gleich gewichteten Werte addierst und durch ihre Anzahl teilst. Dieses Thema übt die Rechnung in konkreten Situationen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Summe durch Anzahl

Der einfache Durchschnitt ist das arithmetische Mittel. Alle Beobachtungen gehen gleich stark ein. Verwende dieselbe Einheit und zähle auch wiederholte Werte mit.

Runde möglichst erst das Endergebnis. Die Einheit des Durchschnitts entspricht der Einheit der Einzelwerte.

Addiere alle Werte.
Zähle die Beobachtungen.
Teile die Summe durch die Anzahl.

$\mathsf{\bar x=\frac{x_1+\cdots+x_n}{n},\qquad n>0}$

Summe15 wird auf drei gleich gewichtete Beobachtungen verteilt.

So geht es am Beispiel

An drei Tagen werden 3,5 und 7 Kilometer gegangen. Wie groß ist die durchschnittliche Tagesstrecke?

\mathsf{\bar x=\frac{3+5+7}{3}=5}

Erklärung 02

Noten und Messwerte

Ein Notendurchschnitt ist hier ein ausdrücklich vereinfachtes Modell gleich gewichteter numerischer Noten; tatsächliche Bewertungsregeln können andere Gewichte festlegen.

Bei sportlichen Messungen kann der Durchschnitt mehrere gültige Versuche zusammenfassen. Er ist nicht automatisch die beste Leistung. Fehlende oder ungültige Versuche dürfen nicht ohne Regel als 0 eingesetzt werden.

Prüfe gleiche Gewichtung und gültige Werte.
Trenne Durchschnitt und Bestwert.

Gewichtete Bewertungen behandelt Arithmetisches Mittel.

So geht es am Beispiel

Vier gleich gewichtete Übungsnoten lauten 2,3,2,1. Berechne den Durchschnitt.

\mathsf{\bar x=\frac{2+3+2+1}{4}=2}

So geht es am Beispiel

Drei gültige Würfe erreichen 6,0 m,7,2 m und 6,6 m. Berechne den Durchschnitt.

\mathsf{\bar x=\frac{6{,}0+7{,}2+6{,}6}{3}=6{,}6}

Erklärung 03

Nullwerte und fehlende Werte

Eine tatsächlich gemessene 0 wird mitgezählt. Ein fehlender Wert ist unbekannt und darf nicht automatisch durch 0 ersetzt werden.

Wenn du nur aus vorhandenen Werten einen Mittelwert berechnest, benenne diese Teilmenge. Der Durchschnitt aller vorgesehenen Beobachtungen bleibt ohne den fehlenden Wert unbestimmt.

Unterscheide gemessene 0 von nicht erfasst.
Nenne die verwendete Zahl gültiger Beobachtungen.

Ohne gültige Werte ist der Durchschnitt nicht definiert.

Beobachtete Null zählt mit; fehlende Beobachtung verändert die bekannte Datenbasis.

So geht es am Beispiel

An drei Tagen sollten Laufminuten erfasst werden:12, fehlend,18. Was lässt sich berechnen?

\mathsf{\bar x_{\mathsf{vorhanden}}=\frac{12+18}{2}=15}

Der fehlende Tag kann einen anderen Wert haben.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Durchschnitt berechnen · EinstiegBerechne den Durchschnitt der Werte 4,6,8.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Durchschnitt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\bar x=\frac{4+6+8}{3}=6}$
Ergebnis
1. Durchschnitt $\mathsf{6}$
02
Aufgabe 2Durchschnitt berechnen · EinstiegVier gleich gewichtete Übungsnoten lauten 1,2,3,2. Bestimme den Durchschnitt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Notendurchschnitt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\bar x=\frac{1+2+3+2}{4}=2}$
Ergebnis
1. Notendurchschnitt $\mathsf{2}$
03
Aufgabe 3Durchschnitt berechnen · AnwendenDie Messwerte 3,5,7,9 sind als Punkte eingetragen. Berechne ihren Mittelwert, zeichne die waagerechte Linie auf dieser Höhe und beschrifte sie.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Mittelwertlinie
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Mittelwertlinie
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\bar x=\frac{3+5+7+9}{4}=6}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Abstände nach unten 3 und 1 gleichen die Abstände nach oben 1 und 3 aus.
Ergebnis
1. MittelwertlinieWaagerechte beschriftete Linie bei 6.
04
Aufgabe 4Durchschnitt berechnen · AnwendenDrei gültige Würfe erreichen 5,4 m,6,0 m und 6,6 m. Berechne Durchschnitt und Bestwert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Durchschnitt in Metern
Bestwert in Metern
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\bar x=\frac{5{,}4+6{,}0+6{,}6}{3}=6{,}0}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der größte einzelne Wert ist 6,6 m.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Durchschnitt in Metern $\mathsf{6}$
2. Bestwert in Metern $\mathsf{6{,}6}$
05
Aufgabe 5Durchschnitt berechnen · TransferVergleiche die Daten 4,0,8 mit 4,fehlend,8. Berechne jeweils den Durchschnitt der vorhandenen gültigen Werte und nenne die verwendete Anzahl.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Mittelwert mit Null
Anzahl mit Null
Mittelwert bekannter Werte
Anzahl bekannter Werte
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\bar x_1=\frac{4+0+8}{3}=4}$
  $\mathsf{\bar x_2=\frac{4+8}{2}=6}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die zweite Rechnung beschreibt nur zwei bekannte Beobachtungen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Mittelwert mit Null $\mathsf{4}$
2. Anzahl mit Null $\mathsf{3}$
3. Mittelwert bekannter Werte $\mathsf{6}$
4. Anzahl bekannter Werte $\mathsf{2}$
06
Aufgabe 6Durchschnitt berechnen · TransferZwei Strecken sind 300 m und 0,5 km lang. Bestimme ihre mittlere Länge in Metern.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Mittlere Länge in Metern
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Zuerst dieselbe Einheit verwenden:0,5 km sind 500 m.
  $\mathsf{\bar x=\frac{300+500}{2}=400}$
Ergebnis
1. Mittlere Länge in Metern $\mathsf{400}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich berechne einfache Durchschnitte mit gleichen Gewichten und Einheiten.
Ich unterscheide Nullwerte von fehlenden Daten und Durchschnitt von Bestwert.

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