Quadratische Funktionen · Erklären & üben

Gestreckte und gestauchte Parabel

Der Faktor a in a(x−d)²+e bestimmt die vertikalen Abstände zur Scheitelhöhe e. Sein Betrag beschreibt Streckung oder Stauchung; sein Vorzeichen entscheidet über die Öffnungsrichtung.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Betrag und Vorzeichen getrennt betrachten

Für |a|>1 ist die Parabel gegenüber der passenden Normalparabel vertikal gestreckt und erscheint schmaler. Für 0<|a|<1 ist sie vertikal gestaucht und erscheint breiter.

Bei |a|=1 gibt es keine Streckung oder Stauchung. a=1 öffnet nach oben; a=−1 ist zusätzlich gespiegelt und öffnet nach unten.

Bei a=0 verschwindet der quadratische Term. Dann ist der Graph keine Parabel.

$\mathsf{|a|>1:\ \textsf{gestreckt}\qquad0<|a|<1:\ \textsf{gestaucht}}$

Zwei gleich skalierte Parabelgraphen zeigen Streckung bei a=2 und Stauchung bei a=0,5.

Erklärung 02

Stützpunkte statt Breite schätzen

Bei f(x)=ax² gilt f(1)=a und f(2)=4a. Die y-Werte der Normalparabel werden also mit a multipliziert.

Für verschobene Parabeln gilt f(d+h)=ah²+e. Vergleiche den Abstand zum Scheitelwert e; multipliziere nicht den gesamten y-Wert mit a.

So geht es am Beispiel

Bestimme Stützpunkte von f(x)=2(x−1)²+3.

$\mathsf{f(1)=3}$ — Scheitel.

$\mathsf{f(0)=2\cdot1+3=5}$ — ein Schritt links.

$\mathsf{f(2)=2\cdot1+3=5}$ — ein Schritt rechts.

Erklärung 03

Spiegelung präzise beschreiben

Für ax² führt ein negatives a zur Spiegelung an der x-Achse gegenüber |a|x².

„Negatives a bedeutet Stauchung“ ist falsch: a=−3 ist gespiegelt und gestreckt; a=−0,5 ist gespiegelt und gestaucht.

Erklärung 04

Faktor aus einem Punkt bestimmen

Wenn Scheitel und ein weiterer Punkt bekannt sind, setze beide in die Scheitelpunktform ein. Für einen Punkt mit x≠d erhältst du a=(y−e)/(x−d)².

Beim grafischen Vergleichen müssen die Achsenskalen übereinstimmen. Eine schmale Darstellung auf dem Blatt ist ohne Skalierung kein Beweis für einen größeren Faktor.

So geht es am Beispiel

S(0|0), P(2|−2): Bestimme a.

$\mathsf{-2=a\cdot2^2}$ — Punkt einsetzen.

$\mathsf{-2=4a}$ — Quadrat.

$\mathsf{a=-1/2}$ — teilen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Gestreckte und gestauchte Parabel · GrundlagenOrdne f(x)=4x² ein.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a=4>0}$ — nach oben.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{|a|=4>1}$ — Streckung.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisNach oben geöffnet, gestreckt.
02
Aufgabe 2Gestreckte und gestauchte Parabel · GrundlagenOrdne f(x)=−0,25x² ein.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a<0}$ — nach unten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{|a|=0{,}25<1}$ — Stauchung.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisNach unten geöffnet, gestaucht.
03
Aufgabe 3Gestreckte und gestauchte Parabel · GrundlagenOrdne f(x)=−x² ein.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a=-1}$ — negativ.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{|a|=1}$ — keine Größenänderung.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisSpiegelung der Normalparabel, keine Streckung oder Stauchung.
04
Aufgabe 4Gestreckte und gestauchte Parabel · AnwendenBerechne die Werte von f(x)=3x² bei x=−2,−1,0,1,2.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(\pm2)=3\cdot4=12}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(\pm1)=3}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(0)=0}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis12,3,0,3,12.
05
Aufgabe 5Gestreckte und gestauchte Parabel · AnwendenBestimme Scheitel und Einordnung von f(x)=−2(x+1)²+4.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{d=-1,\ e=4}$ — Scheitel.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a=-2<0}$ — nach unten.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{|a|=2>1}$ — gestreckt.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisS(−1|4), nach unten, gestreckt.
06
Aufgabe 6Gestreckte und gestauchte Parabel · AnwendenS(1|2) und P(3|4) gehören zu einer Parabel. Bestimme a und den Term.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{4=a(3-1)^2+2}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2=4a}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a=1/2}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnisf(x)=0,5(x−1)²+2; gestaucht.
07
Aufgabe 7Gestreckte und gestauchte Parabel · AnwendenJemand behauptet: Bei f(x)=2(x−1)²+3 werden alle y-Werte von (x−1)²+3 verdoppelt. Widerlege das am Scheitel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Beide Funktionen haben bei x=1 den Wert 3.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Verdoppeln des ganzen Werts würde 6 liefern.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Verdoppelt wird nur der Abstand zur Höhe 3.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisDie Behauptung ist falsch; der Scheitelwert bleibt 3.
08
Aufgabe 8Gestreckte und gestauchte Parabel · VertiefenWas entsteht aus a(x−2)²−1 bei a=0? Warum ist die Einordnung als gestauchte Parabel falsch?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(x)=0\cdot(x-2)^2-1=-1}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der quadratische Term ist verschwunden.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisWaagerechte Gerade y=−1, keine Parabel.
09
Aufgabe 9Gestreckte und gestauchte Parabel · VertiefenZeichne 2x² und 0,5x² in die gleich skalierten Vorlagen. Markiere bei der ersten Parabel die Punkte mit x=±1, bei der zweiten x=±2. Vergleiche die Graphen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{2(\pm1)^2=2}$ — erster Graph.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{0{,}5(\pm2)^2=2}$ — zweiter Graph.
Ergebnis
1. Antwort und Begründung2x² ist schmaler; 0,5x² ist breiter. Beide haben S(0|0).

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich beachte das Vorzeichen in der Scheitelklammer.
Ich unterscheide Vorzeichen und Betrag von a.
Ich vergleiche Graphen bei gleichen Skalen.

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