Quadratische Funktionen · Erklären & üben

Scheitelpunkt

Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel. In der Scheitelpunktform kannst du seine Koordinaten direkt ablesen; aus der allgemeinen Form lässt er sich durch Umformen bestimmen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Scheitelpunktform richtig lesen

Für f(x)=a(x−d)²+e mit a≠0 ist S(d|e) der Scheitelpunkt und x=d die Symmetrieachse.

Bei a>0 öffnet sich die Parabel nach oben; S ist ein Tiefpunkt. Bei a<0 öffnet sie sich nach unten; S ist ein Hochpunkt.

Das Vorzeichen in der Klammer ist zu beachten: (x+3)²=(x−(−3))² liefert d=−3.

$\mathsf{f(x)=a(x-d)^2+e\quad\Rightarrow\quad S(d|e)}$

Skalierte Parabel mit eingezeichnetem Scheitel und eindeutig benannter Symmetrieachse.

So geht es am Beispiel

Lies den Scheitel von f(x)=−2(x+3)²+5 ab.

$\mathsf{x+3=x-(-3)}$ — Standardform erkennen.

$\mathsf{d=-3,\ e=5}$ — Koordinaten.

$\mathsf{a=-2<0}$ — Öffnung nach unten.

Erklärung 02

Quadratische Ergänzung bei a=1

Halbiere den Koeffizienten von x und quadriere diese Hälfte. Ergänze den Wert und ziehe denselben Wert wieder ab, damit der Term gleich bleibt.

Die ersten drei Terme ergeben ein binomisches Quadrat. Fasse danach die Konstanten zusammen.

So geht es am Beispiel

Bestimme den Scheitel von f(x)=x²−6x+5.

$\mathsf{f(x)=x^2-6x+9-9+5}$ — 9 ergänzen und ausgleichen.

$\mathsf{f(x)=(x-3)^2-9+5}$ — binomisches Quadrat.

$\mathsf{f(x)=(x-3)^2-4}$ — Konstanten.

$\mathsf{f(3)=-4}$ — Probe.

Erklärung 03

Allgemeine Form mit Vorfaktor

Für ax²+bx+c klammere zuerst a aus den beiden x-Termen aus. Ergänze dann innerhalb der Klammer. Der Ausgleich wird ebenfalls mit a multipliziert.

Als kurze Rechenform gilt xS=−b/(2a). Die y-Koordinate erhältst du durch Einsetzen in den ursprünglichen Term. Die ausführliche Ergänzung erklärt diese Formel.

So geht es am Beispiel

f(x)=2x²−8x+3

$\mathsf{f(x)=2(x^2-4x)+3}$ — 2 ausklammern.

$\mathsf{f(x)=2(x^2-4x+4-4)+3}$ — ergänzen.

$\mathsf{f(x)=2((x-2)^2-4)+3}$ — binomisches Quadrat.

$\mathsf{f(x)=2(x-2)^2-8+3}$ — äußeren Faktor verteilen.

$\mathsf{f(x)=2(x-2)^2-5}$ — zusammenfassen.

Erklärung 04

Parameter und passende Punkte

In a(x−d)²+e verändert d die waagerechte Lage, e die Höhe des Scheitels. a beeinflusst Öffnungsrichtung und Streckung, aber nicht den Scheitelpunkt.

Ist S gegeben und ein weiterer Punkt P mit xP≠d, kannst du a durch Einsetzen bestimmen. Liegt nur der Scheitel selbst vor, bleibt a frei.

Bei a=0 entsteht eine konstante Funktion, keine Parabel. Die Scheitelpunktform als Parabelbeschreibung setzt a≠0 voraus.

So geht es am Beispiel

Eine Parabel hat S(1|−2) und geht durch P(3|6). Bestimme die Gleichung.

$\mathsf{f(x)=a(x-1)^2-2}$ — Scheitel einsetzen.

$\mathsf{6=a(3-1)^2-2}$ — Punkt P.

$\mathsf{6=4a-2}$ — Quadrat.

$\mathsf{8=4a}$ — 2 addieren.

$\mathsf{a=2}$ — teilen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Scheitelpunkt · GrundlagenLies Scheitel, Achse und Extremtyp von (x−4)²+1 ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{d=4,\ e=1,\ a=1>0}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisS(4|1), Achse x=4, Tiefpunkt.
02
Aufgabe 2Scheitelpunkt · GrundlagenLies Scheitel und Extremtyp von −3(x+2)²−5 ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+2=x-(-2)}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{d=-2,\ e=-5,\ a=-3<0}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisS(−2|−5), Hochpunkt.
03
Aufgabe 3Scheitelpunkt · GrundlagenBringe x²+4x+1 in Scheitelpunktform.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2+4x+1=x^2+4x+4-4+1}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{=(x+2)^2-3}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisS(−2|−3).
04
Aufgabe 4Scheitelpunkt · AnwendenBestimme den Scheitel von 3x²−6x+4 durch Ergänzung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3(x^2-2x)+4}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3(x^2-2x+1-1)+4}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3(x-1)^2-3+4}$ .
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3(x-1)^2+1}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisS(1|1).
05
Aufgabe 5Scheitelpunkt · AnwendenBestimme den Scheitel von −2x²−8x+1.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-2(x^2+4x)+1}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-2(x^2+4x+4-4)+1}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-2(x+2)^2+8+1}$ .
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-2(x+2)^2+9}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisS(−2|9), Hochpunkt.
06
Aufgabe 6Scheitelpunkt · AnwendenNutze xS=−b/(2a) für f(x)=2x²+4x−1. Berechne auch yS.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_S=-4/(2\cdot2)=-1}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(-1)=2-4-1=-3}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisS(−1|−3).
07
Aufgabe 7Scheitelpunkt · AnwendenEine Parabel hat S(2|1) und geht durch P(3|4). Bestimme a und den Term.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(x)=a(x-2)^2+1}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{4=a(3-2)^2+1}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a=3}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnisf(x)=3(x−2)²+1.
08
Aufgabe 8Scheitelpunkt · VertiefenFür welche Werte von a hat f(x)=a(x−1)²+2 einen Tiefpunkt, Hochpunkt oder keine Parabel?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  a>0: nach oben geöffnet.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  a<0: nach unten geöffnet.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  a=0: f(x)=2 konstant.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisTiefpunkt bei a>0; Hochpunkt bei a<0; keine Parabel bei a=0.
09
Aufgabe 9Scheitelpunkt · VertiefenZeichne die Parabel (x−1)²−2 mit dem gegebenen Scheitel. Berechne symmetrische Stützpunkte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{f(-1)=2,\ f(0)=-1}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{f(1)=-2}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{f(2)=-1,\ f(3)=2}$ .
Ergebnis
1. Antwort und BegründungSymmetrische Parabel mit S(1|−2).

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich beachte das Vorzeichen in der Scheitelklammer.
Ich unterscheide Vorzeichen und Betrag von a.
Ich vergleiche Graphen bei gleichen Skalen.

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