Dreiecke · Erklären & üben

Gleichschenkliges Dreieck

Zwei gleich lange Schenkel erzeugen eine Symmetrieachse. Sie halbiert die Basis und den Spitzenwinkel und steht senkrecht auf der Basis.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Basis, Schenkel und Winkel

Ein gleichschenkliges Dreieck hat mindestens zwei gleich lange Seiten. Wir nennen die ausgewählten gleichen Seiten s und die dritte Seite Basis b. Die Basiswinkel sind gleich. Auch ein gleichseitiges Dreieck erfüllt diese Definition.

Finde die gleichen Schenkel.
Die beiden Winkel an der Basis sind gleich groß.

$\mathsf{\alpha=\beta,\qquad 2\alpha+\gamma=180^\circ}$

Maßhaltiges gleichschenkliges Dreieck mit Seiten5,5,6 und Höhe4.

So geht es am Beispiel

Der Spitzenwinkel beträgt 50 Grad. Berechne einen Basiswinkel.

\mathsf{\alpha=\frac{180^\circ-50^\circ}{2}=65^\circ}

Erklärung 02

Höhe aus Basis und Schenkel

Die Höhe zur Basis teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Hälften. Jede Hälfte hat die Hypotenuse s und die waagerechte Kathete b/2. Vorausgesetzt sind positive Längen und eine Basis kleiner als zwei Schenkel.

Halbiere die Basis.
Nutze Pythagoras in einer Hälfte.

$\mathsf{h=\sqrt{s^2-\left(\frac b2\right)^2},\qquad 0<b<2s}$

Rechtwinklige Hälfte: Höhe h, halbe Basis b/2, Hypotenuse s.

So geht es am Beispiel

Basis 6 cm, Schenkel 5 cm: Berechne die Höhe.

\mathsf{b/2=3\,\mathsf{cm}}

\mathsf{h=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4\,\mathsf{cm}}

Erklärung 03

Optional: Höhe mit Basiswinkel

Voraussetzung ist der Tangens im rechtwinkligen Dreieck. Alpha bezeichnet hier ausdrücklich einen Basiswinkel. In einer Hälfte ist h die Gegenkathete und b/2 die Ankathete. Stelle den Taschenrechner auf Gradmaß.

Bestimme die halbe Basis.
Multipliziere sie mit dem Tangens des Basiswinkels.

$\mathsf{h=\frac b2\tan(\alpha),\qquad 0^\circ<\alpha<90^\circ}$

So geht es am Beispiel

Die Basis ist 12 cm lang, der Basiswinkel beträgt 45 Grad. Berechne die Höhe.

\mathsf{\tan(45^\circ)=1}

\mathsf{h=6\cdot1=6\,\mathsf{cm}}

Erklärung 04

Fläche und Umfang

Die Fläche nutzt Basis und Höhe. Der Umfang enthält beide Schenkel. Die Höhe ist normalerweise kürzer als ein Schenkel.

Berechne nötigenfalls zuerst die Höhe.
Setze die passenden Größen ein.

$\mathsf{A=\frac{b h}{2},\qquad u=b+2s}$

So geht es am Beispiel

Basis 16 cm, Schenkel 10 cm: Berechne die Fläche.

\mathsf{h=\sqrt{100-64}=6\,\mathsf{cm}}

\mathsf{A=\frac{16\cdot6}{2}=48\,\mathsf{cm}^2}

Erklärung 05

Der gleichseitige Sonderfall

Im Thema Gleichseitiges Dreieck sind zusätzlich Basis und Schenkel gleich lang. Alle Winkel betragen dann 60 Grad. Die Höhenformel vereinfacht sich zu einer Wurzelformel.

Setze für den Sonderfall b = s.

Gleichseitig ist ein Sonderfall von gleichschenklig.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Gleichschenkliges Dreieck · AnwendenDer Spitzenwinkel beträgt 40 Grad. Berechne beide Basiswinkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erster Basiswinkel
Zweiter Basiswinkel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\alpha=\beta=\frac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erster Basiswinkel $\mathsf{70^\circ}$
2. Zweiter Basiswinkel $\mathsf{70^\circ}$
02
Aufgabe 2Gleichschenkliges Dreieck · AnwendenEin Basiswinkel beträgt 52 Grad. Berechne den Spitzenwinkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Spitzenwinkel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\gamma=180^\circ-2\cdot52^\circ=76^\circ}$
Ergebnis
1. Spitzenwinkel $\mathsf{76^\circ}$
03
Aufgabe 3Gleichschenkliges Dreieck · AnwendenDie Schenkel sind 10 cm lang, die Basis 12 cm. Berechne die Höhe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Höhe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Höhe $\mathsf{8\,\mathsf{cm}}$
04
Aufgabe 4Gleichschenkliges Dreieck · AnwendenBasis 10 cm, Schenkel 13 cm: Berechne Höhe, Fläche und Umfang.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Höhe
Fläche
Umfang
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h=\sqrt{169-25}=12\,\mathsf{cm}}$
  $\mathsf{A=\frac{10\cdot12}{2}=60\,\mathsf{cm}^2}$
  $\mathsf{u=10+2\cdot13=36\,\mathsf{cm}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Höhe $\mathsf{12\,\mathsf{cm}}$
2. Fläche $\mathsf{60\,\mathsf{cm}^2}$
3. Umfang $\mathsf{36\,\mathsf{cm}}$
05
Aufgabe 5Gleichschenkliges Dreieck · AnwendenZeichne A(0|0), B(8|0), C(4|3). Zeichne zusätzlich die Symmetrieachse.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Dreieck und Symmetrieachse
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Dreieck und Symmetrieachse
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Verbinde die Eckpunkte.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die senkrechte Gerade durch C und (4|0) ist die Symmetrieachse.
Ergebnis
1. Dreieck und SymmetrieachseDreieck mit senkrechter Achse x = 4.
06
Aufgabe 6Gleichschenkliges Dreieck · AnwendenOptional: Die Basis beträgt 8 cm, jeder Basiswinkel 45 Grad. Berechne die Höhe mit dem Tangens.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Höhe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h=\frac82\tan(45^\circ)=4\cdot1=4\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Höhe $\mathsf{4\,\mathsf{cm}}$
07
Aufgabe 7Gleichschenkliges Dreieck · AnwendenKönnen Schenkel von jeweils 5 cm eine Basis von 12 cm einschließen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründetes Urteil
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2s=10\,\mathsf{cm}<12\,\mathsf{cm}}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Schenkel sind zusammen kürzer als die Basis.
Ergebnis
1. Begründetes UrteilNein; die Dreiecksungleichung ist verletzt.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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