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Dreiecke · Erklären & üben

Gleichseitiges Dreieck

Bei einem gleichseitigen Dreieck bestimmt eine Seitenlänge bereits alle Winkel, die Höhe, den Umfang und die Fläche.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Drei gleiche Seiten, drei gleiche Winkel

Alle drei Seiten sind gleich lang. Deshalb sind auch alle drei Innenwinkel gleich groß: jeder beträgt 60 Grad. Das Dreieck ist spitzwinklig und nach der inklusiven Definition auch gleichschenklig.

  1. Prüfe die Gleichheit aller Seiten.

  2. Teile die Winkelsumme in drei gleiche Teile.

α=β=γ=60∘\mathsf{\alpha=\beta=\gamma=60^\circ}

Exaktes gleichseitiges Dreieck; alle Seiten a und Winkel60Grad.

So geht es am Beispiel

Ein Dreieck hat drei Seiten von je 9 cm. Welchen Winkel hat jede Ecke?

180∘:3=60∘\mathsf{180^\circ:3=60^\circ}

Ergebnis

Jeder Innenwinkel beträgt 60 Grad.

Erklärung 02

Die Höhe mit Pythagoras herleiten

Die Höhe halbiert eine Seite und den gegenüberliegenden Winkel. In jeder Hälfte ist die ursprüngliche Seite a die Hypotenuse. Die andere bekannte Kathete ist a/2. Für die positive Seitenlänge a erhältst du die positive Höhe.

  1. Betrachte eine rechtwinklige Hälfte.

  2. Subtrahiere das Quadrat der halben Seite.

  3. Ziehe die Wurzel und vereinfache.

h=32a\mathsf{h=\frac{\sqrt3}{2}a}

Gleichseitiges Dreieck mit Höhe und halber Grundseite.

So geht es am Beispiel

Leite die Höhenformel für eine beliebige positive Seitenlänge a her.

h2=a2−(a2)2\mathsf{h^2=a^2-\left(\frac a2\right)^2}
h2=34a2\mathsf{h^2=\frac34a^2}
h=32a\mathsf{h=\frac{\sqrt3}{2}a}

Ergebnis

Die Höhe beträgt etwa 86,6 Prozent der Seitenlänge.

Erklärung 03

Umfang und Fläche berechnen

Der Umfang besteht aus drei gleichen Seiten. Die Fläche ist halbe Grundseite mal Höhe. Setze die Höhenformel ein. Lass Wurzeln zunächst exakt stehen und runde erst am Schluss.

  1. Nutze für den Umfang die dreifache Seite.

  2. Setze bei der Fläche die Seitenlänge ins Quadrat.

u=3a,A=34a2\mathsf{u=3a,\qquad A=\frac{\sqrt3}{4}a^2}

So geht es am Beispiel

Die Seite beträgt 4 cm. Berechne Höhe, Umfang und Fläche.

h=23 cm≈3,46 cm\mathsf{h=2\sqrt3\,\mathsf{cm}\approx3{,}46\,\mathsf{cm}}
u=12 cm\mathsf{u=12\,\mathsf{cm}}
A=43 cm2≈6,93 cm2\mathsf{A=4\sqrt3\,\mathsf{cm}^2\approx6{,}93\,\mathsf{cm}^2}

Ergebnis

Exakte Wurzelausdrücke vermeiden vorzeitige Rundungsfehler.

Erklärung 04

Die allgemeine Flächenformel bleibt gültig

Im Thema Flächeninhalt Dreieck gilt die Grundseite-Höhe-Formel auch ohne gleiche Seiten. Nur die Wurzelformel dieses Themas setzt Gleichseitigkeit voraus.

  1. Prüfe vor der Formelwahl die Dreiecksart.

A=gh2\mathsf{A=\frac{g h}{2}}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Gleichseitiges Dreieck · AnwendenEin gleichseitiges Dreieck hat die Seite 7 cm. Berechne den Umfang.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      u=3⋅7=21 cm\mathsf{u=3\cdot7=21\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Umfang21 cm\mathsf{21\,\mathsf{cm}}
  2. Aufgabe 2Gleichseitiges Dreieck · AnwendenDie Seite beträgt 8 cm. Berechne die Höhe exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      h=32⋅8=43 cm\mathsf{h=\frac{\sqrt3}{2}\cdot8=4\sqrt3\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Höhe43 cm\mathsf{4\sqrt3\,\mathsf{cm}}
  3. Aufgabe 3Gleichseitiges Dreieck · AnwendenDie Seite beträgt 6 cm. Berechne die Fläche exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      A=34⋅62=93 cm2\mathsf{A=\frac{\sqrt3}{4}\cdot6^2=9\sqrt3\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Fläche93 cm2\mathsf{9\sqrt3\,\mathsf{cm}^2}
  4. Aufgabe 4Gleichseitiges Dreieck · AnwendenDer Umfang beträgt 30 cm. Berechne Seitenlänge und Fläche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      a=30:3=10 cm\mathsf{a=30:3=10\,\mathsf{cm}}
      A=34⋅100=253 cm2\mathsf{A=\frac{\sqrt3}{4}\cdot100=25\sqrt3\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Seitenlänge10 cm\mathsf{10\,\mathsf{cm}}
    2. Fläche253 cm2\mathsf{25\sqrt3\,\mathsf{cm}^2}
  5. Aufgabe 5Gleichseitiges Dreieck · AnwendenKonstruiere über der vorgegebenen Grundseite AB ein gleichseitiges Dreieck. Zeichne die Höhe auf AB ein. Verwende Zirkel und Lineal.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Konstruktion mit Höhe

    Leere Konstruktionsvorlage mit Grundseite A B.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Stelle den Zirkel auf die Länge AB ein.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Zeichne um A und B Kreisbögen mit diesem Radius. Der obere Schnittpunkt heißt C.

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Verbinde C mit A und B.

    4. Schritt 4 · Erklärung

      Halbiere AB und verbinde C mit dieser Mitte; die Linie steht senkrecht auf AB.

    Ergebnis

    1. Konstruktion mit HöheGleichseitiges Dreieck mit Höhe durch die Mitte von AB.
  6. Aufgabe 6Gleichseitiges Dreieck · AnwendenDie Höhe beträgt 6 cm. Berechne die Seitenlänge exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      6=32a\mathsf{6=\frac{\sqrt3}{2}a}
      a=123=43 cm\mathsf{a=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Seitenlänge43 cm\mathsf{4\sqrt3\,\mathsf{cm}}
  7. Aufgabe 7Gleichseitiges Dreieck · AnwendenAlle Seiten eines gleichseitigen Dreiecks werden verdoppelt. Wie verändern sich Umfang und Fläche?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      uneu=3⋅2a=2u\mathsf{u_{\mathsf{neu}}=3\cdot2a=2u}
      Aneu=34(2a)2=4A\mathsf{A_{\mathsf{neu}}=\frac{\sqrt3}{4}(2a)^2=4A}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Faktor für den Umfang2
    2. Faktor für die Fläche4

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
  • Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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