Trapeze · Erklären & üben

Gleichschenkliges Trapez

Ein gleichschenkliges Trapez ist hier ein Trapez mit einer Symmetrieachse senkrecht zu seinen parallelen Grundseiten. Diese Definition passt zur inklusiven Trapezdefinition und schließt Rechtecke ein, aber keine beliebigen schiefen Parallelogramme.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Symmetrie und Winkel

Die Achse halbiert beide Grundseiten. Die Basiswinkel an derselben Grundseite sind gleich; benachbarte Winkel an einem Schenkel ergänzen sich zu einem gestreckten Winkel. Die beiden Schenkel sind gleich lang. Bei verschieden langen Grundseiten ist diese Längengleichheit auch ein ausreichendes Erkennungsmerkmal.

Prüfe zuerst die festgelegte Symmetrie.
Übertrage gleiche Basiswinkel und ergänze am Schenkel.

$\mathsf{\alpha=\beta,\quad\gamma=\delta,\quad\alpha+\delta=180^\circ}$

So geht es am Beispiel

Der Winkel bei $\mathsf{A}$ beträgt $\mathsf{68^\circ}$ . Die Grundseiten sind $\mathsf{AB}$ und $\mathsf{DC}$ . Bestimme die übrigen Winkel.

\mathsf{\beta=\alpha=68^\circ}

\mathsf{\delta=180^\circ-68^\circ=112^\circ}

\mathsf{\gamma=\delta=112^\circ}

Erklärung 02

Höhe und Schenkel verbinden

Ist die untere Grundseite länger als die obere, verteilt die Symmetrie den Unterschied gleich auf beide Seiten. Es entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke. Mit dem seitlichen Überstand $\mathsf{x=(a-c)/2}$ und Schenkellänge $\mathsf{s}$ liefert Pythagoras die Höhe. Voraussetzung ist $\mathsf{s>x}$ .

Halbiere den Grundseitenunterschied.
Berechne die Höhe als positive Wurzel.

$\mathsf{h=\sqrt{s^2-\left(\frac{a-c}{2}\right)^2}}$

So geht es am Beispiel

Gegeben sind $\mathsf{a=10\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{c=4\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{s=5\,\mathsf{cm}}$ . Berechne Höhe, Fläche und Umfang.

\mathsf{x=\frac{10-4}{2}\,\mathsf{cm}=3\,\mathsf{cm}}

\mathsf{h=\sqrt{5^2-3^2}\,\mathsf{cm}=4\,\mathsf{cm}}

\mathsf{A=\frac{10+4}{2}\cdot4\,\mathsf{cm}^2=28\,\mathsf{cm}^2}

\mathsf{U=(10+4+2\cdot5)\,\mathsf{cm}=24\,\mathsf{cm}}

Erklärung 03

Gleich lange Diagonalen

Die Spiegelung an der Symmetrieachse vertauscht $\mathsf{A}$ mit $\mathsf{B}$ und $\mathsf{D}$ mit $\mathsf{C}$ . Deshalb haben die Diagonalen $\mathsf{AC}$ und $\mathsf{BD}$ gleiche Längen. Sie müssen nicht senkrecht sein und sich auch nicht halbieren. Beim zentrierten Trapez ist die waagerechte Strecke einer Diagonale $\mathsf{(a+c)/2}$ .

Nutze die Symmetrie für die Gleichheit der Diagonalen.
Berechne bei Bedarf eine Diagonale mit Pythagoras.

$\mathsf{e=f=\sqrt{h^2+\left(\frac{a+c}{2}\right)^2}}$

So geht es am Beispiel

$\mathsf{a=8\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{c=4\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{h=8\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme die beiden Diagonalen.

\mathsf{\frac{a+c}{2}=6\,\mathsf{cm}}

\mathsf{e=\sqrt{8^2+6^2}\,\mathsf{cm}=10\,\mathsf{cm}}

Die Spiegelung erhält Längen, daher ist die zweite Diagonale ebenso lang.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Gleichschenkliges Trapez · basisEin gleichschenkliges Trapez hat bei $\mathsf{A}$ den Winkel $\mathsf{74^\circ}$ . Die Grundseiten sind $\mathsf{AB}$ und $\mathsf{DC}$ . Bestimme die übrigen Winkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Winkel bei B
Winkel bei C
Winkel bei D
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\beta=74^\circ}$
  $\mathsf{\delta=180^\circ-74^\circ=106^\circ}$
  $\mathsf{\gamma=106^\circ}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Winkel bei B $\mathsf{\beta=74^\circ}$
2. Winkel bei C $\mathsf{\gamma=106^\circ}$
3. Winkel bei D $\mathsf{\delta=106^\circ}$
02
Aufgabe 2Gleichschenkliges Trapez · standard $\mathsf{a=14\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{c=8\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{s=5\,\mathsf{cm}}$ . Berechne die Höhe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Höhe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=\frac{14-8}{2}\,\mathsf{cm}=3\,\mathsf{cm}}$
  $\mathsf{h=\sqrt{25-9}\,\mathsf{cm}=4\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Höhe $\mathsf{h=4\,\mathsf{cm}}$
03
Aufgabe 3Gleichschenkliges Trapez · standardEin gleichschenkliges Trapez hat $\mathsf{a=14\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{c=8\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{s=5\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{h=4\,\mathsf{cm}}$ . Berechne Fläche und Umfang.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Flächeninhalt
Umfang
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{A=\frac{14+8}{2}\cdot4\,\mathsf{cm}^2=44\,\mathsf{cm}^2}$
  $\mathsf{U=(14+8+2\cdot5)\,\mathsf{cm}=32\,\mathsf{cm}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Flächeninhalt $\mathsf{A=44\,\mathsf{cm}^2}$
2. Umfang $\mathsf{U=32\,\mathsf{cm}}$
04
Aufgabe 4Gleichschenkliges Trapez · standardGegeben sind $\mathsf{A(0|0)}$ , $\mathsf{B(8|0)}$ und $\mathsf{D(2|3)}$ . Ergänze $\mathsf{C}$ so, dass ein gleichschenkliges Trapez mit Grundseiten $\mathsf{AB}$ und $\mathsf{DC}$ entsteht. Zeichne die Symmetrieachse und beide Diagonalen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Symmetrisches Trapez
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Symmetrisches Trapez
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Achse verläuft durch die Mitte von $\mathsf{AB}$ , also bei $\mathsf{x=4}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Spiegle $\mathsf{D(2|3)}$ an dieser Achse: $\mathsf{C(6|3)}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Verbinde den Rand und beide Diagonalen.
Ergebnis
1. Symmetrisches Trapez $\mathsf{C(6|3)}$ ; Achse $\mathsf{x=4}$ ; Diagonalen $\mathsf{AC}$ und $\mathsf{BD}$ .
05
Aufgabe 5Gleichschenkliges Trapez · transferEin gleichschenkliges Trapez hat $\mathsf{a=10\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{c=6\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{h=6\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme beide Diagonalen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Diagonale AC
Diagonale BD
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{a+c}{2}=8\,\mathsf{cm}}$
  $\mathsf{e=\sqrt{8^2+6^2}\,\mathsf{cm}=10\,\mathsf{cm}}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Aus der Symmetrie folgt $\mathsf{f=e}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Diagonale AC $\mathsf{e=10\,\mathsf{cm}}$
2. Diagonale BD $\mathsf{f=10\,\mathsf{cm}}$
06
Aufgabe 6Gleichschenkliges Trapez · transferEin angebliches gleichschenkliges Trapez soll $\mathsf{a=12\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{c=4\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{s=3\,\mathsf{cm}}$ haben. Prüfe, ob das möglich ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Beurteilung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=\frac{12-4}{2}\,\mathsf{cm}=4\,\mathsf{cm}}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Hypotenuse $\mathsf{s=3\,\mathsf{cm}}$ wäre kürzer als die Kathete $\mathsf{x=4\,\mathsf{cm}}$ .
Ergebnis
1. BeurteilungUnmöglich: Der Schenkel muss länger als der seitliche Überstand sein.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich kann die gewählte Trapezdefinition erklären.
Ich unterscheide einen schrägen Schenkel von der senkrechten Höhe.
Ich gebe Längen und Flächen mit passenden Einheiten an.

AT Academy · Version 2026-10-21