Trapez Flächeninhalt

Erklärung 01

Zwei Trapeze ergeben ein Parallelogramm

1. 1

   Ergänze eine kongruente, gedrehte Kopie.

2. 2

   Berechne die Parallelogrammfläche und halbiere sie.

$\mathsf{2A=(a+c)\cdot h}$

Erklärung 02

Eine Diagonale, zwei Dreiecke

1. 1

   Zeichne eine Diagonale.

2. 2

   Addiere die beiden Dreiecksflächen.

$\mathsf{A=\frac{a\cdot h}{2}+\frac{c\cdot h}{2}=\frac{a+c}{2}\cdot h}$

Erklärung 03

Die Formel nutzen und prüfen

1. 1

   Setze Größen in passenden Einheiten ein.

2. 2

   Prüfe Ergebnis oder Umformung durch Rückeinsetzen.

$\mathsf{h=\frac{2A}{a+c}}$

1. 01
   Aufgabe 1Trapez Flächeninhalt · basisZwei kongruente Trapeze bilden zusammen ein Parallelogramm mit Fläche $\mathsf{48\,\mathsf{cm}^2}$. Wie groß ist ein Trapez? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Flächeninhalt

   Begründung
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      $$\mathsf{A=48:2\,\mathsf{cm}^2=24\,\mathsf{cm}^2}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Kongruente Figuren haben gleiche Flächen.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Flächeninhalt
      $\mathsf{A=24\,\mathsf{cm}^2}$
   2. Begründung
      Die Gesamtfläche besteht aus zwei gleich großen Trapezflächen.
2. 02
   Aufgabe 2Trapez Flächeninhalt · standardEin Trapez hat $\mathsf{a=10\,\mathsf{cm}}$, $\mathsf{c=6\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{h=4\,\mathsf{cm}}$. Berechne die beiden Dreiecksflächen bei Zerlegung durch eine Diagonale und die Gesamtfläche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Dreieck an Grundseite a

   Dreieck an Grundseite c

   Trapezfläche
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      $$\mathsf{A_1=\frac{10\cdot4}{2}\,\mathsf{cm}^2=20\,\mathsf{cm}^2}$$

      $$\mathsf{A_2=\frac{6\cdot4}{2}\,\mathsf{cm}^2=12\,\mathsf{cm}^2}$$

      $$\mathsf{A=(20+12)\,\mathsf{cm}^2=32\,\mathsf{cm}^2}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Dreieck an Grundseite a
      $\mathsf{A_1=20\,\mathsf{cm}^2}$
   2. Dreieck an Grundseite c
      $\mathsf{A_2=12\,\mathsf{cm}^2}$
   3. Trapezfläche
      $\mathsf{A=32\,\mathsf{cm}^2}$
3. 03
   Aufgabe 3Trapez Flächeninhalt · standardEin rechtwinkliges Trapez hat Grundseiten $\mathsf{7\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{3\,\mathsf{cm}}$. Der senkrechte Schenkel misst $\mathsf{4\,\mathsf{cm}}$. Bestimme die Fläche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Flächeninhalt
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Der senkrechte Schenkel ist hier zugleich die Höhe.

      $$\mathsf{A=\frac{7+3}{2}\cdot4\,\mathsf{cm}^2=20\,\mathsf{cm}^2}$$

   Ergebnis

   1. Flächeninhalt
      $\mathsf{A=20\,\mathsf{cm}^2}$
4. 04
   Aufgabe 4Trapez Flächeninhalt · standardZeichne im vorgegebenen Trapez die Diagonale $\mathsf{AC}$ ein. Markiere eine Höhe des Dreiecks $\mathsf{ABC}$ von $\mathsf{C}$ auf $\mathsf{AB}$ und eine Höhe des Dreiecks $\mathsf{ACD}$ von $\mathsf{A}$ auf die Gerade $\mathsf{DC}$. Eine Rastereinheit entspricht $\mathsf{1\,\mathsf{cm}}$.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Zerlegung mit beiden Höhen

   

   Zeichnen aktivierenZeichnung löschen

   Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

   Beschreibung: Zerlegung mit beiden Höhen
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Die Diagonale verbindet $\mathsf{A(0|0)}$ mit $\mathsf{C(6|3)}$.

   2. Schritt 2 · Erklärung

      Die Lote enden bei $\mathsf{(6|0)}$ und $\mathsf{(0|3)}$. Für das zweite Lot wird die Gerade $\mathsf{DC}$ nach links verlängert.

   3. Schritt 3 · Erklärung

      Beide Höhen messen $\mathsf{3\,\mathsf{cm}}$; eine Dreieckshöhe darf außerhalb des Dreiecks liegen.

   Ergebnis

   1. Zerlegung mit beiden Höhen
      Diagonale $\mathsf{AC}$; senkrechte Höhen von $\mathsf{C}$ nach $\mathsf{(6|0)}$ und von $\mathsf{A}$ nach $\mathsf{(0|3)}$, jeweils $\mathsf{3\,\mathsf{cm}}$.
5. 05
   Aufgabe 5Trapez Flächeninhalt · transfer$\mathsf{A=35\,\mathsf{cm}^2}$, $\mathsf{a=9\,\mathsf{cm}}$, $\mathsf{c=5\,\mathsf{cm}}$. Berechne $\mathsf{h}$ und prüfe durch Einsetzen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Höhe

   Probe
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      $$\mathsf{h=\frac{2\cdot35}{9+5}\,\mathsf{cm}=5\,\mathsf{cm}}$$

      $$\mathsf{\frac{9+5}{2}\cdot5\,\mathsf{cm}^2=35\,\mathsf{cm}^2}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Höhe
      $\mathsf{h=5\,\mathsf{cm}}$
   2. Probe
      $\mathsf{A=35\,\mathsf{cm}^2}$
6. 06
   Aufgabe 6Trapez Flächeninhalt · transferJemand behauptet: „Die Formel ist $\mathsf{(a+c)\cdot h}$, denn zwei Dreiecke werden addiert.“ Widerlege das am Beispiel $\mathsf{a=8\,\mathsf{cm}}$, $\mathsf{c=4\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{h=3\,\mathsf{cm}}$.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Richtige Fläche

   Fehler
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      $$\mathsf{A_1=\frac{8\cdot3}{2}\,\mathsf{cm}^2=12\,\mathsf{cm}^2}$$

      $$\mathsf{A_2=\frac{4\cdot3}{2}\,\mathsf{cm}^2=6\,\mathsf{cm}^2}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Jede Dreiecksfläche enthält den Faktor ein Halb. Auch ihre Summe behält ihn.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Richtige Fläche
      $\mathsf{A=18\,\mathsf{cm}^2}$
   2. Fehler
      Die behauptete Formel zählt die Fläche doppelt; beide Dreiecksformeln enthalten den Faktor ein Halb.