Gleichungen lösen · Erklären & üben

Gleichungen

Eine Gleichung behauptet: Links und rechts steht derselbe Wert. Du lernst, diese Aussage zu lesen, durch Einsetzen zu prüfen und von einer bloßen Rechenvorschrift zu unterscheiden.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Gleichheit ist eine Aussage

Das Gleichheitszeichen verbindet zwei Terme. Ein Term beschreibt einen Wert. Eine Gleichung vergleicht zwei Werte.

\mathsf{8+4=12}

Diese Gleichung ist wahr. Die Aussage $\mathsf{8+4=13}$ ist falsch. Das Zeichen bedeutet nicht „jetzt kommt das Ergebnis“, sondern „hat denselben Wert wie“.

Gleiches auf beiden Seiten. 3 + 6. 2 + 7. Beide Seiten haben den Wert 9.

So geht es am Beispiel

Prüfe die Gleichung $\mathsf{3+6=2+7}$ .

Berechne beide Seiten getrennt.

\mathsf{3+6=9}

\mathsf{2+7=9}

Beide Werte stimmen überein.

Erklärung 02

Variablen und Lösungen

Eine Variable steht für eine Zahl aus einer vereinbarten Grundmenge. Wir verwenden hier die reellen Zahlen. Ein Wert ist eine Lösung, wenn Einsetzen die Gleichung wahr macht.

\mathsf{x+5=12}

Die Lösungsmenge sammelt alle passenden Werte.

So geht es am Beispiel

Ist $\mathsf{x=7}$ eine Lösung von $\mathsf{x+5=12}$ ?

Setze für jedes x denselben Wert 7 ein.

\mathsf{7+5=12}

Die linke Seite ergibt 12 und stimmt mit der rechten überein.

Erklärung 03

Gleichungsarten erkennen

Bei linearen Gleichungen kommt die gesuchte Variable nach dem Zusammenfassen nur in erster Potenz vor.

\mathsf{4x-3=9}

Eine quadratische Gleichung enthält als höchste Potenz der Variablen ein Quadrat.

\mathsf{x^2=16}

Bei einer Bruchgleichung steht die Variable im Nenner.

\mathsf{\frac{6}{x}=2}

Hier ist $\mathsf{x=0}$ ausgeschlossen. Bei $\mathsf{2^x=8}$ steht die Variable im Exponenten. Die Form bestimmt das passende Verfahren.

Erklärung 04

Nicht jede Gleichung hat genau eine Lösung

Eine Gleichung kann eine, mehrere, keine oder unendlich viele Lösungen haben.

\mathsf{x^2=16}

Hier sind 4 und −4 Lösungen.

\mathsf{x+2=x+5}

Diese Aussage ist für keinen reellen Wert wahr.

\mathsf{2(x+1)=2x+2}

Diese Gleichung gilt für alle reellen Zahlen. Erst prüfen, dann die Lösungsmenge angeben. Weiter geht es im Thema „Gleichungen lösen“.

Erklärung 05

Vom Text zur Gleichung

Lege zuerst fest, wofür die Variable steht. Übersetze danach die beschriebenen Rechenschritte in einen Term. Das Wort „ergibt“ verbindet diesen Term mit dem genannten Ergebnis.

Stelle die Gleichung auf und löse sie. Prüfe anschließend im ursprünglichen Text: Stimmen Reihenfolge, Ergebnis und gegebenenfalls die Einheit?

So geht es am Beispiel

Das Doppelte einer Zahl wird um 7 vermindert. Das Ergebnis ist 19. Welche Zahl ist gesucht?

Nenne die gesuchte Zahl x. Das Doppelte ist 2x, danach werden 7 abgezogen.

\mathsf{2x-7=19}

Addiere auf beiden Seiten 7.

\mathsf{2x=26}

Teile beide Seiten durch 2.

\mathsf{x=13}

Prüfe in der beschriebenen Reihenfolge: zuerst verdoppeln.

\mathsf{2\cdot13=26}

Ziehe anschließend 7 ab.

\mathsf{26-7=19}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Gleichungen · EinstiegWelche Schreibweisen sind Gleichungen? Begründe für jede: a) $\mathsf{5x+2}$ , b) $\mathsf{5x+2=17}$ , c) $\mathsf{3<7}$ , d) $\mathsf{9=4+5}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
a) Einordnung und Begründung
b) Einordnung und Begründung
c) Einordnung und Begründung
d) Einordnung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Eine Gleichung enthält eine Gleichheitsbehauptung mit =.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der erste Ausdruck ist ein Term. Der dritte ist eine Ungleichung.
Ergebnisse & Teilantworten
1. a) Einordnung und BegründungKeine Gleichung, sondern ein Term ohne Gleichheitszeichen.
2. b) Einordnung und BegründungEine Gleichung: Zwei Terme werden mit einem Gleichheitszeichen verglichen.
3. c) Einordnung und BegründungKeine Gleichung, sondern eine Ungleichung mit dem Zeichen <.
4. d) Einordnung und BegründungEine Gleichung: Links und rechts wird derselbe Wert behauptet.
02
Aufgabe 2Gleichungen · EinstiegPrüfe: $\mathsf{18-7=5+6}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Antwort
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Linke Seite berechnen.
  $\mathsf{18-7=11}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Rechte Seite berechnen.
  $\mathsf{5+6=11}$
Ergebnis
1. Rechenweg und AntwortDie Gleichung ist wahr.
03
Aufgabe 3Gleichungen · EinstiegPrüfe, ob $\mathsf{x=4}$ die Gleichung $\mathsf{3x-2=10}$ erfüllt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Antwort
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Setze 4 ein.
  $\mathsf{3\cdot4-2=12-2=10}$
Ergebnis
1. Rechenweg und AntwortJa, 4 ist eine Lösung.
04
Aufgabe 4Gleichungen · StandardPrüfe, ob $\mathsf{x=-2}$ die Gleichung $\mathsf{x+8=5}$ erfüllt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Antwort
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Setze −2 ein.
  $\mathsf{-2+8=6}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Vergleiche 6 und 5.
Ergebnis
1. Rechenweg und AntwortNein, −2 ist keine Lösung.
05
Aufgabe 5Gleichungen · StandardFinde alle Lösungen von $\mathsf{x+6=10}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Antwort
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Ziehe auf beiden Seiten 6 ab.
  $\mathsf{x=10-6}$
  $\mathsf{x=4}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Probe: $\mathsf{4+6=10}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Antwort $\mathsf{L=\{4\}}$
06
Aufgabe 6Gleichungen · StandardOrdne jede Gleichung einem Typ zu: linear, quadratisch, Bruchgleichung oder Exponentialgleichung. a) $\mathsf{7x=21}$ , b) $\mathsf{x^2+1=10}$ , c) $\mathsf{\frac{8}{x}=4}$ , d) $\mathsf{3^x=9}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
a) Gleichungsart
b) Gleichungsart
c) Gleichungsart
d) Gleichungsart
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Prüfe, wo die Variable steht und welche höchste Potenz sie hat.
Ergebnisse & Teilantworten
1. a) GleichungsartLinear: x steht in erster Potenz.
2. b) GleichungsartQuadratisch: Die höchste Potenz von x ist 2.
3. c) GleichungsartBruchgleichung: x steht im Nenner.
4. d) GleichungsartExponentialgleichung: x steht im Exponenten.
07
Aufgabe 7Gleichungen · StandardPrüfe für $\mathsf{x^2=25}$ getrennt: a) $\mathsf{x=5}$ , b) $\mathsf{x=-5}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
a) Einsetzen und Ergebnis
b) Einsetzen und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Setze beide Werte getrennt ein.
  $\mathsf{5^2=25}$
  $\mathsf{(-5)^2=25}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. a) Einsetzen und Ergebnis $\mathsf{5^2=25}$ . Also ist 5 eine Lösung.
2. b) Einsetzen und Ergebnis $\mathsf{(-5)^2=25}$ . Also ist −5 eine Lösung.
08
Aufgabe 8Gleichungen · TransferKann $\mathsf{x+3=x+8}$ eine reelle Lösung haben? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung und Antwort
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Ziehe auf beiden Seiten x ab.
  $\mathsf{3=8}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die verbleibende Aussage ist falsch.
Ergebnis
1. Begründung und Antwort $\mathsf{L=\varnothing}$
09
Aufgabe 9Gleichungen · TransferFür welche reellen Zahlen gilt $\mathsf{4(x+2)=4x+8}$ ?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Antwort
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Multipliziere links aus.
  $\mathsf{4x+8=4x+8}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Beide Seiten sind für jedes x gleich.
Ergebnis
1. Rechenweg und Antwort $\mathsf{L=\mathbb{R}}$
10
Aufgabe 10Gleichungen · TransferEin Eintritt kostet x Euro. Zwei Eintritte kosten zusammen 18 Euro. Stelle eine Gleichung auf und löse sie.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Antwort
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zwei gleiche Preise ergeben zusammen 18.
  $\mathsf{2x=18}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Teile durch 2.
  $\mathsf{x=9}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Probe: $\mathsf{2\cdot9=18}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und AntwortEin Eintritt kostet 9 Euro.

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Ich kann einen Lösungsweg begründen.
Ich kann Ergebnisse in der Ausgangsgleichung prüfen.
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