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Gleichungen lösen · Erklären & üben

Gleichungen umstellen

Beim Umstellen bringst du die gesuchte Variable allein auf eine Seite. Jede Umformung muss die Gleichheit und dieselben zulässigen Lösungen erhalten.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Gleichheit erhalten

Addiere oder subtrahiere auf beiden Seiten denselben Term. Multipliziere oder dividiere beide Seiten nur mit einer sicher von 0 verschiedenen Zahl. Die Umkehroperation macht einen Rechenschritt rückgängig.

„Auf die andere Seite bringen“ ist nur eine Abkürzung. Begründe stattdessen, was du auf beiden Seiten rechnest.

Operation und Umkehrung. x → + 9 → 23. 23 → − 9 → x. Rückwärts wird aus + 9 die Operation − 9.

Erklärung 02

Fünf Wege zum Freistellen

Die gesuchte Variable bleibt der Bezugspunkt. Entferne zuerst Summanden außerhalb einer Klammer, dann Faktoren. Steht die Variable auf beiden Seiten, sammle ihre Terme.

So geht es am Beispiel

Stelle x+9=23\mathsf{x+9=23} nach x um.

Subtrahiere auf beiden Seiten 9.

x+9−9=23−9\mathsf{x+9-9=23-9}
x=14\mathsf{x=14}

Ergebnis

x=14\mathsf{x=14}

So geht es am Beispiel

Stelle 6x=42\mathsf{6x=42} nach x um.

Teile beide Seiten durch 6.

6x6=426\mathsf{\frac{6x}{6}=\frac{42}{6}}
x=7\mathsf{x=7}

Ergebnis

x=7\mathsf{x=7}

So geht es am Beispiel

Löse 3(x−2)=15\mathsf{3(x-2)=15}.

Teile zuerst beide Seiten durch 3.

x−2=5\mathsf{x-2=5}

Addiere auf beiden Seiten 2.

x=7\mathsf{x=7}

Ergebnis

x=7\mathsf{x=7}

So geht es am Beispiel

Löse 5x+4=2x+19\mathsf{5x+4=2x+19}.

Subtrahiere auf beiden Seiten 2x.

3x+4=19\mathsf{3x+4=19}

Subtrahiere 4.

3x=15\mathsf{3x=15}

Teile durch 3.

x=5\mathsf{x=5}

Ergebnis

x=5\mathsf{x=5}

So geht es am Beispiel

Stelle die Umfangsformel U=2a+2b\mathsf{U=2a+2b} nach a um.

Subtrahiere 2b auf beiden Seiten.

U−2b=2a\mathsf{U-2b=2a}

Teile beide Seiten durch 2.

a=U−2b2\mathsf{a=\frac{U-2b}{2}}

Ergebnis

a=U2−b\mathsf{a=\frac{U}{2}-b}

Erklärung 03

Bedingungen und Kontrolle

Bei ax=b\mathsf{ax=b} darfst du erst durch a teilen, wenn a≠0\mathsf{a\ne0} feststeht. Für a=0\mathsf{a=0} muss der Fall getrennt betrachtet werden. Das Quadrieren ist nicht ohne Weiteres umkehrbar: Es kann zusätzliche Lösungen erzeugen.

Eine Probe setzt das Ergebnis in die Ausgangsgleichung ein. Bei Formeln helfen zusätzlich Einheiten und ein Zahlenbeispiel. Weitere Anwendungen findest du im Thema „Formeln umstellen“.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Gleichungen umstellen · EinstiegLöse x−8=13\mathsf{x-8=13}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Addiere 8 auf beiden Seiten.

      x=21\mathsf{x=21}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Probe: 21−8=13\mathsf{21-8=13}.

    Ergebnis

    1. Rechenweg und AntwortL={21}\mathsf{L=\{21\}}
  2. Aufgabe 2Gleichungen umstellen · EinstiegLöse 7x=56\mathsf{7x=56}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Teile beide Seiten durch 7.

      x=8\mathsf{x=8}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Probe: 7⋅8=56\mathsf{7\cdot8=56}.

    Ergebnis

    1. Rechenweg und AntwortL={8}\mathsf{L=\{8\}}
  3. Aufgabe 3Gleichungen umstellen · EinstiegLöse x5=6\mathsf{\frac{x}{5}=6}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Multipliziere beide Seiten mit 5.

      x=30\mathsf{x=30}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Probe: 30:5=6\mathsf{30:5=6}.

    Ergebnis

    1. Rechenweg und AntwortL={30}\mathsf{L=\{30\}}
  4. Aufgabe 4Gleichungen umstellen · StandardLöse 4x+3=31\mathsf{4x+3=31}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Subtrahiere 3.

      4x=28\mathsf{4x=28}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Teile durch 4.

      x=7\mathsf{x=7}
    3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      Probe: 4⋅7+3=31\mathsf{4\cdot7+3=31}.

    Ergebnis

    1. Rechenweg und AntwortL={7}\mathsf{L=\{7\}}
  5. Aufgabe 5Gleichungen umstellen · StandardLöse 2(x+6)=22\mathsf{2(x+6)=22}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Teile durch 2.

      x+6=11\mathsf{x+6=11}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Subtrahiere 6.

      x=5\mathsf{x=5}
    3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      Probe: 2(5+6)=22\mathsf{2(5+6)=22}.

    Ergebnis

    1. Rechenweg und AntwortL={5}\mathsf{L=\{5\}}
  6. Aufgabe 6Gleichungen umstellen · StandardLöse 8x−5=3x+20\mathsf{8x-5=3x+20}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Subtrahiere 3x.

      5x−5=20\mathsf{5x-5=20}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Addiere 5.

      5x=25\mathsf{5x=25}
    3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      Teile durch 5.

      x=5\mathsf{x=5}
    4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg

      Probe: Beide Seiten ergeben 35.

    Ergebnis

    1. Rechenweg und AntwortL={5}\mathsf{L=\{5\}}
  7. Aufgabe 7Gleichungen umstellen · StandardStelle A=ab\mathsf{A=ab} nach b um. Nenne die notwendige Bedingung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Wenn a≠0\mathsf{a\ne0}, teile beide Seiten durch a.

      b=Aa\mathsf{b=\frac{A}{a}}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Für a=0 ist die Division unzulässig.

    Ergebnis

    1. Rechenweg und Antwortb=Aa\mathsf{b=\frac{A}{a}} für a≠0\mathsf{a\ne0}.
  8. Aufgabe 8Gleichungen umstellen · TransferStelle v=st\mathsf{v=\frac{s}{t}} nach t um. Die Größen s, t und v seien positiv.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Multipliziere mit t.

      vt=s\mathsf{vt=s}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Teile durch v.

      t=sv\mathsf{t=\frac{s}{v}}

    Ergebnis

    1. Rechenweg und Antwortt=sv\mathsf{t=\frac{s}{v}}
  9. Aufgabe 9Gleichungen umstellen · TransferJemand rechnet aus 3x+7=22\mathsf{3x+7=22} direkt x+7=223\mathsf{x+7=\frac{22}{3}}. Erkläre den Fehler und löse richtig.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Beim Teilen muss jeder Summand der linken Seite durch 3 geteilt werden.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Einfacher: zuerst 7 subtrahieren.

      3x=15\mathsf{3x=15}
    3. Schritt 3 · Erklärung

      Dann durch 3 teilen.

      x=5\mathsf{x=5}

    Ergebnis

    1. Rechenweg und AntwortBeim Teilen durch 3 muss die gesamte linke Seite geteilt werden, also auch der Summand 7. Richtig ist x=5\mathsf{x=5}.
  10. Aufgabe 10Gleichungen umstellen · TransferUntersuche ax=0\mathsf{ax=0} getrennt: a) a≠0\mathsf{a\ne0}, b) a=0\mathsf{a=0}. Gib jeweils die Lösungsmenge an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Für a≠0\mathsf{a\ne0} darf durch a geteilt werden.

      x=0\mathsf{x=0}
    2. Schritt 2 · Erklärung

      Für a=0\mathsf{a=0} lautet die Gleichung 0=0\mathsf{0=0}.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. a) Lösungsmenge mit BegründungFür a≠0\mathsf{a\ne0} ist L={0}\mathsf{L=\{0\}}. Division durch a ist erlaubt.
    2. b) Lösungsmenge mit BegründungFür a=0\mathsf{a=0} ist L=R\mathsf{L=\mathbb{R}}. Die Aussage 0=0\mathsf{0=0} gilt für jedes reelle x.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich kann einen Lösungsweg begründen.
  • Ich kann Ergebnisse in der Ausgangsgleichung prüfen.
  • Ich beachte ausgeschlossene Werte und mehrere mögliche Lösungen.

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