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Mittelwerte und Lage · Erklären & üben

Gleitender Durchschnitt

Ein gleitender Durchschnitt fasst benachbarte Werte einer Zeitreihe zusammen. Das Fenster wandert weiter; seine Länge, Gewichte und Zeitzuordnung müssen vorher feststehen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Ein festes Fenster weiterbewegen

Wir verwenden zunächst drei aufeinanderfolgende, gleich gewichtete Messwerte an gleich weit auseinanderliegenden Zeitpunkten. Das Ergebnis wird dem letzten Zeitpunkt des Fensters zugeordnet: nachlaufend.

Am Anfang gibt es noch kein vollständiges Dreierfenster. Für die ersten beiden Zeitpunkte wird daher kein Durchschnitt eingetragen, auch nicht 0.

  1. Nimm aktuellen und zwei vorherige Werte.

  2. Bilde ihren arithmetischen Mittelwert.

  3. Verschiebe das Fenster um einen Zeitpunkt.

mt=xt−2+xt−1+xt3,t≥3\mathsf{m_t=\frac{x_{t-2}+x_{t-1}+x_t}{3},\qquad t\geq3}

Fenster wandert jeweils einen Zeitpunkt weiter; Ergebnis wird am rechten Ende zugeordnet.

So geht es am Beispiel

Berechne die nachlaufenden Dreierdurchschnitte der Zeitreihe 3,6,3,9,6.

m3=(3+6+3)/3=4\mathsf{m_3=(3+6+3)/3=4}
m4=(6+3+9)/3=6\mathsf{m_4=(6+3+9)/3=6}
m5=(3+9+6)/3=6\mathsf{m_5=(3+9+6)/3=6}

Ergebnis

Bei Zeit 3,4,5 stehen 4,6,6; davor keine Werte.

Erklärung 02

Zentriert oder gewichtet

Ein zentriertes Dreierfenster ordnet den Mittelwert dem mittleren Zeitpunkt zu. Dafür wird neben dem vorherigen auch der nächste Wert gebraucht. An beiden Rändern bleibt hier je ein Wert offen.

Gewichtete Fenster legen für die Positionen ausdrücklich Gewichte fest. Die Gewichtssumme muss positiv sein. Hier sind die Gewichte nichtnegativ; sie werden durch ihre Summe normiert.

Gerade Fensterlängen, mehrfache Zentrierung und exponentielle Glättung werden als weiterführende Zeitreihenverfahren zurückgestellt.

  1. Benenne, welchem Zeitpunkt das Fenster zugeordnet wird.

  2. Schreibe die Gewichte in derselben Reihenfolge wie die Werte.

mt(z)=xt−1+xt+xt+13\mathsf{m_t^{(z)}=\frac{x_{t-1}+x_t+x_{t+1}}3}

Gleiches Fenster kann verschiedene Zeitzuordnung haben; unvollständige Randfenster werden hier nicht berechnet.

So geht es am Beispiel

Die Werte 2,8,5 gehören zu Zeit 1,2,3. Berechne den zentrierten Dreierdurchschnitt und ordne ihn zu.

m2(z)=(2+8+5)/3=5\mathsf{m_2^{(z)}=(2+8+5)/3=5}

Ergebnis

Wert 5 bei Zeit 2.

So geht es am Beispiel

Ein nachlaufendes Fenster enthält 4,8,10. Die Gewichte sind von alt nach neu 1,1,2. Berechne den gewichteten Durchschnitt.

m=1⋅4+1⋅8+2⋅104=8\mathsf{m=\frac{1\cdot4+1\cdot8+2\cdot10}{4}=8}

Ergebnis

Gewichteter Wert 8 am neuesten Zeitpunkt.

Erklärung 03

Glättung ist keine sichere Vorhersage

Ein längeres Fenster glättet kurzfristige Schwankungen meist stärker, kann Veränderungen aber verzögert sichtbar machen. Ein nachlaufender Durchschnitt nutzt nur bisherige Daten, ein zentrierter auch spätere.

Solche Durchschnitte können auch Preis- oder Kurszeitreihen beschreiben. Aus einer geglätteten Kurve allein folgt keine sichere zukünftige Entwicklung. Hier werden keine Handelsregeln oder Prognosemodelle abgeleitet.

  1. Vergleiche Rohwerte und geglättete Werte.

  2. Beachte zeitliche Verzögerung und fehlende Randwerte.

Das Fenster ist Teil der Definition, nicht nur eine Recheneinstellung.

So geht es am Beispiel

Eine Zeitreihe lautet 0,0,0,9. Wie reagiert der nachlaufende Dreierdurchschnitt bei Zeit 4?

m4=(0+0+9)/3=3\mathsf{m_4=(0+0+9)/3=3}

Der aktuelle Rohwert 9 wirkt nur mit einem Drittel Gewicht.

Ergebnis

Der Durchschnitt steigt auf 3 und liegt noch unter dem neuen Rohwert 9.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Gleitender Durchschnitt · EinstiegBerechne den nachlaufenden Dreierdurchschnitt bei Zeit 3 für die Werte 2,4,6.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      m3=(2+4+6)/3=4\mathsf{m_3=(2+4+6)/3=4}

    Ergebnis

    1. Durchschnitt bei Zeit 34\mathsf{4}
  2. Aufgabe 2Gleitender Durchschnitt · EinstiegDie Zeitreihe lautet 1,4,7,10. Berechne die nachlaufenden Dreierdurchschnitte bei Zeit 3 und 4.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      m3=(1+4+7)/3=4\mathsf{m_3=(1+4+7)/3=4}
      m4=(4+7+10)/3=7\mathsf{m_4=(4+7+10)/3=7}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Durchschnitt bei Zeit 34\mathsf{4}
    2. Durchschnitt bei Zeit 47\mathsf{7}
  3. Aufgabe 3Gleitender Durchschnitt · AnwendenDie Rohwerte 3,6,3,9,6 sind eingezeichnet. Ergänze die nachlaufenden Dreierdurchschnitte abZeit 3 als Quadrate, verbinde sie und beschrifte die Werte. Lass Zeit 1 und 2 ohne Durchschnitt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Geglättete Linie

    Rohwerte3,6,3,9,6 an Zeitpunkten1bis5; Achsen und Legende gegeben; Durchschnittslinie fehlt.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Die vollständigen Fenster liefern 4,6,6.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Trage sie bei den rechten Fensterenden 3,4,5 ein.

    Ergebnis

    1. Geglättete LiniePunkte(3,4),(4,6),(5,6) als Quadrate verbunden und beschriftet; keine Durchschnittswerte bei 1 und 2.
  4. Aufgabe 4Gleitender Durchschnitt · AnwendenBerechne für 2,5,8,11,14 die zentrierten Dreierdurchschnitte bei Zeit 2,3,4.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      m2(z)=5\mathsf{m_2^{(z)}=5}
      m3(z)=8\mathsf{m_3^{(z)}=8}
      m4(z)=11\mathsf{m_4^{(z)}=11}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Am ersten und letzten Zeitpunkt fehlt jeweils ein Nachbar.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Bei Zeit 25\mathsf{5}
    2. Bei Zeit 38\mathsf{8}
    3. Bei Zeit 411\mathsf{11}
  5. Aufgabe 5Gleitender Durchschnitt · TransferDas nachlaufende Fenster enthält 2,4,10. Verwende von alt nach neu die Gewichte 1,1,2. Berechne den gewichteten Durchschnitt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      m=2+4+2⋅104=6,5\mathsf{m=\frac{2+4+2\cdot10}{4}=6{,}5}

    Ergebnis

    1. Gewichteter Durchschnitt6,5\mathsf{6{,}5}
  6. Aufgabe 6Gleitender Durchschnitt · TransferFür eine Dreierglättung trägt jemand am ersten Zeitpunkt 0 ein, weil noch zwei frühere Werte fehlen. Erkläre, was daran unter unserer Randkonvention falsch ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Ein unvollständiges Fenster erhält keinen Wert.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die 0 wäre dagegen eine konkrete berechnete Messgröße und würde die Kurve künstlich nach unten ziehen.

    Ergebnis

    1. KorrekturKeinen Wert bzw. eine Lücke eintragen; fehlendes Fenster ist kein Durchschnitt 0.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich lege Fensterlänge, Gewichtung, Zeitzuordnung und Randregel fest.
  • Ich berechne und zeichne gleitende Mittelwerte, ohne fehlende Fenster als 0 einzutragen.

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