Mittelwerte und Lage · Erklären & üben

Harmonisches Mittel

Das harmonische Mittel eignet sich für positive Raten, wenn die zugrunde liegenden Mengen gleich sind. Bei Geschwindigkeiten sind dies gleiche Strecken, nicht gleiche Fahrzeiten.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Kehrwerte mitteln

Für positive Werte ist das harmonische Mittel der Kehrwert des arithmetischen Mittels ihrer Kehrwerte. Null und negative Werte sind hier ausgeschlossen.

Die Formel allein begründet noch nicht die Anwendung. Zuerst muss klar sein, welche Gesamtmenge durch welche Gesamtzeit geteilt wird.

Prüfe positive Raten.
Bilde die Kehrwerte und ihren Mittelwert.
Bilde davon den Kehrwert.

$\mathsf{h=\frac{n}{\frac1{x_1}+\cdots+\frac1{x_n}},\qquad x_i>0}$

So geht es am Beispiel

Berechne das harmonische Mittel von 2 und 6.

\mathsf{h=\frac2{1/2+1/6}=3}

Erklärung 02

Gleiche und ungleiche Strecken

Mittlere Geschwindigkeit ist Gesamtstrecke durch Gesamtzeit. Bei gleich langen Abschnitten ergibt sich das harmonische Mittel der positiven Geschwindigkeiten.

Bei ungleich langen Abschnitten dienen die Strecken als Gewichte. Die Formel setzt positive Geschwindigkeiten und hier positive Abschnittsstrecken voraus. Pausen zählen zur Gesamtzeit, müssen dann aber zusätzlich berücksichtigt werden.

Berechne die Fahrzeit jedes Abschnitts.
Addiere Strecken und Zeiten getrennt.
Teile die Gesamtstrecke durch die Gesamtzeit.

$\mathsf{v_{\mathsf{mittel}}=\frac{\sum_i s_i}{\sum_i s_i/v_i}}$

Mittleres Tempo ist gesamte Strecke durch gesamte Zeit; gleiche Strecken führen zum harmonischen Mittel.

So geht es am Beispiel

Du fährst ohne Pause 60 km mit 30 km/h und 60 km mit 60 km/h. Berechne das mittlere Tempo.

\mathsf{t_1=60/30=2,\qquad t_2=60/60=1}

\mathsf{v_{\mathsf{mittel}}=\frac{120}{3}=40}

So geht es am Beispiel

Du fährst ohne Pause 30 km mit 30 km/h und 90 km mit 60 km/h. Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit?

\mathsf{t_{\mathsf{gesamt}}=30/30+90/60=2{,}5}

\mathsf{v_{\mathsf{mittel}}=120/2{,}5=48}

Erklärung 03

Gleiche Zeiten anders behandeln

Bei gleich langen Zeitabschnitten werden die Geschwindigkeiten arithmetisch gemittelt, weil die zurückgelegten Strecken proportional zu den Geschwindigkeiten sind.

Das geometrische Mittel beschreibt positive multiplikative Faktoren; es ersetzt weder die Gesamtstrecke-Gesamtzeit-Rechnung noch die Prüfung der Gewichtung.

Entscheide, ob Strecken oder Zeiten gleich sind.
Prüfe das Ergebnis mit Gesamtstrecke und Gesamtzeit.

$\mathsf{v_{\mathsf{mittel}}=\frac{v_1+v_2}{2}\quad\textsf{bei gleichen Fahrzeiten}}$

Bei gleichen Zeiten ergibt sich das arithmetische und nicht das harmonische Mittel der Geschwindigkeiten.

So geht es am Beispiel

Du fährst eine Stunde mit 30 km/h und eine Stunde mit 60 km/h. Bestimme die mittlere Geschwindigkeit.

\mathsf{s_{\mathsf{gesamt}}=30+60=90}

\mathsf{v_{\mathsf{mittel}}=90/2=45}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Harmonisches Mittel · EinstiegBerechne das harmonische Mittel von 3 und 6.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Harmonisches Mittel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h=\frac2{1/3+1/6}=4}$
Ergebnis
1. Harmonisches Mittel $\mathsf{4}$
02
Aufgabe 2Harmonisches Mittel · EinstiegDu fährst ohne Pause je 30 km mit 30 km/h und 60 km/h. Bestimme die beiden Fahrzeiten und das mittlere Tempo.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erste Fahrzeit in Stunden
Zweite Fahrzeit in Stunden
Mittleres Tempo in km/h
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{t_1=30/30=1}$
  $\mathsf{t_2=30/60=0{,}5}$
  $\mathsf{v_{\mathsf{mittel}}=60/1{,}5=40}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erste Fahrzeit in Stunden $\mathsf{1}$
2. Zweite Fahrzeit in Stunden $\mathsf{0{,}5}$
3. Mittleres Tempo in km/h $\mathsf{40}$
03
Aufgabe 3Harmonisches Mittel · AnwendenFahre gedanklich ohne Pause 40 km mit 40 km/h und anschließend 40 km mit 80 km/h. Zeichne den kumulierten Weg gegen die Zeit. Markiere und beschrifte die beiden Abschnittsenden.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Weg-Zeit-Diagramm
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Weg-Zeit-Diagramm
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der erste Abschnitt dauert 1 Stunde; der zweite eine halbe Stunde.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Nach 1 Stunde sind 40 km erreicht, nach 1,5 Stunden 80 km. Verbinde die Punkte innerhalb jedes Abschnitts geradlinig.
Ergebnis
1. Weg-Zeit-DiagrammStreckenstücke(0,0)→(1,40)→(1,5,80), Zeiten in Stunden und Wege in km.
04
Aufgabe 4Harmonisches Mittel · AnwendenOhne Pause werden 20 km mit 20 km/h und 80 km mit 40 km/h zurückgelegt. Bestimme das mittlere Tempo.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Mittleres Tempo in km/h
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{t_{\mathsf{gesamt}}=20/20+80/40=3}$
  $\mathsf{v_{\mathsf{mittel}}=\frac{100}{3}\approx33{,}33}$
Ergebnis
1. Mittleres Tempo in km/h $\mathsf{\frac{100}{3}\approx33{,}33}$
05
Aufgabe 5Harmonisches Mittel · TransferDu fährst jeweils eine Stunde mit 20 km/h und 40 km/h. Bestimme die mittlere Geschwindigkeit und benenne das passende Mittel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Mittleres Tempo in km/h
Passendes Mittel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{v_{\mathsf{mittel}}=\frac{20+40}{2}=30}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Gleiche Zeiten führen zum arithmetischen Mittel.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Mittleres Tempo in km/h $\mathsf{30}$
2. Passendes MittelArithmetisches Mittel wegen gleicher Fahrzeiten.
06
Aufgabe 6Harmonisches Mittel · TransferZwei gleich lange Strecken werden ohne Pause mit 30 km/h und 90 km/h gefahren. Jemand nennt 60 km/h als mittleres Tempo. Korrigiere dies mit einer Rechnung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Richtiges mittleres Tempo in km/h
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h=\frac2{1/30+1/90}=45}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Auf dem langsameren Abschnitt wird mehr Zeit verbracht; die Geschwindigkeiten sind nicht gleich zeitlich gewichtet.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Richtiges mittleres Tempo in km/h $\mathsf{45}$
2. BegründungGleiche Strecken, aber ungleiche Fahrzeiten; das einfache arithmetische Mittel 60 passt nicht.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich berechne mittlere Geschwindigkeit aus Gesamtstrecke und Gesamtzeit.
Ich entscheide, ob gleiche Strecken oder gleiche Zeiten vorliegen und gewichte entsprechend.

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