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Kreis und Bogenmaß · Erklären & üben

Gradmaß und Bogenmaß berechnen

Gradmaß und Bogenmaß beschreiben dieselbe Winkelöffnung mit unterschiedlichen Zahlen. Eine volle Umdrehung entspricht 360∘\mathsf{360^\circ} oder 2π\mathsf{2\pi} Radiant.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Eine andere Einheit für denselben Winkel

Das Bogenmaß eines Mittelpunktswinkels ist das Verhältnis der zugehörigen Kreisbogenlänge zum Radius. Weil beide Längen dieselbe Einheit haben, kürzt sie sich heraus. Die Bezeichnung rad macht trotzdem deutlich, dass ein Winkel gemeint ist.

  1. Ordne die gegebenen Größen und ihre Einheiten zu.

  2. Verwende die passende Beziehung und prüfe das Ergebnis.

φ=br\mathsf{\varphi=\frac br}

60° entsprechen π/3 rad

So geht es am Beispiel

Rechne 60∘\mathsf{60^\circ} ins Bogenmaß um.

60∘\mathsf{60^\circ} ist ein Sechstel der vollen Umdrehung.

φ=2π/6=π/3\mathsf{\varphi=2\pi/6=\pi/3}

Ergebnis

φ=π3 rad\mathsf{\varphi=\frac\pi3\,\mathsf{rad}}

Erklärung 02

In beide Richtungen umrechnen

Für Grad zu Radiant multiplizierst du die Gradzahl mit π/180\mathsf{\pi/180}. In Gegenrichtung multiplizierst du den Radiantwert mit 180/π\mathsf{180/\pi}. Häufige Paare sind 30∘=π/6 rad\mathsf{30^\circ=\pi/6\,\mathsf{rad}}, 45∘=π/4 rad\mathsf{45^\circ=\pi/4\,\mathsf{rad}}, 90∘=π/2 rad\mathsf{90^\circ=\pi/2\,\mathsf{rad}}, 180∘=π rad\mathsf{180^\circ=\pi\,\mathsf{rad}} und 360∘=2π rad\mathsf{360^\circ=2\pi\,\mathsf{rad}}. Lass Pi für exakte Ergebnisse stehen.

  1. Ordne die gegebenen Größen und ihre Einheiten zu.

  2. Verwende die passende Beziehung und prüfe das Ergebnis.

φ=α180∘π\mathsf{\varphi=\frac{\alpha}{180^\circ}\pi}

Eine volle Drehung: 360° = 2π rad

So geht es am Beispiel

Rechne 5π/6 rad\mathsf{5\pi/6\,\mathsf{rad}} ins Gradmaß um.

α=5π6⋅180∘π=150∘\mathsf{\alpha=\frac{5\pi}{6}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=150^\circ}

Ergebnis

150∘\mathsf{150^\circ}

Erklärung 03

Radius und Bogenlänge verwenden

Ein Winkel von einem Radiant schneidet einen Bogen ab, dessen Länge gleich dem Radius ist. Für b=rφ\mathsf{b=r\varphi} muss der Winkel im Bogenmaß vorliegen. Taschenrechner verwenden DEG für Gradwerte und RAD für Radiantwerte; die Einstellung ändert nicht den geometrischen Winkel.

  1. Ordne die gegebenen Größen und ihre Einheiten zu.

  2. Verwende die passende Beziehung und prüfe das Ergebnis.

b=rφ\mathsf{b=r\varphi}

So geht es am Beispiel

Ein Bogen ist 6 cm\mathsf{6\,\mathsf{cm}} lang, der Radius misst 3 cm\mathsf{3\,\mathsf{cm}}. Bestimme den Winkel.

φ=6/3=2\mathsf{\varphi=6/3=2}

Ergebnis

2 rad\mathsf{2\,\mathsf{rad}}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Gradmaß und Bogenmaß berechnen · standardRechne 90∘\mathsf{90^\circ} ins Bogenmaß um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      90π/180=π/2\mathsf{90\pi/180=\pi/2}

    Ergebnis

    1. Bogenmaßπ/2 rad\mathsf{\pi/2\,\mathsf{rad}}
  2. Aufgabe 2Gradmaß und Bogenmaß berechnen · standardRechne 210∘\mathsf{210^\circ} exakt ins Bogenmaß um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      210π/180=7π/6\mathsf{210\pi/180=7\pi/6}

    Ergebnis

    1. Bogenmaß7π/6 rad\mathsf{7\pi/6\,\mathsf{rad}}
  3. Aufgabe 3Gradmaß und Bogenmaß berechnen · standardRechne 3π/4 rad\mathsf{3\pi/4\,\mathsf{rad}} in Grad um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      3π4⋅180∘π=135∘\mathsf{\frac{3\pi}4\cdot\frac{180^\circ}\pi=135^\circ}

    Ergebnis

    1. Gradmaß135∘\mathsf{135^\circ}
  4. Aufgabe 4Gradmaß und Bogenmaß berechnen · standardIn der Vorlage sind M und der nach rechts gerichtete Radius MA vorgegeben. Zeichne den Kreis durch A und den senkrecht nach oben gerichteten Radius MB. Markiere den Viertelkreisbogen von A nach B und beschrifte den Mittelpunktswinkel in Grad und Radiant.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Zeichnung

    Leere Zeichenvorlage mit vorgegebenen Achsen, Rasterlinien und Punkten; gesuchte Ergänzungen fehlen.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Stelle den Zirkel auf MA und zeichne den Kreis.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Errichte bei M die Senkrechte nach oben; ihr Kreisschnittpunkt ist B.

      90∘=π/2 rad\mathsf{90^\circ=\pi/2\,\mathsf{rad}}

    Ergebnis

    1. ZeichnungKreis, oberer Radius MB, Viertelkreisbogen AB und Winkel 90∘=π/2 rad\mathsf{90^\circ=\pi/2\,\mathsf{rad}}.
  5. Aufgabe 5Gradmaß und Bogenmaß berechnen · standardb=10 cm\mathsf{b=10\,\mathsf{cm}} und r=4 cm\mathsf{r=4\,\mathsf{cm}}. Bestimme den Winkel im Bogenmaß.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      φ=b/r=10/4=2,5\mathsf{\varphi=b/r=10/4=2{,}5}

    Ergebnis

    1. Winkel2,5 rad\mathsf{2{,}5\,\mathsf{rad}}
  6. Aufgabe 6Gradmaß und Bogenmaß berechnen · standardJemand setzt für einen 60∘\mathsf{60^\circ}-Winkel direkt sin⁡(60)\mathsf{\sin(60)} im RAD-Modus ein. Warum ist das falsch, und wie lautet die richtige Radiant-Eingabe?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Im RAD-Modus wird die Zahl 60 als 60 Radiant interpretiert.

      60∘=π/3 rad\mathsf{60^\circ=\pi/3\,\mathsf{rad}}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. FehlerGradzahl als Radiantwert eingegeben.
    2. Richtige Eingabesin⁡(π/3)\mathsf{\sin(\pi/3)} im RAD-Modus.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich unterscheide Radius, Winkel, Bogenlänge und Fläche.
  • Ich kann das jeweilige Verfahren an einer eigenen Zeichnung erklären.
  • Ich prüfe Voraussetzungen und begründe mein Ergebnis.

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