AT Academy
Zum Mathematik-Inhalt

Kreis und Bogenmaß · Erklären & üben

Kreisbogen und Kreisausschnitt

Der Kreisbogen ist ein Teil der Kreislinie. Der Kreisausschnitt, auch Sektor genannt, ist die Fläche zwischen zwei Radien und dem zugehörigen Bogen. Länge und Fläche brauchen unterschiedliche Einheiten.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Derselbe Anteil am ganzen Kreis

Der Mittelpunktswinkel bestimmt, welcher Anteil des Kreises gemeint ist. Ein Winkel von 60 Grad entspricht einem Sechstel. Dieser Anteil gilt sowohl für den Umfang als auch für die Kreisfläche. Achte auf den markierten Bereich: Zwischen zwei Radien gibt es einen kleineren und einen größeren Sektor.

  1. Ordne die gegebenen Größen und ihre Einheiten zu.

  2. Verwende die passende Beziehung und prüfe das Ergebnis.

q=α360∘\mathsf{q=\frac\alpha{360^\circ}}

Kreisbogen und Sektor unterscheiden

So geht es am Beispiel

Berechne Bogen und Sektorfläche für r=6 cm\mathsf{r=6\,\mathsf{cm}} und α=60∘\mathsf{\alpha=60^\circ}.

b=16⋅2π⋅6=2π cm\mathsf{b=\frac16\cdot2\pi\cdot6=2\pi\,\mathsf{cm}}
AS=16π⋅62=6π cm2\mathsf{A_S=\frac16\pi\cdot6^2=6\pi\,\mathsf{cm}^2}

Ergebnis

b=2π cm,AS=6π cm2\mathsf{b=2\pi\,\mathsf{cm},\quad A_S=6\pi\,\mathsf{cm}^2}

Erklärung 02

Vom Bogen zum Durchmesser

Der volle Umfang ist πd\mathsf{\pi d}. Multipliziere mit dem Winkelanteil, um den Bogen zu erhalten. Ist die Bogenlänge gegeben, kannst du die Gleichung nach dem Durchmesser umstellen. Dabei muss der verwendete Winkel positiv sein.

  1. Ordne die gegebenen Größen und ihre Einheiten zu.

  2. Verwende die passende Beziehung und prüfe das Ergebnis.

b=α360∘πd\mathsf{b=\frac\alpha{360^\circ}\pi d}

Radius und Durchmesser

So geht es am Beispiel

b=3π cm\mathsf{b=3\pi\,\mathsf{cm}} und α=90∘\mathsf{\alpha=90^\circ}. Berechne den Durchmesser.

3π=14πd\mathsf{3\pi=\frac14\pi d}
d=12 cm\mathsf{d=12\,\mathsf{cm}}

Ergebnis

d=12 cm\mathsf{d=12\,\mathsf{cm}}

Erklärung 03

Von der Sektorfläche zum Durchmesser

Für die Sektorfläche verwendest du den Anteil der ganzen Kreisfläche. Beim Rückwärtsrechnen musst du am Ende die positive Quadratwurzel ziehen. Der gesamte Sektorrand besteht aus dem Bogen und beiden Radien; er ist länger als der Kreisbogen allein.

  1. Ordne die gegebenen Größen und ihre Einheiten zu.

  2. Verwende die passende Beziehung und prüfe das Ergebnis.

AS=α360∘πr2\mathsf{A_S=\frac\alpha{360^\circ}\pi r^2}

So geht es am Beispiel

Ein Halbkreissektor besitzt AS=8π cm2\mathsf{A_S=8\pi\,\mathsf{cm}^2}. Bestimme Radius und Durchmesser.

8π=12πr2\mathsf{8\pi=\frac12\pi r^2}
r2=16,r=4 cm,d=8 cm\mathsf{r^2=16,\quad r=4\,\mathsf{cm},\quad d=8\,\mathsf{cm}}

Ergebnis

r=4 cm,d=8 cm\mathsf{r=4\,\mathsf{cm},\quad d=8\,\mathsf{cm}}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Kreisbogen und Kreisausschnitt · standardr=4 cm\mathsf{r=4\,\mathsf{cm}} und α=90∘\mathsf{\alpha=90^\circ}. Bestimme den Bogen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      b=14⋅2π⋅4=2π cm\mathsf{b=\frac14\cdot2\pi\cdot4=2\pi\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Bogenlänge2π cm\mathsf{2\pi\,\mathsf{cm}}
  2. Aufgabe 2Kreisbogen und Kreisausschnitt · standardr=4 cm\mathsf{r=4\,\mathsf{cm}} und α=90∘\mathsf{\alpha=90^\circ}. Bestimme die Sektorfläche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      AS=14π⋅42=4π cm2\mathsf{A_S=\frac14\pi\cdot4^2=4\pi\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Sektorfläche4π cm2\mathsf{4\pi\,\mathsf{cm}^2}
  3. Aufgabe 3Kreisbogen und Kreisausschnitt · standardEin Halbkreisbogen ist 5π cm\mathsf{5\pi\,\mathsf{cm}} lang. Berechne den Durchmesser.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      5π=12πd\mathsf{5\pi=\frac12\pi d}
      d=10 cm\mathsf{d=10\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Durchmesser10 cm\mathsf{10\,\mathsf{cm}}
  4. Aufgabe 4Kreisbogen und Kreisausschnitt · standardZeichne den Kreis um M durch A und den oberen senkrechten Radius MB. Hebe den Viertelkreisbogen AB hervor und schraffiere den zugehörigen Sektor. Beschrifte den Bogen mit b und die Fläche mit Aₛ.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Bogen und Fläche

    Leere Zeichenvorlage mit vorgegebenen Achsen, Rasterlinien und Punkten; gesuchte Ergänzungen fehlen.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Der Bogen liegt auf der Kreislinie.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Der Sektor liegt zwischen MA, MB und diesem Bogen.

    Ergebnis

    1. Bogen und FlächeOberer rechter Viertelkreis: Bogen b auf dem Rand, Aₛ im schraffierten Inneren.
  5. Aufgabe 5Kreisbogen und Kreisausschnitt · standardEin Viertelkreissektor hat Fläche 9π cm2\mathsf{9\pi\,\mathsf{cm}^2}. Berechne den Durchmesser.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      9π=14πr2\mathsf{9\pi=\frac14\pi r^2}
      r2=36,r=6 cm,d=12 cm\mathsf{r^2=36,\quad r=6\,\mathsf{cm},\quad d=12\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Durchmesser12 cm\mathsf{12\,\mathsf{cm}}
  6. Aufgabe 6Kreisbogen und Kreisausschnitt · standardEin Sektor besitzt r=3 cm\mathsf{r=3\,\mathsf{cm}} und α=120∘\mathsf{\alpha=120^\circ}. Bestimme die Länge seines gesamten Randes.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      b=13⋅2π⋅3=2π cm\mathsf{b=\frac13\cdot2\pi\cdot3=2\pi\,\mathsf{cm}}
      US=b+2r=(2π+6) cm\mathsf{U_S=b+2r=(2\pi+6)\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Sektorrand(6+2π) cm\mathsf{(6+2\pi)\,\mathsf{cm}}

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich unterscheide Radius, Winkel, Bogenlänge und Fläche.
  • Ich kann das jeweilige Verfahren an einer eigenen Zeichnung erklären.
  • Ich prüfe Voraussetzungen und begründe mein Ergebnis.

AT Academy · Version 2026-10-21

Kreisbogen und Kreisausschnitt | AT Academy