Grundrechenarten · Erklären & üben

Grundrechenarten

Du unterscheidest die vier Grundrechenarten und wählst bei gemischten Rechnungen die richtige Reihenfolge.

Erklärung 01

Vier Rechenarten, vier Ergebnisse

Bei der Addition werden Zahlen zusammengezählt: Die Summanden ergeben die Summe. Subtraktion nimmt einen Wert weg: Vom Minuenden wird der Subtrahend abgezogen; das Ergebnis heißt Differenz.

Multiplikation fasst gleich große Gruppen zusammen: Faktoren ergeben ein Produkt. Division verteilt gleichmäßig oder fragt nach der Anzahl gleich großer Gruppen: Dividend geteilt durch Divisor ergibt den Quotienten.

Erkenne zuerst das Rechenzeichen.
Benenne die Zahlen nach ihrer Rolle in dieser Rechnung.

Plus: Summe. Minus: Differenz. Mal: Produkt. Geteilt: Quotient.

Zwei Paare: Addition und Subtraktion sowie Multiplikation und Division machen sich rückgängig.

So geht es am Beispiel

Verbinde $\mathsf{8+5}$ mit seiner Umkehrung.

Die beiden Summanden sind 8 und 5.

$\mathsf{8+5=13}$ . Die Summe ist 13.

$\mathsf{13-5=8}$ . Hier ist 13 der Minuend, 5 der Subtrahend und 8 die Differenz.

So geht es am Beispiel

Vier Gruppen enthalten je sechs Plättchen. Teile die Gesamtzahl wieder in Sechsergruppen.

Die Faktoren 4 und 6 beschreiben Anzahl und Größe der Gruppen.

$\mathsf{4\cdot6=24}$ . Das Produkt ist 24.

$\mathsf{24:6=4}$ . Der Dividend ist 24, der Divisor 6 und der Quotient 4.

Erklärung 02

Umkehren und die Grenze bei null

Eine fehlende Zahl findest du oft mit der Umkehrrechnung. Zur Addition gehört die Subtraktion, zur Multiplikation die Division. Durch null darfst du nicht dividieren. Ein Quotient muss eindeutig festlegen, welche Zahl mit dem Divisor multipliziert den Dividenden ergibt.

Prüfe einen Quotienten durch Multiplikation mit dem Divisor.
Kontrolliere vor jeder Division, dass der Divisor nicht null ist.

Ein Divisor muss von null verschieden sein.

So geht es am Beispiel

Was bedeuten $\mathsf{0:7}$ , $\mathsf{7:0}$ und $\mathsf{0:0}$ ?

$\mathsf{7\cdot0=0}$ . Daher gilt $\mathsf{0:7=0}$ .

Für $\mathsf{7:0}$ müsste $\mathsf{0\cdot x=7}$ gelten. Das ist für keine Zahl möglich.

Für $\mathsf{0:0}$ wäre $\mathsf{0\cdot x=0}$ zu lösen. Jede Zahl erfüllt das; ein eindeutiger Quotient fehlt.

Erklärung 03

Vertauschen und Verbinden

Bei Addition und Multiplikation darfst du die Reihenfolge der Summanden beziehungsweise Faktoren vertauschen: Das heißt Kommutativgesetz. Du darfst auch die Klammern zwischen gleichartigen Additionen oder Multiplikationen verschieben: Das heißt Assoziativgesetz.

Für Subtraktion und Division gelten diese Gesetze nicht allgemein. Ein einziges Gegenbeispiel reicht, um eine allgemeine Behauptung zu widerlegen.

Suche Zahlen, die zusammen einen glatten Zehner oder ein einfaches Produkt ergeben.
Vertausche oder verbinde nur dort, wo das passende Gesetz gilt.

Vertauschen und Verbinden sind Gesetze der Addition und Multiplikation.

So geht es am Beispiel

Vergleiche die vertauschten Rechnungen.

Zuerst $\mathsf{14+9=23}$ .

Vertauscht: $\mathsf{9+14=23}$ . Die Summe bleibt gleich.

Zuerst $\mathsf{3\cdot7=21}$ .

Vertauscht: $\mathsf{7\cdot3=21}$ . Das Produkt bleibt gleich.

Zuerst $\mathsf{14-9=5}$ .

Vertauscht: $\mathsf{9-14=-5}$ . Die Differenz ändert sich.

Zuerst $\mathsf{12:3=4}$ .

Vertauscht: $\mathsf{3:12=\frac{1}{4}}$ . Der Quotient ändert sich.

So geht es am Beispiel

Prüfe, was eine andere Klammer verändert.

Erste Klammer: $\mathsf{25+17=42}$ .

Danach $\mathsf{42+3=45}$ .

Geschickte Klammer: $\mathsf{17+3=20}$ .

Danach $\mathsf{25+20=45}$ .

Erstes Produkt: $\mathsf{2\cdot5=10}$ .

Danach $\mathsf{10\cdot4=40}$ .

Andere Klammer: $\mathsf{5\cdot4=20}$ .

Danach $\mathsf{2\cdot20=40}$ .

Erste Subtraktionsklammer: $\mathsf{18-7=11}$ .

Danach $\mathsf{11-2=9}$ .

Andere Subtraktionsklammer: $\mathsf{7-2=5}$ .

Danach $\mathsf{18-5=13}$ .

Erste Divisionsklammer: $\mathsf{24:6=4}$ .

Danach $\mathsf{4:2=2}$ .

Andere Divisionsklammer: $\mathsf{6:2=3}$ .

Danach $\mathsf{24:3=8}$ .

Erklärung 04

Eine Summe vervielfachen

Das Verteilungsgesetz verbindet Multiplikation und Addition. Jede Zahl in der Klammer wird mit demselben Faktor multipliziert. Im Rechteck lässt sich die gesamte Fläche in zwei Teilflächen zerlegen.

Multipliziere den Faktor mit jedem Summanden.
Addiere die Teilprodukte.

$\mathsf{a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$

Ein Rechteck aus drei Reihen und sechs Spalten wird nach der vierten Spalte geteilt. Links zwölf, rechts sechs Einheitsfelder.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{3\cdot(4+2)}$ durch Zerlegen.

Das Rechteck hat drei Reihen und insgesamt sechs Spalten.

Die ersten vier Spalten enthalten $\mathsf{3\cdot4=12}$ Einheitsfelder.

Die übrigen zwei Spalten enthalten $\mathsf{3\cdot2=6}$ Einheitsfelder.

Zusammen sind es $\mathsf{12+6=18}$ Einheitsfelder.

Erklärung 05

Welche Rechnung kommt zuerst?

Rechne zuerst in Klammern. Danach kommen Multiplikation und Division vor Addition und Subtraktion. Gleichrangige Rechnungen bearbeitest du ohne weitere Klammern von links nach rechts.

Eine Division durch eine Summe lässt sich nicht wie eine Multiplikation verteilen. Prüfe bei einer vermuteten Umformung immer beide Seiten.

Löse zuerst die innersten Klammern.
Rechne Punktrechnungen vor Strichrechnungen.
Bearbeite gleichrangige Rechenzeichen von links nach rechts.

Klammern vor Punkt vor Strich; bei gleichem Rang von links.

Ohne Klammer zuerst vier mal drei, dann sechs addieren. Mit Klammer zuerst sechs plus vier, danach mit drei multiplizieren.

So geht es am Beispiel

Vergleiche $\mathsf{6+4\cdot3}$ und $\mathsf{(6+4)\cdot3}$ .

Ohne Klammer beginnt die Multiplikation: $\mathsf{4\cdot3=12}$ .

Danach addierst du: $\mathsf{6+12=18}$ .

Mit Klammer beginnt die Addition: $\mathsf{6+4=10}$ .

Danach multiplizierst du: $\mathsf{10\cdot3=30}$ .

So geht es am Beispiel

Rechne $\mathsf{20-6-3}$ und $\mathsf{24:4\cdot2}$ .

Bei den Subtraktionen beginnst du links: $\mathsf{20-6=14}$ .

Dann folgt $\mathsf{14-3=11}$ .

Division und Multiplikation sind gleichrangig: $\mathsf{24:4=6}$ .

Danach folgt $\mathsf{6\cdot2=12}$ .

Erklärung 06

Mit welchen Zahlen rechnest du?

Nicht jede Rechnung bleibt bei den natürlichen Zahlen. Beispielsweise ist $\mathsf{3-5=-2}$ eine ganze Zahl und $\mathsf{3:4=\frac{3}{4}}$ eine rationale Zahl. Das Thema Zahlen erklärt die Zahlenmengen genauer. Hier genügt: Die Rechenregeln gelten auch für diese Zahlen, solange keine Division durch null vorkommt.

Die Zahlenmenge bestimmt, welche Ergebnisse darin enthalten sind.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Grundrechenarten · 1Ordne $\mathsf{18+7}$ und $\mathsf{18-7}$ jeweils die Rechenart zu und berechne das Ergebnis.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenart bei Plus
Summe
Rechenart bei Minus
Differenz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Das Pluszeichen steht für Addition: $\mathsf{18+7=25}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das Minuszeichen steht für Subtraktion: $\mathsf{18-7=11}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Rechenart bei PlusAddition
2. Summe25
3. Rechenart bei MinusSubtraktion
4. Differenz11
02
Aufgabe 2Grundrechenarten · 1Berechne $\mathsf{6\cdot8}$ und $\mathsf{48:8}$ . Trage die Ergebnisse in die fachsprachlich beschrifteten Felder ein.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Produkt
Quotient
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Sechs Achtergruppen ergeben $\mathsf{6\cdot8=48}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Umkehrung lautet $\mathsf{48:8=6}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Produkt48
2. Quotient6
03
Aufgabe 3Grundrechenarten · 1Ergänze $\mathsf{9+\square=23}$ und $\mathsf{\square\cdot7=42}$ . Notiere jeweils eine Umkehrrechnung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehlender Summand
Umkehrrechnung zur Addition
Fehlender Faktor
Umkehrrechnung zur Multiplikation
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Ziehe den bekannten Summanden ab: $\mathsf{23-9=14}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Teile das Produkt durch den bekannten Faktor: $\mathsf{42:7=6}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Fehlender Summand14
2. Umkehrrechnung zur Addition $\mathsf{23-9=14}$
3. Fehlender Faktor6
4. Umkehrrechnung zur Multiplikation $\mathsf{42:7=6}$
04
Aufgabe 4Grundrechenarten · 2Berechne $\mathsf{0:9}$ . Ist $\mathsf{9:0}$ definiert? Begründe die letzte Antwort.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Quotient bei null geteilt durch neun
Ist neun geteilt durch null definiert?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Weil $\mathsf{9\cdot0=0}$ gilt, ist $\mathsf{0:9=0}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Für einen Quotienten bei $\mathsf{9:0}$ müsste $\mathsf{0\cdot x=9}$ gelten.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Ein Produkt mit null ist immer null; die verlangte Zahl existiert nicht.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Quotient bei null geteilt durch neun0
2. Ist neun geteilt durch null definiert?Nein
3. BegründungKeine Zahl ergibt mit null multipliziert neun.
05
Aufgabe 5Grundrechenarten · 2Berechne $\mathsf{27+16+3}$ geschickt. Benenne das Gesetz zum Vertauschen und das Gesetz zum Zusammenfassen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Gesetz zum Vertauschen
Gesetz zum Zusammenfassen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Vertausche 16 und 3: $\mathsf{27+3+16}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Fasse die ersten beiden Summanden zusammen: $\mathsf{(27+3)+16=30+16}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Addiere zuletzt: $\mathsf{30+16=46}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ergebnis46
2. Gesetz zum VertauschenKommutativgesetz
3. Gesetz zum ZusammenfassenAssoziativgesetz
06
Aufgabe 6Grundrechenarten · 2Berechne $\mathsf{(16-5)-3}$ und $\mathsf{16-(5-3)}$ . Darf man die Klammern hier beliebig verschieben? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erster Wert
Zweiter Wert
Dürfen die Klammern beliebig verschoben werden?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zuerst gilt $\mathsf{16-5=11}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Damit ist $\mathsf{(16-5)-3=11-3=8}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  In der anderen Klammer gilt $\mathsf{5-3=2}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Damit ist $\mathsf{16-(5-3)=16-2=14}$ .
5. Schritt 5 · Erklärung
  Die Ergebnisse sind verschieden.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erster Wert8
2. Zweiter Wert14
3. Dürfen die Klammern beliebig verschoben werden?Nein
4. BegründungDie verschiedenen Werte widerlegen das Verbindungsgesetz für Subtraktion.
07
Aufgabe 7Grundrechenarten · 2Nutze das Verteilungsgesetz für $\mathsf{4\cdot(20+3)}$ . Notiere beide Teilprodukte und das Ergebnis.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Teilprodukt mit zwanzig
Teilprodukt mit drei
Gesamtprodukt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Multipliziere zuerst $\mathsf{4\cdot20=80}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Multipliziere dann $\mathsf{4\cdot3=12}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Addiere die Teilprodukte: $\mathsf{80+12=92}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Teilprodukt mit zwanzig80
2. Teilprodukt mit drei12
3. Gesamtprodukt92
08
Aufgabe 8Grundrechenarten · 2Berechne $\mathsf{7+5\cdot4}$ und $\mathsf{(7+5)\cdot4}$ . Erkläre den Unterschied der Reihenfolge.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis ohne Klammer
Ergebnis mit Klammer
Unterschied der Reihenfolge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Ohne Klammer gilt zuerst $\mathsf{5\cdot4=20}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Danach ist $\mathsf{7+20=27}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Mit Klammer gilt zuerst $\mathsf{7+5=12}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Danach ist $\mathsf{12\cdot4=48}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ergebnis ohne Klammer27
2. Ergebnis mit Klammer48
3. Unterschied der ReihenfolgeOhne Klammer zuerst multiplizieren; mit Klammer zuerst die eingeklammerte Addition berechnen.
09
Aufgabe 9Grundrechenarten · 2Berechne $\mathsf{30-8-7}$ und $\mathsf{36:6\cdot3}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis der Subtraktionen
Ergebnis von Division und Multiplikation
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Von links: $\mathsf{30-8=22}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Danach: $\mathsf{22-7=15}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Auch hier von links: $\mathsf{36:6=6}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Danach: $\mathsf{6\cdot3=18}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ergebnis der Subtraktionen15
2. Ergebnis von Division und Multiplikation18
10
Aufgabe 10Grundrechenarten · 3Ist $\mathsf{18:(3+6)=18:3+18:6}$ richtig? Berechne beide Seiten und begründe dein Urteil.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Linke Seite
Rechte Seite
Ist die Gleichung richtig?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Links beginnt die Klammer: $\mathsf{3+6=9}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die linke Seite ist $\mathsf{18:9=2}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Rechts ist $\mathsf{18:3=6}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Außerdem ist $\mathsf{18:6=3}$ .
5. Schritt 5 · Erklärung
  Die rechte Seite ist $\mathsf{6+3=9}$ .
6. Schritt 6 · Erklärung
  Die Werte 2 und 9 sind verschieden.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Linke Seite2
2. Rechte Seite9
3. Ist die Gleichung richtig?Nein
4. BegründungDivision durch eine Summe darf nicht so verteilt werden. Die beiden Seiten haben verschiedene Werte.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich benenne die vier Rechenarten und ihre Ergebnisse.
Ich prüfe, ob ein Rechengesetz zur Operation passt.
Ich rechne Klammern und gleichrangige Operationen in der richtigen Reihenfolge.

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