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Integrale verstehen · Erklären & üben

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Der Hauptsatz verbindet Aufsummieren und Ableiten. Er ermöglicht es, ein bestimmtes Integral durch zwei Funktionswerte einer Stammfunktion auszurechnen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die Verbindung in zwei Aussagen

Sei f auf einem Intervall stetig. Für einen festen Startpunkt a definiere A(x)=∫axf(t) dt\mathsf{A(x)=\int_a^x f(t)\,dt}. Dann gilt im Inneren des Intervalls A′(x)=f(x)\mathsf{A^{\prime}(x)=f(x)}. Das Aufsummieren erzeugt also eine Stammfunktion.

Ist F eine Stammfunktion von f auf einem Intervall, das [a,b] enthält, dann gilt:

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\mathsf{\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)}

Die erste Aussage erklärt die Ableitung der aufsummierten Bilanz, die zweite liefert die praktische Rechenregel.

Erklärung 02

Warum das geometrisch plausibel ist

Verschiebt sich die obere Grenze von x nach x+h\mathsf{x+h}, kommt ein schmaler orientierter Streifen hinzu:

A(x+h)−A(x)=∫xx+hf(t) dt\mathsf{A(x+h)-A(x)=\int_x^{x+h}f(t)\,dt}

Bei stetigem f ist die Höhe im schmalen Streifen nahe bei f(x)\mathsf{f(x)}. Deshalb ist seine Bilanz näherungsweise f(x)h\mathsf{f(x)h}. Nach Division durch h nähert sich der Quotient f(x)\mathsf{f(x)}.

Damit ist A eine Stammfunktion. Zwei Stammfunktionen derselben Funktion unterscheiden sich auf einem Intervall nur um eine Konstante. Da A(a)=0\mathsf{A(a)=0}, folgt A(b)=F(b)−F(a)\mathsf{A(b)=F(b)-F(a)}. Das ist eine anschauliche Begründung für die schulische Anwendung.

Schmaler positiver Flächenstreifen zwischen x und x+h unter einem stetigen Graphen.

Erklärung 03

Grenzen korrekt einsetzen

Bilde eine Stammfunktion, setze zuerst die obere und dann die untere Grenze ein und subtrahiere die vollständigen Werte. Eine Integrationskonstante fällt bei der Differenz weg.

So geht es am Beispiel

Berechne ∫13(2x+1) dx\mathsf{\int_1^3(2x+1)\,dx}.

F(x)=x2+x\mathsf{F(x)=x^2+x}
F(3)=9+3=12\mathsf{F(3)=9+3=12}
F(1)=1+1=2\mathsf{F(1)=1+1=2}
∫13(2x+1) dx=12−2\mathsf{\int_1^3(2x+1)\,dx=12-2}
∫13(2x+1) dx=10\mathsf{\int_1^3(2x+1)\,dx=10}

Ergebnis

Das Integral beträgt 10. Da f hier positiv ist, stimmt es zugleich mit dem Flächeninhalt überein.

Erklärung 04

Bilanz und Flächeninhalt unterscheiden

Das Integral ist eine Bilanz: Bereiche unterhalb der x-Achse zählen negativ. Für den gesamten Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse zerlegst du an Vorzeichenwechseln und addierst die Beträge der Teilintegrale.

Gerade y=x mit negativem Dreieck auf [−1,0] und positivem Dreieck auf [0,2].

So geht es am Beispiel

Vergleiche Integral und Flächeninhalt für f(x)=x\mathsf{f(x)=x} auf [−1,2].

F(x)=x2/2\mathsf{F(x)=x^2/2}
∫−12x dx=2−1/2=3/2\mathsf{\int_{-1}^2x\,dx=2-1/2=3/2}
∫−10x dx=0−1/2=−1/2\mathsf{\int_{-1}^0x\,dx=0-1/2=-1/2}
∫02x dx=2−0=2\mathsf{\int_0^2x\,dx=2-0=2}
A=∣−1/2∣+∣2∣=5/2\mathsf{A=|-1/2|+|2|=5/2}

Ergebnis

Bilanz 1,5; geometrischer Flächeninhalt 2,5 Flächeneinheiten.

Erklärung 05

Voraussetzungen und Sachbedeutung

Die hier verwendete Form des Hauptsatzes setzt Stetigkeit auf dem gesamten betrachteten Intervall voraus. Eine Definitionslücke darf nicht einfach übergangen werden. Bei 1/x\mathsf{1/x} auf [−1,1] ist die gewöhnliche Auswertungsregel deshalb nicht anwendbar.

Ist f eine Änderungsrate, liefert ihr Integral die gesamte Änderung. Eine Wasserrate in Litern pro Minute ergibt nach Integration über Minuten eine Volumenänderung in Litern. Ein Anfangsbestand muss zusätzlich addiert werden.

So geht es am Beispiel

Ein Tank enthält anfangs 7 Liter. Die Zuflussrate ist r(t)=2t+1\mathsf{r(t)=2t+1} Liter pro Minute für 0≤t≤3\mathsf{0\le t\le3}. Wie viel Wasser ist nach 3 Minuten vorhanden?

R(t)=t2+t\mathsf{R(t)=t^2+t}
ΔV=∫03(2t+1) dt\mathsf{\Delta V=\int_0^3(2t+1)\,dt}
ΔV=(9+3)−0=12 L\mathsf{\Delta V=(9+3)-0=12\,\mathsf L}
V(3)=7+12=19 L\mathsf{V(3)=7+12=19\,\mathsf L}

Ergebnis

Das Integral liefert 12 Liter Zuwachs; der Endbestand beträgt 19 Liter.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung · EinstiegBerechne ∫023x2 dx\mathsf{\int_0^2 3x^2\,dx}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      F(x)=x3\mathsf{F(x)=x^3}
      F(2)−F(0)=8−0\mathsf{F(2)-F(0)=8-0}

    Ergebnis

    1. Rechenweg und ErgebnisDas Integral ist 8.
  2. Aufgabe 2Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung · EinstiegBerechne ∫14(2x−3) dx\mathsf{\int_1^4(2x-3)\,dx}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      F(x)=x2−3x\mathsf{F(x)=x^2-3x}
      F(4)=16−12=4\mathsf{F(4)=16-12=4}
      F(1)=1−3=−2\mathsf{F(1)=1-3=-2}
      4−(−2)=6\mathsf{4-(-2)=6}

    Ergebnis

    1. Rechenweg und ErgebnisDas Integral ist 6.
  3. Aufgabe 3Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung · StandardBerechne ∫01ex dx\mathsf{\int_0^1e^x\,dx}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      F(x)=ex\mathsf{F(x)=e^x}
      F(1)−F(0)=e−1\mathsf{F(1)-F(0)=e-1}

    Ergebnis

    1. Rechenweg und Ergebnise−1\mathsf{e-1}.
  4. Aufgabe 4Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung · StandardBerechne ∫121/x dx\mathsf{\int_1^2 1/x\,dx} und nenne die passende Voraussetzung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      1/x ist auf [1,2] stetig.

      F(x)=ln⁡x\mathsf{F(x)=\operatorname{\textsf{ln}}x}
      F(2)−F(1)=ln⁡2−0\mathsf{F(2)-F(1)=\operatorname{\textsf{ln}}2-0}

    Ergebnis

    1. Rechenweg und Ergebnisln⁡2\mathsf{\operatorname{\textsf{ln}}2}.
  5. Aufgabe 5Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung · StandardFür A(x)=∫2x(t2+1) dt\mathsf{A(x)=\int_2^x(t^2+1)\,dt}: Gib A′(x)\mathsf{A^{\prime}(x)} und A(2)\mathsf{A(2)} an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Der Integrand ist stetig.

      A′(x)=x2+1\mathsf{A^{\prime}(x)=x^2+1}
      A(2)=∫22(t2+1) dt=0\mathsf{A(2)=\int_2^2(t^2+1)\,dt=0}

    Ergebnis

    1. Rechenweg und ErgebnisA′(x)=x2+1\mathsf{A^{\prime}(x)=x^2+1}, A(2)=0\mathsf{A(2)=0}.
  6. Aufgabe 6Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung · StandardFür f(x)=x\mathsf{f(x)=x} auf [−2,2]: Berechne Bilanz und gesamten Flächeninhalt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      F(x)=x2/2\mathsf{F(x)=x^2/2}
      F(2)−F(−2)=2−2=0\mathsf{F(2)-F(-2)=2-2=0}
      ∫−20x dx=−2\mathsf{\int_{-2}^0x\,dx=-2}
      ∫02x dx=2\mathsf{\int_0^2x\,dx=2}
      A=2+2=4\mathsf{A=2+2=4}

    Ergebnis

    1. Rechenweg und ErgebnisIntegral 0, Flächeninhalt 4 Flächeneinheiten.
  7. Aufgabe 7Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung · StandardEin Behälter enthält 30 Liter. Seine Änderungsrate ist r(t)=−2\mathsf{r(t)=-2} Liter pro Minute für 0 bis 4 Minuten. Berechne Änderung und Endbestand.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      ΔV=∫04−2 dt\mathsf{\Delta V=\int_0^4-2\,dt}
      ΔV=[−2t]04=−8 L\mathsf{\Delta V=[-2t]_0^4=-8\,\mathsf L}
      V(4)=30−8=22 L\mathsf{V(4)=30-8=22\,\mathsf L}

    Ergebnis

    1. Rechenweg und ErgebnisÄnderung −8 Liter; Endbestand 22 Liter.
  8. Aufgabe 8Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung · VertiefungJemand rechnet ∫−111/x dx=ln⁡∣1∣−ln⁡∣−1∣=0\mathsf{\int_{-1}^1 1/x\,dx=\operatorname{\textsf{ln}}|1|-\operatorname{\textsf{ln}}|-1|=0}. Warum ist das hier keine zulässige Anwendung?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Bei 0 ist der Integrand nicht definiert.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Damit ist er nicht stetig auf dem gesamten Intervall.

    3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      Die Stammfunktion ist nicht auf einem Intervall durch 0 hinweg definiert.

    Ergebnis

    1. Rechenweg und ErgebnisDer Hauptsatz darf in dieser Form nicht über die Definitionslücke angewandt werden; 0 ist kein so berechneter gewöhnlicher Integralwert.
  9. Aufgabe 9Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung · VertiefungZeige, dass F(x)=x2\mathsf{F(x)=x^2} und G(x)=x2+7\mathsf{G(x)=x^2+7} für ∫132x dx\mathsf{\int_1^3 2x\,dx} dasselbe Ergebnis liefern.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      F(3)−F(1)=9−1=8\mathsf{F(3)-F(1)=9-1=8}
      G(3)−G(1)=16−8=8\mathsf{G(3)-G(1)=16-8=8}

    Ergebnis

    1. Rechenweg und ErgebnisDie Konstante kürzt sich in der Differenz heraus; beide liefern 8.
  10. Aufgabe 10Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung · VertiefungBerechne ∫02(x−1) dx\mathsf{\int_0^2(x-1)\,dx} und den Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      F(x)=x2/2−x\mathsf{F(x)=x^2/2-x}
      F(2)−F(0)=0\mathsf{F(2)-F(0)=0}
      F(1)=−1/2\mathsf{F(1)=-1/2}
      ∫01(x−1) dx=−1/2\mathsf{\int_0^1(x-1)\,dx=-1/2}
      ∫12(x−1) dx=1/2\mathsf{\int_1^2(x-1)\,dx=1/2}
      A=1/2+1/2=1\mathsf{A=1/2+1/2=1}

    Ergebnis

    1. Rechenweg und ErgebnisIntegral 0, Flächeninhalt 1 Flächeneinheit.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich wähle die Integrationsregel passend zur Termstruktur.
  • Ich prüfe Stammfunktionen durch Ableiten und setze Grenzen vollständig ein.
  • Ich unterscheide Bilanz und Fläche und beachte Definitionslücken.

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