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Integrale verstehen · Erklären & üben

Integrationsregeln auswählen und anwenden

Die Struktur des Terms entscheidet über den Rechenweg. Oft reichen Vereinfachen, Linearität und bekannte Stammfunktionen. Prüfe das Ergebnis anschließend durch Ableiten.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Potenzen und der besondere Exponent −1

Für n≠−1\mathsf{n\ne-1} gilt auf einem passenden Definitionsintervall die Potenzregel:

∫xn dx=xn+1n+1+C\mathsf{\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C}

Der Exponent wird um 1 erhöht; anschließend wird durch den neuen Exponenten geteilt. Für reelle Exponenten ist die Regel auf x>0\mathsf{x>0} anwendbar; bei ganzzahligen Exponenten beachtest du insbesondere mögliche Ausschlüsse bei 0.

Der Sonderfall lautet ∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\mathsf{\int\frac1x\,dx=\operatorname{\textsf{ln}}|x|+C} auf jedem Intervall ohne 0. Über die Stelle 0 hinweg darf nicht ohne Weiteres gerechnet werden.

Übersicht zur Auswahl von Potenz-, Logarithmus- und Linearitätsregeln.

So geht es am Beispiel

Integriere f(x)=3x2−4x−3\mathsf{f(x)=3x^2-4x^{-3}} auf (0,∞)\mathsf{(0,\infty)}.

∫(3x2−4x−3) dx=3x33−4x−2−2+C\mathsf{\int(3x^2-4x^{-3})\,dx=3\frac{x^3}{3}-4\frac{x^{-2}}{-2}+C}
F(x)=x3+2x−2+C\mathsf{F(x)=x^3+2x^{-2}+C}
F′(x)=3x2−4x−3\mathsf{F^{\prime}(x)=3x^2-4x^{-3}}

Ergebnis

F(x)=x3+2/x2+C\mathsf{F(x)=x^3+2/x^2+C} ist eine Stammfunktionenschar.

Erklärung 02

Summen, Differenzen und konstante Faktoren

Die Linearität erlaubt, Summanden einzeln zu integrieren und konstante Faktoren beizubehalten. Produkte zweier variabler Faktoren dürfen dagegen nicht einfach einzeln integriert und dann multipliziert werden.

Vereinfache zuerst: x(x2+2)=x3+2x\mathsf{x(x^2+2)=x^3+2x}. Dafür genügen Potenz- und Summenregel.

So geht es am Beispiel

Berechne ∫(2x+3)2 dx\mathsf{\int(2x+3)^2\,dx} durch Ausmultiplizieren.

(2x+3)2=4x2+12x+9\mathsf{(2x+3)^2=4x^2+12x+9}
∫(4x2+12x+9) dx=43x3+6x2+9x+C\mathsf{\int(4x^2+12x+9)\,dx=\frac43x^3+6x^2+9x+C}

Ergebnis

Die Summe lässt sich gliedweise integrieren.

Erklärung 03

Bekannte Grundfunktionen

∫ex dx=ex+C\mathsf{\int e^x\,dx=e^x+C}
∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\mathsf{\int\operatorname{\textsf{cos}}x\,dx=\operatorname{\textsf{sin}}x+C}
∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\mathsf{\int\operatorname{\textsf{sin}}x\,dx=-\operatorname{\textsf{cos}}x+C}

Die Winkel werden im Bogenmaß gemessen. Für x>0\mathsf{x>0} gilt außerdem ∫ln⁡x dx=xln⁡x−x+C\mathsf{\int\operatorname{\textsf{ln}}x\,dx=x\operatorname{\textsf{ln}}x-x+C}; durch Ableiten erhältst du wieder ln⁡x\mathsf{\operatorname{\textsf{ln}}x}. Die Herleitung wird bei der partiellen Integration vertieft.

Erklärung 04

Eine lineare innere Funktion berücksichtigen

Ist G eine Stammfunktion von g und a≠0\mathsf{a\ne0}, dann gilt:

∫g(ax+b) dx=1aG(ax+b)+C\mathsf{\int g(ax+b)\,dx=\frac1aG(ax+b)+C}

Der Faktor 1/a\mathsf{1/a} gleicht beim Ableiten die innere Ableitung a aus. Für a=0\mathsf{a=0} ist der Integrand konstant, sofern g(b)\mathsf{g(b)} definiert ist; dann lautet eine Stammfunktion g(b)x\mathsf{g(b)x}.

Rechenschema zum Kehrwert der inneren Ableitung.

So geht es am Beispiel

Berechne ∫6(2x−1)3 dx\mathsf{\int6(2x-1)^3\,dx}.

F(x)=6⋅12⋅(2x−1)44+C\mathsf{F(x)=6\cdot\frac12\cdot\frac{(2x-1)^4}{4}+C}
F(x)=34(2x−1)4+C\mathsf{F(x)=\frac34(2x-1)^4+C}
F′(x)=34⋅4(2x−1)3⋅2\mathsf{F^{\prime}(x)=\frac34\cdot4(2x-1)^3\cdot2}
F′(x)=6(2x−1)3\mathsf{F^{\prime}(x)=6(2x-1)^3}

Ergebnis

Der Faktor 1/2 ist wegen der inneren Ableitung 2 erforderlich.

Erklärung 05

Methode wählen und Grenzen erkennen

Prüfe zuerst: Lässt sich der Term ausmultiplizieren, kürzen oder als Summe schreiben? Passt eine Grundfunktion oder eine lineare innere Funktion?

Bei einem Produkt wie xex\mathsf{xe^x} hilft später die partielle Integration. Bei einer Verkettung mit passender innerer Ableitung wie 2xex2\mathsf{2xe^{x^2}} hilft die Substitution. Diese Methoden folgen als eigene Themen.

Für bestimmte Integrale wird eine passende Stammfunktion an den Grenzen ausgewertet. Die Voraussetzungen und die Bedeutung dieser Differenz erklärt der Hauptsatz.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Integrationsregeln auswählen und anwenden · EinstiegBestimme ∫(4x3−6x+2) dx\mathsf{\int(4x^3-6x+2)\,dx}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      F(x)=4x44−6x22+2x+C\mathsf{F(x)=4\frac{x^4}{4}-6\frac{x^2}{2}+2x+C}
      F(x)=x4−3x2+2x+C\mathsf{F(x)=x^4-3x^2+2x+C}

    Ergebnis

    1. Rechenweg und Ergebnisx4−3x2+2x+C\mathsf{x^4-3x^2+2x+C}.
  2. Aufgabe 2Integrationsregeln auswählen und anwenden · EinstiegIntegriere 5x−2\mathsf{5x^{-2}} auf (0,∞)\mathsf{(0,\infty)}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      F(x)=5x−1−1+C\mathsf{F(x)=5\frac{x^{-1}}{-1}+C}

    Ergebnis

    1. Rechenweg und ErgebnisF(x)=−5/x+C\mathsf{F(x)=-5/x+C}.
  3. Aufgabe 3Integrationsregeln auswählen und anwenden · StandardIntegriere 3x\mathsf{3\sqrt x} für x>0\mathsf{x>0}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      3x=3x1/2\mathsf{3\sqrt x=3x^{1/2}}
      F(x)=3x3/23/2+C\mathsf{F(x)=3\frac{x^{3/2}}{3/2}+C}

    Ergebnis

    1. Rechenweg und ErgebnisF(x)=2x3/2+C\mathsf{F(x)=2x^{3/2}+C}.
  4. Aufgabe 4Integrationsregeln auswählen und anwenden · StandardIntegriere 2/x\mathsf{2/x} auf (−∞,0)\mathsf{(-\infty,0)}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Der Exponent −1 verlangt die Logarithmusregel.

      F(x)=2ln⁡∣x∣+C\mathsf{F(x)=2\operatorname{\textsf{ln}}|x|+C}

    Ergebnis

    1. Rechenweg und ErgebnisF(x)=2ln⁡∣x∣+C\mathsf{F(x)=2\operatorname{\textsf{ln}}|x|+C}; hier ist ∣x∣=−x\mathsf{|x|=-x}.
  5. Aufgabe 5Integrationsregeln auswählen und anwenden · StandardBestimme ∫(3ex−2sin⁡x) dx\mathsf{\int(3e^x-2\operatorname{\textsf{sin}}x)\,dx}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      F(x)=3ex−2(−cos⁡x)+C\mathsf{F(x)=3e^x-2(-\operatorname{\textsf{cos}}x)+C}

    Ergebnis

    1. Rechenweg und ErgebnisF(x)=3ex+2cos⁡x+C\mathsf{F(x)=3e^x+2\operatorname{\textsf{cos}}x+C}.
  6. Aufgabe 6Integrationsregeln auswählen und anwenden · StandardBerechne ∫e3x+1 dx\mathsf{\int e^{3x+1}\,dx} und prüfe den Kettenfaktor.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      F(x)=13e3x+1+C\mathsf{F(x)=\frac13e^{3x+1}+C}
      F′(x)=13e3x+1⋅3\mathsf{F^{\prime}(x)=\frac13e^{3x+1}\cdot3}

    Ergebnis

    1. Rechenweg und ErgebnisF(x)=e3x+1/3+C\mathsf{F(x)=e^{3x+1}/3+C}.
  7. Aufgabe 7Integrationsregeln auswählen und anwenden · StandardBestimme ∫cos⁡(2x) dx\mathsf{\int\operatorname{\textsf{cos}}(2x)\,dx}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      F(x)=12sin⁡(2x)+C\mathsf{F(x)=\frac12\operatorname{\textsf{sin}}(2x)+C}
      F′(x)=12cos⁡(2x)⋅2\mathsf{F^{\prime}(x)=\frac12\operatorname{\textsf{cos}}(2x)\cdot2}

    Ergebnis

    1. Rechenweg und ErgebnisF(x)=sin⁡(2x)/2+C\mathsf{F(x)=\operatorname{\textsf{sin}}(2x)/2+C}.
  8. Aufgabe 8Integrationsregeln auswählen und anwenden · VertiefungIntegriere x(x+4)\mathsf{x(x+4)} durch Vereinfachen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      x(x+4)=x2+4x\mathsf{x(x+4)=x^2+4x}
      F(x)=x3/3+2x2+C\mathsf{F(x)=x^3/3+2x^2+C}

    Ergebnis

    1. Rechenweg und ErgebnisF(x)=x3/3+2x2+C\mathsf{F(x)=x^3/3+2x^2+C}.
  9. Aufgabe 9Integrationsregeln auswählen und anwenden · VertiefungFür f(x)=12x+3\mathsf{f(x)=\frac1{2x+3}}: Gib den Definitionsbereich und Stammfunktionen auf seinen Teilintervallen an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      2x+3≠0⇒x≠−3/2\mathsf{2x+3\ne0\Rightarrow x\ne-3/2}
      F(x)=12ln⁡∣2x+3∣+C\mathsf{F(x)=\frac12\operatorname{\textsf{ln}}|2x+3|+C}

    Ergebnis

    1. Rechenweg und ErgebnisD=R∖{−3/2}\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{-3/2\}}. Auf jedem Teilintervall gilt die angegebene Formel mit eigener Konstante.
  10. Aufgabe 10Integrationsregeln auswählen und anwenden · VertiefungWähle nur die Methode für a) x2+2x\mathsf{x^2+2x}, b) xex\mathsf{xe^x}, c) 2xex2\mathsf{2xe^{x^2}}. Begründe kurz.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      a) Eine Summe von Potenzen: gliedweise integrieren.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      b) Produkt ohne einfache Vereinfachung: partielle Integration.

    3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      c) Innere Funktion x2\mathsf{x^2} mit Ableitung 2x\mathsf{2x}: Substitution.

    Ergebnis

    1. Rechenweg und Ergebnisa) Potenz- und Summenregel; b) partielle Integration; c) Substitution. Die letzten beiden Methoden werden später vertieft.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich wähle die Integrationsregel passend zur Termstruktur.
  • Ich prüfe Stammfunktionen durch Ableiten und setze Grenzen vollständig ein.
  • Ich unterscheide Bilanz und Fläche und beachte Definitionslücken.

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