Rechnen mit Potenzen · Erklären & üben

Heron Verfahren

Das Heron-Verfahren nähert die positive Quadratwurzel einer positiven Zahl an. Dazu wird ein positiver Startwert wiederholt verbessert. Ein endlicher Rechenlauf liefert im Allgemeinen einen Näherungswert, nicht die exakte Darstellung einer irrationalen Wurzel.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Startwert und Rechteck

Gesucht ist die positive Quadratwurzel einer Zahl a größer als null. Wähle einen positiven Startwert x. Ein Rechteck mit den Seiten x und a geteilt durch x hat genau die Fläche a. Ein Quadrat derselben Fläche hätte auf beiden Seiten die gesuchte Wurzel. Der Mittelwert der beiden Rechteckseiten wird der nächste Näherungswert.

Wähle eine positive Zielzahl a und einen positiven Startwert.
Berechne die zweite Rechteckseite a geteilt durch x.
Bilde den Mittelwert der beiden Seiten.

$\mathsf{x_{n+1}=\frac{x_n+a/x_n}{2}}$ für $\mathsf{a>0}$ und $\mathsf{x_0>0}$

Das Rechteck hat Seiten 6 und 1,5 und Fläche 9. Das Zielquadrat hat Seiten 3 und 3 und dieselbe Fläche. Die Zeichnung verwendet für alle Längen denselben Maßstab.

So geht es am Beispiel

Führe für $\mathsf{a=9}$ und $\mathsf{x_0=6}$ einen Schritt aus.

Zweite Rechteckseite: $\mathsf{9:6=\frac{3}{2}}$

Summe der Seiten: $\mathsf{6+\frac{3}{2}=\frac{15}{2}}$

Mittelwert: $\mathsf{\frac{15}{2}:2=\frac{15}{4}}$

Erklärung 02

Schritte exakt oder mit Schutzstellen

Bei einer Iteration wird der neue Wert zum Ausgangspunkt des nächsten Schritts. Kleine Beispiele lassen sich mit Brüchen exakt berechnen. Bei Dezimalrechnung sollten mehrere zusätzliche Stellen erhalten bleiben. Runde erst das Endergebnis auf die verlangte Genauigkeit; ein gerundeter Zwischenwert wird mit einem Näherungszeichen gekennzeichnet.

Setze den aktuellen Wert in dieselbe Formel ein.
Berechne Quotient, Summe und Hälfte nacheinander.
Bewahre exakte Brüche oder ausreichend zusätzliche Stellen.

Ein Näherungswert darf nicht als exakte Wurzel ausgegeben werden.

Aus dem aktuellen Wert x wird zunächst a geteilt durch x berechnet. Der Mittelwert aus x und diesem Quotienten ist der neue Wert für den nächsten Schritt.

So geht es am Beispiel

Berechne für $\mathsf{a=2}$ aus $\mathsf{x_0=1}$ den ersten Schritt.

Quotient: $\mathsf{2:1=2}$

Summe: $\mathsf{1+2=3}$

Hälfte: $\mathsf{3:2=\frac{3}{2}}$

So geht es am Beispiel

Berechne den nächsten Schritt für $\mathsf{a=2}$ aus $\mathsf{x_1=\frac{3}{2}}$ .

Quotient: $\mathsf{2:\frac{3}{2}=\frac{4}{3}}$

Summe: $\mathsf{\frac{3}{2}+\frac{4}{3}=\frac{17}{6}}$

Hälfte: $\mathsf{\frac{17}{6}:2=\frac{17}{12}}$

So geht es am Beispiel

Berechne den dritten Schritt für $\mathsf{a=2}$ aus $\mathsf{x_2=\frac{17}{12}}$ .

Quotient: $\mathsf{2:\frac{17}{12}=\frac{24}{17}}$

Erweiterter erster Summand: $\mathsf{\frac{17}{12}=\frac{289}{204}}$

Erweiterter zweiter Summand: $\mathsf{\frac{24}{17}=\frac{288}{204}}$

Summe: $\mathsf{\frac{289}{204}+\frac{288}{204}=\frac{577}{204}}$

Hälfte: $\mathsf{\frac{577}{204}:2=\frac{577}{408}}$

Erklärung 03

Mit einer Schranke begründet abbrechen

Ein bloß unverändert aussehender Taschenrechnerwert ist kein sicherer Abbruchgrund. Für einen positiven Näherungswert u mit u² mindestens a liegt die Wurzel zwischen a geteilt durch u und u. Die Intervallbreite begrenzt den Fehler, wenn du u als Näherungswert verwendest. Lege die erlaubte Breite vorab fest. Für eine gerundete Ausgabe sollen beide Intervallgrenzen auf dieselbe Zielzahl runden.

Warum liegt die Wurzel im Intervall? Aus u² mindestens a folgt u mindestens Wurzel a. Dividieren von a durch den größeren positiven Wert u liefert höchstens Wurzel a.

Prüfe u positiv und u² mindestens a.
Berechne die untere Schranke a geteilt durch u.
Vergleiche Intervallbreite und gewünschte Genauigkeit.
Prüfe für die Rundung beide Intervallgrenzen.

$\mathsf{\frac{a}{u}\le\sqrt{a}\le u}$ für $\mathsf{u>0}$ und $\mathsf{u^2\ge a}$

Schematische Intervallzeichnung: a geteilt durch u ist eine untere und u eine obere Schranke für die positive Wurzel aus a, sofern u positiv und sein Quadrat mindestens a ist. Die Abstände sind nicht maßstäblich.

So geht es am Beispiel

Begründe für $\mathsf{a=2}$ und $\mathsf{u=\frac{577}{408}}$ den Abbruch bei einer Intervallbreite kleiner als 0,001 und runde die Wurzel auf drei Nachkommastellen.

Zählerquadrat: $\mathsf{577^2=332929}$

Nennerquadrat: $\mathsf{408^2=166464}$

Vergleich: $\mathsf{2\cdot166464=332928}$

Damit ist u² größer als 2; u ist eine obere Schranke.

Untere Schranke: $\mathsf{2:\frac{577}{408}=\frac{816}{577}}$

Intervallbreite: $\mathsf{\frac{577}{408}-\frac{816}{577}=\frac{1}{235416}}$

Diese Breite ist kleiner als $\mathsf{0{,}001}$

Die Grenzen sind ungefähr $\mathsf{1{,}414211438}$ und $\mathsf{1{,}414215686}$

Beide Grenzen runden auf drei Nachkommastellen zu 1,414.

Erklärung 04

Sonderfälle und Grenzen

Ist der aktuelle positive Wert bereits die exakte Wurzel, bleibt er beim nächsten Schritt unverändert. Für a gleich null ist die Wurzel direkt null; das Verfahren braucht man dafür nicht. Mit Startwert null darf die Iterationsformel nicht verwendet werden, weil sie durch den Startwert teilt. Negative Radikanden werden hier nicht behandelt, da sie keine reelle Quadratwurzel besitzen.

Weiterlernen: Die Wurzelrechnung behandelt exakte Wurzeln, Radikanden und weitere Rechenregeln.

Prüfe Zielzahl und Startwert vor der ersten Division.
Behandle die Wurzel aus null direkt.
Unterscheide eine exakte Wurzel von einer gerundeten Näherung.

Positive Zielzahl und positiver Startwert gehören zu diesem Verfahren.

Die Wurzel aus null ist direkt null. Der Startwert null darf nicht in der Iterationsformel verwendet werden, weil a geteilt durch x dann einen Nenner null hätte.

So geht es am Beispiel

Führe für $\mathsf{a=16}$ und $\mathsf{x_0=4}$ einen Schritt aus.

Quotient: $\mathsf{16:4=4}$

Summe: $\mathsf{4+4=8}$

Hälfte: $\mathsf{8:2=4}$

Die Probe $\mathsf{4^2=16}$ zeigt die exakte Wurzel.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Heron Verfahren · BasisFür den Radikanden 10 stehen die Startwerte 0, −2 und 3 zur Auswahl. Welcher ist für dieses Verfahren zulässig? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zulässiger Startwert
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Startwert muss positiv sein. 0 würde eine Division durch null auslösen; minus 2 erfüllt die positive Startbedingung nicht.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Zulässiger Startwert3
2. BegründungNur 3 ist positiv. Der Wert 0 darf nicht im Divisor stehen; minus 2 liegt außerhalb des hier festgelegten Verfahrens.
02
Aufgabe 2Heron Verfahren · BasisBerechne für $\mathsf{a=4}$ und $\mathsf{x_0=4}$ den Quotienten $\mathsf{a/x_0}$ und den neuen Wert $\mathsf{x_1}$ einzeln.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Quotient
Neuer Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Quotient: $\mathsf{4:4=1}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Summe: $\mathsf{4+1=5}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Mittelwert: $\mathsf{5:2=\frac{5}{2}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Quotient1
2. Neuer Wert $\mathsf{\frac{5}{2}}$
03
Aufgabe 3Heron Verfahren · BasisFühre für $\mathsf{a=4}$ mit $\mathsf{x_1=\frac{5}{2}}$ den nächsten Schritt aus.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Neuer Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Quotient: $\mathsf{4:\frac{5}{2}=\frac{8}{5}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Summe: $\mathsf{\frac{5}{2}+\frac{8}{5}=\frac{41}{10}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Mittelwert: $\mathsf{\frac{41}{10}:2=\frac{41}{20}}$
Ergebnis
1. Neuer Wert $\mathsf{\frac{41}{20}}$
04
Aufgabe 4Heron Verfahren · ÜbungBerechne für $\mathsf{a=5}$ und $\mathsf{x_0=2}$ den ersten Schritt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Neuer Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Quotient: $\mathsf{5:2=\frac{5}{2}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Summe: $\mathsf{2+\frac{5}{2}=\frac{9}{2}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Mittelwert: $\mathsf{\frac{9}{2}:2=\frac{9}{4}}$
Ergebnis
1. Neuer Wert $\mathsf{\frac{9}{4}}$
05
Aufgabe 5Heron Verfahren · ÜbungBerechne für $\mathsf{a=5}$ aus $\mathsf{x_1=\frac{9}{4}}$ den zweiten Schritt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Neuer Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Quotient: $\mathsf{5:\frac{9}{4}=\frac{20}{9}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Ersten Summanden erweitern: $\mathsf{\frac{9}{4}=\frac{81}{36}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Zweiten Summanden erweitern: $\mathsf{\frac{20}{9}=\frac{80}{36}}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Summe: $\mathsf{\frac{81}{36}+\frac{80}{36}=\frac{161}{36}}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  Mittelwert: $\mathsf{\frac{161}{36}:2=\frac{161}{72}}$
Ergebnis
1. Neuer Wert $\mathsf{\frac{161}{72}}$
06
Aufgabe 6Heron Verfahren · ÜbungFür $\mathsf{a=5}$ ist $\mathsf{u=\frac{9}{4}}$ eine obere Schranke. Berechne die untere Schranke und die Intervallbreite. Reicht das für eine geforderte Breite kleiner als 0,001? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Untere Schranke
Intervallbreite
Abbruch zulässig?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Untere Schranke: $\mathsf{5:\frac{9}{4}=\frac{20}{9}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Breite: $\mathsf{\frac{9}{4}-\frac{20}{9}=\frac{1}{36}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die Breite ist ungefähr $\mathsf{0{,}02778}$ und damit größer als $\mathsf{0{,}001}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Untere Schranke $\mathsf{\frac{20}{9}}$
2. Intervallbreite $\mathsf{\frac{1}{36}}$
3. Abbruch zulässig?Nein.
4. BegründungDie Intervallbreite ist größer als die festgelegte Grenze 0,001.
07
Aufgabe 7Heron Verfahren · TransferFür $\mathsf{a=5}$ ist $\mathsf{u=\frac{161}{72}}$ eine obere Schranke. Berechne die untere Schranke und die Intervallbreite. Entscheide, ob die Breite kleiner als 0,001 ist, und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Untere Schranke
Intervallbreite
Breite kleiner als 0,001?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Untere Schranke: $\mathsf{5:\frac{161}{72}=\frac{360}{161}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Gemeinsamer Nenner: $\mathsf{72\cdot161=11592}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Erster Zähler: $\mathsf{161\cdot161=25921}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Zweiter Zähler: $\mathsf{360\cdot72=25920}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  Zählerdifferenz: $\mathsf{25921-25920=1}$
6. Schritt 6 · Erklärung
  Breite: $\mathsf{\frac{1}{11592}<0{,}001}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Untere Schranke $\mathsf{\frac{360}{161}}$
2. Intervallbreite $\mathsf{\frac{1}{11592}}$
3. Breite kleiner als 0,001?Ja.
4. BegründungDer Nenner 11592 ist größer als 1000. Der positive Bruch ist daher kleiner als ein Tausendstel.
08
Aufgabe 8Heron Verfahren · TransferFür die Wurzel aus 5 ist bereits das sichere Intervall $\mathsf{2{,}2360<\sqrt{5}<2{,}2362}$ bekannt. Runde auf drei Nachkommastellen. Ist 2,236 die exakte Wurzel? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gerundete Wurzel
Ist dieser Wert exakt?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Beide Intervallgrenzen runden auf drei Nachkommastellen zu 2,236.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Quadratprobe ergibt $\mathsf{2{,}236^2=4{,}999696}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Dieser Wert ist nicht 5.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Gerundete Wurzel2,236
2. Ist dieser Wert exakt?Nein.
3. BegründungDas Quadrat von 2,236 ist 4,999696 und nicht 5. Der Wert ist eine gerundete Näherung.
09
Aufgabe 9Heron Verfahren · TransferBestimme $\mathsf{\sqrt{0}}$ direkt. Ist der Startwert $\mathsf{x_0=0}$ in der Heron-Formel zulässig? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wurzel aus null
Startwert null zulässig?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Es gilt $\mathsf{0^2=0}$ , also ist die Wurzel aus null direkt null.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Iterationsformel würde bei Startwert null durch null teilen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wurzel aus null0
2. Startwert null zulässig?Nein.
3. BegründungDer Ausdruck a geteilt durch x enthält bei x gleich null einen verbotenen Nenner. Für die Wurzel aus null ist keine Iteration nötig.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich wähle einen positiven Startwert bei positivem Radikanden.
Ich führe Quotient, Summe und Mittelwert in jedem Schritt aus.
Ich begründe den Abbruch mit einer vorgegebenen Schranke.
Ich kennzeichne Näherung und Rundung.

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