Rechnen mit Potenzen · Erklären & üben

Potenzen multiplizieren

Potenzen lassen sich wie andere definierte Zahlen multiplizieren. Eine passende Potenzregel kann die Rechnung verkürzen: Entweder stimmen die Basen oder die Exponenten überein. Ohne solches Muster kannst du die Potenzen einzeln ausrechnen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Gleiche Basis: Faktoren zählen

Bei positiven ganzen Exponenten zählt jede Hochzahl die Anzahl gleicher Faktoren. Beim Multiplizieren werden die Faktorenketten verbunden, also die Exponenten addiert. Für ganze Exponenten einschließlich null und negativer Werte gilt die Regel bei einer Basis ungleich null. Für allgemeine rationale Exponenten verwenden wir positive Basen.

Prüfe, ob die vollständigen Basen gleich sind.
Addiere die Exponenten einschließlich ihrer Vorzeichen.
Berechne die neue Potenz, falls verlangt.

$\mathsf{a^m\cdot a^n=a^{m+n}}$

Drei Faktoren 2 und zwei weitere Faktoren 2 bilden zusammen fünf Faktoren 2. Deshalb werden die Exponenten addiert.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{2^3\cdot2^2}$ .

Drei und zwei Faktoren 2 ergeben insgesamt $\mathsf{3+2=5}$ Faktoren.

Daher gilt $\mathsf{2^3\cdot2^2=2^5}$

Auswerten: $\mathsf{2^5=32}$

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{3^{-2}\cdot3^4}$ .

Die gemeinsame Basis 3 ist nicht null.

Exponenten addieren: $\mathsf{-2+4=2}$

Auswerten: $\mathsf{3^2=9}$

Erklärung 02

Gleicher Exponent: Basen zusammenfassen

Bei gleichem ganzzahligen Exponenten kannst du die Basen miteinander multiplizieren und den Exponenten beibehalten. Bei negativen Exponenten oder Exponent null müssen beide Basen ungleich null sein. Für allgemeine rationale Exponenten beschränken wir diese Regel auf positive Basen.

Prüfe gleiche Exponenten.
Multipliziere die vollständigen Basen.
Potenziere das Produkt mit dem gemeinsamen Exponenten.

$\mathsf{a^n\cdot b^n=(ab)^n}$

Drei Faktoren 2 und drei Faktoren 5 lassen sich zu drei Paarprodukten 2 mal 5 ordnen. So entsteht 10 hoch 3.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{2^3\cdot5^3}$ .

Gleicher Exponent 3: $\mathsf{2^3\cdot5^3=(2\cdot5)^3}$

Basenprodukt: $\mathsf{2\cdot5=10}$

Auswerten: $\mathsf{10^3=1000}$

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{4^{1/2}\cdot9^{1/2}}$ .

Beide Basen sind positiv; die Regel für den rationalen Exponenten ist hier zulässig.

Basenprodukt: $\mathsf{4\cdot9=36}$

Positive Quadratwurzel: $\mathsf{36^{1/2}=6}$

Erklärung 03

Zwei passende Regeln

Sind Basis und Exponent gleich, können beide Regeln zum Ziel führen. Sie ergeben gleichwertige Darstellungen. Bei negativen Basen gehören die Minuszeichen in Klammern. Ein vorangestelltes Minus ohne Klammern ist kein Teil der Potenzbasis.

Wähle eine der passenden Regeln.
Halte Klammern und Vorzeichen fest.
Vergleiche bei Bedarf mit der zweiten Regel.

Beim Multiplizieren gleicher Basen werden Exponenten addiert, nicht multipliziert.

Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert. Bei gleichem Exponenten werden die Basen multipliziert. Die jeweiligen Definitionsbedingungen bleiben erforderlich.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{(-2)^3\cdot(-2)^3}$ auf zwei Wegen.

Gleiche Basis: $\mathsf{3+3=6}$

Damit ergibt sich $\mathsf{(-2)^6=64}$

Gleicher Exponent: $\mathsf{(-2)\cdot(-2)=4}$

Damit ergibt sich $\mathsf{4^3=64}$

Erklärung 04

Auch ohne gemeinsames Muster rechnen

Verschiedene Basen und verschiedene Exponenten verhindern nicht die Multiplikation. Die beiden kurzen Regeln passen dann nur nicht unmittelbar. Rechne die definierten Potenzwerte aus oder forme sinnvoll um. Bei Summen gelten andere Regeln: Gleiche Basen rechtfertigen dort keine Exponentenaddition.

Weiterlernen: „Potenzen addieren“ erklärt das Zusammenfassen gleichartiger Potenzterme.

Prüfe zuerst, ob eine kurze Regel passt.
Falls nicht: Werte jede Potenz einzeln aus.
Multipliziere die Ergebnisse.

Nicht passende Potenzregel bedeutet nicht verbotene Multiplikation.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{2^3\cdot3^2}$ .

Erste Potenz: $\mathsf{2^3=8}$

Zweite Potenz: $\mathsf{3^2=9}$

Produkt: $\mathsf{8\cdot9=72}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Potenzen multiplizieren · BasisBerechne $\mathsf{2^2\cdot2^4}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Exponenten addieren: $\mathsf{2+4=6}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Potenz auswerten: $\mathsf{2^6=64}$
Ergebnis
1. Ergebnis64
02
Aufgabe 2Potenzen multiplizieren · BasisBerechne $\mathsf{5^{-1}\cdot5^3}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Basis 5 ist nicht null.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Exponenten addieren: $\mathsf{-1+3=2}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Potenz auswerten: $\mathsf{5^2=25}$
Ergebnis
1. Ergebnis25
03
Aufgabe 3Potenzen multiplizieren · BasisBerechne $\mathsf{2^4\cdot5^4}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Gleiche Exponenten erlauben $\mathsf{(2\cdot5)^4}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Basenprodukt: $\mathsf{2\cdot5=10}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Potenz auswerten: $\mathsf{10^4=10000}$
Ergebnis
1. Ergebnis10000
04
Aufgabe 4Potenzen multiplizieren · ÜbungBerechne $\mathsf{(-3)^2\cdot(-3)^3}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die vollständige Basis ist jeweils minus 3.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Exponenten addieren: $\mathsf{2+3=5}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Eine ungerade Anzahl negativer Faktoren ergibt $\mathsf{(-3)^5=-243}$
Ergebnis
1. Ergebnis−243
05
Aufgabe 5Potenzen multiplizieren · ÜbungBerechne $\mathsf{16^{1/2}\cdot25^{1/2}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Basen sind positiv.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Erste Quadratwurzel: $\mathsf{16^{1/2}=4}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Zweite Quadratwurzel: $\mathsf{25^{1/2}=5}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Produkt: $\mathsf{4\cdot5=20}$
Ergebnis
1. Ergebnis20
06
Aufgabe 6Potenzen multiplizieren · ÜbungBerechne $\mathsf{2^3\cdot3^3}$ und $\mathsf{2^3\cdot3^2}$ einzeln.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Produkt mit gleichen Exponenten
Produkt mit verschiedenen Exponenten
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erstes Basenprodukt: $\mathsf{2\cdot3=6}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Erstes Ergebnis: $\mathsf{6^3=216}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Für das zweite Produkt: $\mathsf{2^3=8}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Der andere Faktor ist $\mathsf{3^2=9}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  Zweites Ergebnis: $\mathsf{8\cdot9=72}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Produkt mit gleichen Exponenten216
2. Produkt mit verschiedenen Exponenten72
07
Aufgabe 7Potenzen multiplizieren · TransferVereinfache $\mathsf{x^{-3}\cdot x^5}$ und nenne die ursprüngliche Bedingung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Bedingung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der negative Exponent verlangt $\mathsf{x\ne0}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Exponenten addieren: $\mathsf{-3+5=2}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der ursprüngliche Ausschluss bleibt erhalten.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vereinfachter Term $\mathsf{x^2}$
2. Bedingung $\mathsf{x\ne0}$
08
Aufgabe 8Potenzen multiplizieren · TransferJemand schreibt $\mathsf{4^2\cdot4^3=4^6}$ . Ist das richtig? Gib die richtige einzelne Potenz an und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Richtige Potenz
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert: $\mathsf{2+3=5}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Faktorenketten haben zusammen fünf Faktoren 4.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. Richtige Potenz $\mathsf{4^5}$
3. BegründungBeim Multiplizieren gleicher Basen werden die Exponenten addiert. Das Multiplizieren der Exponenten gehört zum Potenzieren einer Potenz.
09
Aufgabe 9Potenzen multiplizieren · TransferBerechne $\mathsf{10^2+10^3}$ und $\mathsf{10^2\cdot10^3}$ einzeln. Erkläre den Unterschied.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Summe
Produkt
Erklärung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erste Potenz: $\mathsf{10^2=100}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zweite Potenz: $\mathsf{10^3=1000}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Summe: $\mathsf{100+1000=1100}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Für das Produkt die Exponenten addieren: $\mathsf{2+3=5}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  Produktwert: $\mathsf{10^5=100000}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Summe1100
2. Produkt100000
3. ErklärungDie Exponentenregel fasst gleiche Faktoren eines Produkts zusammen. Bei einer Summe werden stattdessen die Potenzwerte addiert.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich erkenne gleiche Basen und gleiche Exponenten.
Ich behalte Bedingungen bei negativen und rationalen Exponenten bei.
Ich kann auch ohne passendes Regelmuster multiplizieren.
Ich unterscheide Multiplikation von Addition.

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