Funktionen ableiten · Erklären & üben

Notwendige und hinreichende Bedingungen

Eine Bedingung kann nötig sein, ohne das Ziel schon zu sichern. Eine hinreichende Bedingung garantiert das Ziel. Diese Unterscheidung verhindert voreilige Schlussfolgerungen bei Extrempunkten.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Richtung der Aussage

Für eine Eigenschaft E heißt N notwendig, wenn aus E immer N folgt. Ohne N kann E nicht gelten. Aus N allein darfst du E noch nicht schließen.

H heißt hinreichend für E, wenn aus H immer E folgt. E kann aber auch auf andere Weise eintreten.

Eine Bedingung ist notwendig und hinreichend, wenn beide Richtungen gelten. Dann spricht man von einer äquivalenten Bedingung.

$\mathsf{E\Rightarrow N\qquad H\Rightarrow E\qquad E\Leftrightarrow B}$

So geht es am Beispiel

Ordne bei ganzen Zahlen die Aussagen „durch4 teilbar“ und „gerade“ ein.

Jede durch4 teilbare Zahl ist gerade.

Die Zahl6 ist gerade, aber nicht durch4 teilbar.

Erklärung 02

Notwendige Bedingung am inneren Extremum

Ist f in einer offenen Umgebung von x₀ differenzierbar und hat dort ein lokales Extremum, muss f′(x₀)=0 gelten. x₀ muss eine innere Stelle des Definitionsbereichs sein.

Diese Voraussetzung ist wesentlich: |x| hat bei0 ein Minimum, ist dort aber nicht differenzierbar. f(x)=x auf[0,1] hat ein Randminimum bei0, obwohl die Ableitung1 ist.

Eine Stelle mit f′(x₀)=0 heißt hier kritische Stelle. Sie ist erst ein Kandidat; ein Extremum ist noch nicht gesichert.

Erklärung 03

Hinreichender Zweitableitungstest

Sei f in einer offenen Umgebung von x₀ zweimal stetig differenzierbar. Wenn f′(x₀)=0 und f″(x₀)>0 gelten, liegt ein strenges lokales Minimum vor.

Unter denselben Voraussetzungen liefern f′(x₀)=0 und f″(x₀)<0 ein strenges lokales Maximum.

Die Bedingungen gehören zusammen. f″>0 ohne f′=0 reicht nicht. Wenn f″=0, entscheidet dieser Test nicht.

So geht es am Beispiel

Untersuche $\mathsf{f(x)=x^2+2}$ bei0.

$\mathsf{f^{\prime}(x)=2x}$ — erste Ableitung.

$\mathsf{f^{\prime}(0)=0}$ — kritische Stelle.

$\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=2}$ — zweite Ableitung.

$\mathsf{f^{\prime\prime}(0)>0}$ — hinreichendes Minimumkriterium.

$\mathsf{f(0)=2}$ — y-Koordinate.

Erklärung 04

Zwei Gegenbeispiele mit verschiedenen Aussagen

Bei f(x)=x³ ist f′(0)=0, aber links von0 ist f negativ und rechts positiv. Die Funktion steigt durch0 hindurch. Es liegt kein Extremum vor. Also ist f′=0 nicht hinreichend.

Bei g(x)=x⁴ liegt bei0 ein strenges Minimum vor, denn g(0)=0 und g(x)>0 für x≠0. Trotzdem gilt g″(0)=0. Eine von null verschiedene zweite Ableitung ist daher für ein Extremum nicht notwendig.

Ein Gegenbeispiel widerlegt eine allgemeine Behauptung. Mehrere passende Beispiele allein beweisen sie noch nicht.

Kubik- und Quartikgraph zeigen, warum stationär nicht hinreichend und f″ungleich0 nicht notwendig für ein Extremum ist.

Erklärung 05

Vorzeichenwechsel und genaue Formulierungen

Bei einer in einer Umgebung differenzierbaren Funktion ist ein Wechsel von f′ von negativ zu positiv an x₀ hinreichend für ein strenges lokales Minimum. Gemeint sind feste Vorzeichen in unmittelbar angrenzenden offenen Intervallen.

Ein Wechsel von positiv zu negativ ist entsprechend hinreichend für ein Maximum. Bleibt f′ auf beiden Seiten positiv, folgt daraus kein Extremum.

Unterscheide stets Bedingung, Ziel und Voraussetzungen. Die Gleichung f′=0 allein ist unter den genannten Annahmen nur ein Kandidatenfilter; sie ist keine äquivalente Beschreibung aller lokalen Extrema.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Notwendige und hinreichende Bedingungen · GrundlagenFür ganze Zahlen: Ist „durch6 teilbar“ notwendig, hinreichend oder beides für „durch3 teilbar“? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Ist n=6k, dann ist n=3(2k), also durch3 teilbar.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Zahl3 ist durch3, aber nicht durch6 teilbar.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungHinreichend, aber nicht notwendig.
02
Aufgabe 2Notwendige und hinreichende Bedingungen · GrundlagenFür ganze Zahlen: Ist „gerade“ notwendig, hinreichend oder beides für „durch8 teilbar“? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Jede durch8 teilbare Zahl ist gerade.
2. Schritt 2 · Erklärung
  2 ist gerade, aber nicht durch8 teilbar.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungNotwendig, aber nicht hinreichend.
03
Aufgabe 3Notwendige und hinreichende Bedingungen · GrundlagenOrdne für reelle x die Bedingung $\mathsf{x=0}$ zum Ziel $\mathsf{x^2=0}$ ein.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{x=0\Rightarrow x^2=0}$ — einsetzen.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{x^2=0\Rightarrow x=0}$ — eine reelle Zahl hat nur bei0 Quadrat0.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungNotwendig und hinreichend; äquivalent.
04
Aufgabe 4Notwendige und hinreichende Bedingungen · AnwendenPrüfe mit $\mathsf{f(x)=x^3}$ , ob f′(0)=0 bereits ein Extremum garantiert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2}$ — ableiten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(0)=0}$ — einsetzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Für x≠0 ist f′ positiv; es gibt keinen Vorzeichenwechsel.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Links von0 sind Funktionswerte kleiner als0, rechts größer.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisNein:0 ist kein Extremum von x³.
05
Aufgabe 5Notwendige und hinreichende Bedingungen · AnwendenZeige mit $\mathsf{f(x)=x^4}$ , dass f″(0)≠0 für ein Minimum nicht notwendig ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=4x^3}$ — erste Ableitung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=12x^2}$ — zweite Ableitung.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(0)=0}$ — einsetzen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(0)=0}$ — Wert an der Stelle.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(x)>0\quad(x\ne0)}$ — alle Nachbarwerte größer.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisStrenges Minimum trotz f″(0)=0.
06
Aufgabe 6Notwendige und hinreichende Bedingungen · AnwendenOrdne die kritische Stelle von $\mathsf{f(x)=-x^2+4x}$ ein. Nenne beide Bedingungen des Zweitableitungstests.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=-2x+4}$ — erste Ableitung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-2x+4=0}$ — kritische Stelle suchen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=2}$ — lösen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=-2}$ — zweite Ableitung.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(2)=0}$ — erste Bedingung.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(2)<0}$ — zweite Bedingung.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(2)=4}$ — y-Koordinate.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisStrenges lokales Maximum H(2|4).
07
Aufgabe 7Notwendige und hinreichende Bedingungen · AnwendenFür $\mathsf{f(x)=e^x}$ ist f″(0)>0. Warum folgt daraus kein Minimum bei0?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=e^x}$ — erste Ableitung.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{f^{\prime}(0)=1}$ — einsetzen.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die notwendige Bedingung f′(0)=0 fehlt.
Ergebnis
1. Antwort und Begründungf″>0 allein ist nicht hinreichend.
08
Aufgabe 8Notwendige und hinreichende Bedingungen · Vertiefenf′ ist auf(−1,0) negativ und auf(0,1) positiv. f ist auf(−1,1) differenzierbar. Was folgt bei0?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Links von0 fällt f streng, rechts steigt f streng.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Durch Differenzierbarkeit ist f bei0 stetig.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungBei0 liegt ein strenges lokales Minimum.
09
Aufgabe 9Notwendige und hinreichende Bedingungen · VertiefenZeichne x³ und x⁴ in die beiden vorbereiteten Systeme. Die markierten Punkte sind gegeben. Kennzeichne bei0 „kein Extremum“ oder „Minimum“ und erkläre den Unterschied.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{(-1)^3=-1,\quad0^3=0,\quad1^3=1}$ — gegebene Kubikpunkte.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{(-1)^4=1,\quad0^4=0,\quad1^4=1}$ — gegebene Quartikpunkte.
3. Schritt 3 · Erklärung
  x³ durchläuft bei0 negative und positive Werte.
4. Schritt 4 · Erklärung
  x⁴ hat bei0 den kleinsten Wert0.
Ergebnis
1. Antwort und Begründungx³: kein Extremum; x⁴: strenges Minimum.
10
Aufgabe 10Notwendige und hinreichende Bedingungen · Vertiefenf(x)=x auf[0,1] hat bei0 ein Minimum, aber f′=1. Widerspricht das der notwendigen Bedingung f′(x₀)=0? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  0 ist ein Randpunkt des betrachteten Bereichs.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das notwendige Kriterium setzt eine innere Extremstelle und Differenzierbarkeit in einer offenen Umgebung voraus.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungKein Widerspruch: Die Voraussetzung einer inneren Stelle fehlt.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich nenne den gültigen Definitionsbereich.
Ich trenne Rechnung und Schlussfolgerung.
Ich prüfe, ob die Voraussetzungen meines Kriteriums gelten.

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