Potenzen · Erklären & üben

Hoch 0

Eine von null verschiedene Basis hoch null hat den Wert 1. Das ist nicht dasselbe wie eine Nullbasis: Null hoch eine positive ganze Zahl ist null. Der Ausdruck null hoch null wird hier gesondert behandelt.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die Basis entscheidet

Die Regel a hoch null gleich 1 verlangt a ungleich null. Die Basis darf positiv, negativ, ein Bruch oder eine andere von null verschiedene reelle Zahl sein. Die Zahl 0 darfst du in diese Regel nicht einsetzen. Ein äußeres Minus gehört nicht zur Basis, wenn die nötigen Klammern fehlen.

Bestimme die vollständige Basis.
Prüfe, ob sie von null verschieden ist.
Ersetze die Potenz durch 1 und beachte äußere Rechenzeichen.

$\mathsf{a^0=1}$ für $\mathsf{a\ne0}$

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{12^0}$ und $\mathsf{(-7)^0}$ .

12 ist nicht null, daher gilt $\mathsf{12^0=1}$ .

Die geklammerte Basis minus 7 ist nicht null, daher gilt $\mathsf{(-7)^0=1}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{(\frac{2}{5})^0}$ .

Die Basis $\mathsf{\frac{2}{5}}$ ist definiert und nicht null.

Daher gilt $\mathsf{(\frac{2}{5})^0=1}$

Erklärung 02

Warum passt der Wert 1?

Beim Teilen einer nichtnull Potenz durch sich selbst erhältst du 1. Gleichzeitig soll die Quotientenregel den Exponentenunterschied beschreiben. Dieser Unterschied ist null. Der Wert 1 für Exponent null setzt die bekannten Potenzregeln daher konsistent fort. Eine weitere Sicht: In einer Potenzfolge teilst du bei jedem Schritt zu einem kleineren Exponenten durch die Basis.

Wähle eine von null verschiedene Basis.
Teile eine positive Potenz durch sich selbst.
Vergleiche mit dem Exponentenunterschied.

$\mathsf{a^n:a^n=1=a^{n-n}=a^0}$ für $\mathsf{a\ne0}$

Die Potenzfolge zur Basis 3 lautet bei Exponenten 2, 1 und 0: 9, 3, 1. Jeder Schritt zum kleineren Exponenten teilt durch 3.

So geht es am Beispiel

Erkläre $\mathsf{5^0}$ mithilfe von $\mathsf{5^3:5^3}$ .

Die positive Potenz ist $\mathsf{5^3=125}$

Ein nichtnull Wert geteilt durch sich selbst: $\mathsf{125:125=1}$

Der Exponentenunterschied ist $\mathsf{3-3=0}$

Daher passt $\mathsf{5^0=1}$ zur Quotientenregel.

So geht es am Beispiel

Setze die Potenzfolge zur Basis 3 von Exponent 2 bis Exponent 0 fort.

Start: $\mathsf{3^2=9}$

Ein Schritt abwärts: $\mathsf{9:3=3}$

Damit ist $\mathsf{3^1=3}$

Noch ein Schritt abwärts: $\mathsf{3:3=1}$

Damit ist $\mathsf{3^0=1}$

Erklärung 03

Ausdrücke als Basis

Bei einer zusammengesetzten Basis muss der gesamte Ausdruck von null verschieden sein. Für das Quadrat einer Differenz oder einen Bruch gelten außerdem die ursprünglichen Definitionsbedingungen. Die hoch-null-Regel darf diese Bedingungen nicht verdecken.

Bestimme, wann die Basis definiert ist.
Schließe zusätzlich die Nullwerte der Basis aus.
Wende erst dann die hoch-null-Regel an.

Auch ein Ergebnis 1 kann eine eingeschränkte Definitionsmenge haben.

Die Basis x geteilt durch x minus 1 verlangt x ungleich 1, damit der Bruch definiert ist. Zusätzlich muss x ungleich null gelten, damit die Basis nicht null ist. Unter beiden Bedingungen ergibt Exponent null den Wert 1.

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{(x-2)^0}$ mit Bedingung.

Die Basis darf nicht null sein: $\mathsf{x-2\ne0}$

Daraus folgt $\mathsf{x\ne2}$

Für diese Werte gilt $\mathsf{(x-2)^0=1}$

Erklärung 04

Null hoch null und andere Zahlen

Im hier behandelten elementaren Rechenkontext ist null hoch null nicht definiert. Die Quotientenbegründung lässt sich dafür nicht verwenden, weil sie durch null teilen würde. In manchen anderen Fachzusammenhängen wird für null hoch null ausdrücklich die Konvention 1 gewählt; das ist keine pauschale Regel für jede Situation.

Weiterlernen: Die Eulersche Zahl e ist eine positive, von null verschiedene Zahl. Daher gilt auch e hoch null gleich 1. Ihre weiteren Eigenschaften werden im Thema „Eulersche Zahl“ behandelt.

Unterscheide Nullbasis und Nullexponent.
Prüfe die verwendete Definition beziehungsweise Konvention.
Verwende keine Division durch null zur Begründung.

Die Bedingung einer Regel ist ein Teil der Regel.

Null hoch 4 ist null. 4 hoch null ist 1. Null hoch null ist im elementaren Rechenkontext dieses Themas nicht definiert; andere Fachkonventionen können 1 festlegen.

So geht es am Beispiel

Vergleiche $\mathsf{0^4}$ , $\mathsf{4^0}$ und $\mathsf{0^0}$ in diesem Rechenkontext.

Vier Nullfaktoren ergeben $\mathsf{0^4=0}$

Die nichtnull Basis 4 erlaubt $\mathsf{4^0=1}$

$\mathsf{0^0}$ ist hier nicht definiert.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Hoch 0 · BasisBerechne $\mathsf{9^0}$ und $\mathsf{(-4)^0}$ einzeln.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert von 9 hoch 0
Wert von geklammert minus 4 hoch 0
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Beide vollständigen Basen sind nicht null.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Daher gilt $\mathsf{9^0=1}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Ebenso gilt $\mathsf{(-4)^0=1}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wert von 9 hoch 01
2. Wert von geklammert minus 4 hoch 01
02
Aufgabe 2Hoch 0 · BasisBerechne $\mathsf{0{,}25^0}$ und $\mathsf{(\frac{7}{3})^0}$ einzeln.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert mit Basis 0,25
Wert mit Basis sieben Drittel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Beide Basen sind definiert und nicht null.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{0{,}25^0=1}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{(\frac{7}{3})^0=1}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wert mit Basis 0,251
2. Wert mit Basis sieben Drittel1
03
Aufgabe 3Hoch 0 · BasisBerechne $\mathsf{-6^0}$ und $\mathsf{(-6)^0}$ einzeln.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert mit äußerem Minus
Wert mit negativer Basis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Ohne Klammer zuerst $\mathsf{6^0=1}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das äußere Minus liefert $\mathsf{-6^0=-1}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Mit geklammerter nichtnull Basis gilt $\mathsf{(-6)^0=1}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wert mit äußerem Minus−1
2. Wert mit negativer Basis1
04
Aufgabe 4Hoch 0 · ÜbungBerechne $\mathsf{2\cdot5^0+3}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zuerst die Potenz: $\mathsf{5^0=1}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Dann multiplizieren: $\mathsf{2\cdot1=2}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Dann addieren: $\mathsf{2+3=5}$
Ergebnis
1. Ergebnis5
05
Aufgabe 5Hoch 0 · ÜbungVereinfache $\mathsf{(x+3)^0}$ und nenne die Bedingung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Potenzwert
Definitionsbedingung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Basis verlangt $\mathsf{x+3\ne0}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Daraus folgt $\mathsf{x\ne-3}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Für diese Werte ist die Potenz 1.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Potenzwert1
2. Definitionsbedingung $\mathsf{x\ne-3}$
06
Aufgabe 6Hoch 0 · ÜbungBestimme $\mathsf{0^5}$ , $\mathsf{5^0}$ und $\mathsf{0^0}$ im hier verwendeten Rechenkontext einzeln.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert von 0 hoch 5
Wert von 5 hoch 0
Einordnung von 0 hoch 0
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Positive Potenz der Null: $\mathsf{0^5=0}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Nichtnull Basis mit Exponent null: $\mathsf{5^0=1}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{0^0}$ ist hier nicht definiert.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wert von 0 hoch 50
2. Wert von 5 hoch 01
3. Einordnung von 0 hoch 0Nicht definiert.
07
Aufgabe 7Hoch 0 · TransferErkläre anhand der Potenzfolge zur Basis 2, warum nach 2 hoch 1 der Wert 1 für 2 hoch 0 folgt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erklärung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bei Exponent 1 gilt $\mathsf{2^1=2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Ein Schritt zu einem kleineren Exponenten teilt durch die Basis.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Daher folgt $\mathsf{2:2=1}$
Ergebnis
1. ErklärungBeim Verringern des Exponenten um 1 wird durch 2 geteilt. Aus dem Wert 2 wird daher 1.
08
Aufgabe 8Hoch 0 · TransferJemand begründet $\mathsf{0^0=1}$ mit $\mathsf{0^2:0^2}$ . Ist diese Begründung zulässig? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  In Zähler und Nenner steht $\mathsf{0^2=0}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Quotient wäre 0 geteilt durch 0. Diese Division ist nicht definiert.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. BegründungDie Begründung würde durch null teilen. Die Quotientenregel setzt eine von null verschiedene Basis voraus.
09
Aufgabe 9Hoch 0 · TransferVereinfache $\mathsf{(\frac{x}{x-1})^0}$ und nenne die beiden ausgeschlossenen Werte von x einzeln.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Potenzwert
Ausgeschlossener Wert wegen des Nenners
Ausgeschlossener Wert wegen der Nullbasis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Nenner verlangt $\mathsf{x\ne1}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Basis muss zusätzlich ungleich null sein; daher gilt $\mathsf{x\ne0}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Für alle übrigen reellen Werte ist die Potenz 1.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Potenzwert1
2. Ausgeschlossener Wert wegen des Nenners1
3. Ausgeschlossener Wert wegen der Nullbasis0

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe die vollständige Basis auf null.
Ich begründe den Wert 1 mit einer nichtnull Basis.
Ich halte Bedingungen bei zusammengesetzten Basen fest.
Ich unterscheide die drei Fälle Nullbasis, Nullexponent und null hoch null.

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