Potenzen · Erklären & üben

Negative Potenzen

Ein negativer Exponent verlangt einen Kehrwert. Er macht das Ergebnis nicht automatisch negativ. Entscheidend sind die Basis, die Klammern und die Anzahl der Faktoren in der zugehörigen positiven Potenz.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Vom Exponenten zum Kehrwert

Für eine Basis ungleich null und eine positive ganze Zahl n ist a hoch minus n der Kehrwert von a hoch n. Das erklärt auch, warum null keine negativen Exponenten zulässt: Der Kehrwert hätte Nenner null.

Prüfe die Basis auf null.
Schreibe den Exponenten positiv in den Nenner.
Berechne die positive Potenz.

$\mathsf{a^{-n}=\frac{1}{a^n}}$ für $\mathsf{a\ne0}$

2 hoch minus 3 ist der Kehrwert von 2 hoch 3, also ein Achtel. Das Ergebnis ist positiv, weil die Basis positiv ist.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{2^{-3}}$ .

Kehrwertregel: $\mathsf{2^{-3}=\frac{1}{2^3}}$

Erstes Nennerprodukt: $\mathsf{2\cdot2=4}$

Nächster Faktor: $\mathsf{4\cdot2=8}$

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{10^{-2}}$ als Dezimalzahl.

Kehrwertregel: $\mathsf{10^{-2}=\frac{1}{10^2}}$

Nenner: $\mathsf{10^2=100}$

Ein Hundertstel ist $\mathsf{\frac{1}{100}=0{,}01}$

Erklärung 02

Vorzeichen und Bruchbasen

Bei einer negativen Basis muss das Minus innerhalb der Klammern stehen. Ein gerader ganzzahliger Exponent führt bei nichtnull negativer Basis zu einem positiven Wert, ein ungerader zu einem negativen. Bei einer Bruchbasis wird für den Kehrwert der ganze Bruch umgedreht. Zähler und Nenner der Ausgangsbasis müssen dabei von null verschieden sein.

Halte die vollständige Basis in Klammern.
Bilde den Kehrwert der ganzen Basis.
Berechne Potenz und Vorzeichen.

$\mathsf{(\frac{a}{b})^{-n}=(\frac{b}{a})^n}$ für $\mathsf{a\ne0}$ , $\mathsf{b\ne0}$

Minus 2 hoch minus 2 ergibt ein Viertel. Minus 2 hoch minus 3 ergibt minus ein Achtel. In beiden Fällen ist die gesamte negative Basis geklammert.

Zwei Drittel hoch minus 2 wird durch Kehrwertbildung zu drei Halbe hoch 2. Nach dem Quadrieren von Zähler und Nenner entsteht neun Viertel.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{(-2)^{-3}}$ .

Kehrwertregel: $\mathsf{(-2)^{-3}=\frac{1}{(-2)^3}}$

Erstes Nennerprodukt: $\mathsf{(-2)\cdot(-2)=4}$

Dritter Faktor: $\mathsf{4\cdot(-2)=-8}$

Damit gilt $\mathsf{\frac{1}{-8}=-\frac{1}{8}}$

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{(\frac{2}{3})^{-2}}$ .

Den ganzen Bruch umdrehen: $\mathsf{(\frac{2}{3})^{-2}=(\frac{3}{2})^2}$

Zählerquadrat: $\mathsf{3^2=9}$

Nennerquadrat: $\mathsf{2^2=4}$

Erklärung 03

Mit negativen Exponenten rechnen

Für gleiche nichtnull Basen gelten die Potenzgesetze auch mit negativen ganzzahligen Exponenten. Bei Produkten werden die Exponenten addiert, bei Quotienten subtrahiert. Ein Minus vor einem negativen Exponenten führt beim Subtrahieren zu einem Plus. Beim Potenzieren einer Potenz werden die Exponenten multipliziert.

Prüfe gleiche und von null verschiedene Basis.
Wähle die Regel zur tatsächlichen Rechenart.
Rechne mit den Exponenten einschließlich ihrer Vorzeichen.

$\mathsf{a^m\cdot a^n=a^{m+n}}$ , $\mathsf{a^m:a^n=a^{m-n}}$ und $\mathsf{(a^m)^n=a^{mn}}$ für $\mathsf{a\ne0}$ und ganze m,n

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{5^{-2}\cdot5^4}$ .

Exponenten addieren: $\mathsf{-2+4=2}$

Damit ergibt sich $\mathsf{5^{-2}\cdot5^4=5^2}$

Potenzwert: $\mathsf{5^2=25}$

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{3^{-1}:3^{-3}}$ .

Exponenten subtrahieren: $\mathsf{-1-(-3)=2}$

Damit ergibt sich $\mathsf{3^{-1}:3^{-3}=3^2}$

Potenzwert: $\mathsf{3^2=9}$

Erklärung 04

Bedingungen bleiben sichtbar

Eine Formel mit negativem Exponenten ist nur auf ihrer Definitionsmenge verwendbar. Auch wenn beim Vereinfachen ein positiver Exponent übrig bleibt, wird eine ursprünglich ausgeschlossene Nullbasis nicht plötzlich erlaubt. Eine Summe lässt sich nicht durch bloßes Addieren der Exponenten vereinfachen.

Weiterlernen: „Potenzgesetze Aufgaben“ bietet weitere gemischte Anwendungen der Regeln.

Notiere ausgeschlossene Werte vor der Umformung.
Behalte sie bis zum Ergebnis bei.
Prüfe bei Summen zunächst die einzelnen Werte.

Umformen erweitert nicht automatisch die ursprüngliche Definitionsmenge.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Negative Potenzen · BasisBerechne $\mathsf{3^{-2}}$ als Bruch.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{3^{-2}=\frac{1}{3^2}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Nenner: $\mathsf{3^2=9}$
Ergebnis
1. Ergebnis $\mathsf{\frac{1}{9}}$
02
Aufgabe 2Negative Potenzen · BasisBerechne $\mathsf{10^{-4}}$ als Dezimalzahl.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Dezimalzahl
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{10^{-4}=\frac{1}{10000}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das ist $\mathsf{0{,}0001}$
Ergebnis
1. Dezimalzahl0,0001
03
Aufgabe 3Negative Potenzen · BasisBerechne $\mathsf{(-3)^{-2}}$ und $\mathsf{(-3)^{-3}}$ einzeln.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert mit Exponent minus 2
Wert mit Exponent minus 3
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Gerades Nennerquadrat: $\mathsf{(-3)^2=9}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Erster Kehrwert: $\mathsf{(-3)^{-2}=\frac{1}{9}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Ungerade Nennerpotenz: $\mathsf{9\cdot(-3)=-27}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Zweiter Kehrwert: $\mathsf{(-3)^{-3}=-\frac{1}{27}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wert mit Exponent minus 2 $\mathsf{\frac{1}{9}}$
2. Wert mit Exponent minus 3 $\mathsf{-\frac{1}{27}}$
04
Aufgabe 4Negative Potenzen · ÜbungBerechne $\mathsf{(\frac{3}{4})^{-2}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Kehrwertbasis: $\mathsf{(\frac{3}{4})^{-2}=(\frac{4}{3})^2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zähler: $\mathsf{4^2=16}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Nenner: $\mathsf{3^2=9}$
Ergebnis
1. Ergebnis $\mathsf{\frac{16}{9}}$
05
Aufgabe 5Negative Potenzen · ÜbungBerechne $\mathsf{2^{-3}\cdot2^5}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Exponenten: $\mathsf{-3+5=2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Potenzwert: $\mathsf{2^2=4}$
Ergebnis
1. Ergebnis4
06
Aufgabe 6Negative Potenzen · ÜbungBerechne $\mathsf{4^{-1}:4^{-3}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Exponenten: $\mathsf{-1-(-3)=2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Potenzwert: $\mathsf{4^2=16}$
Ergebnis
1. Ergebnis16
07
Aufgabe 7Negative Potenzen · TransferBerechne $\mathsf{(2^{-2})^3}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Exponenten multiplizieren: $\mathsf{(-2)\cdot3=-6}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Kehrwert: $\mathsf{2^{-6}=\frac{1}{2^6}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Nennerpotenz: $\mathsf{2^6=64}$
Ergebnis
1. Ergebnis $\mathsf{\frac{1}{64}}$
08
Aufgabe 8Negative Potenzen · TransferIst $\mathsf{5^{-2}=-25}$ richtig? Gib den korrekten Wert an und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Korrekter Wert
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Kehrwertregel: $\mathsf{5^{-2}=\frac{1}{5^2}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Nenner: $\mathsf{5^2=25}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Ein negativer Exponent bezeichnet einen Kehrwert, nicht das negative Quadrat.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. Korrekter Wert $\mathsf{\frac{1}{25}}$
3. BegründungDie positive Basis bleibt bei der Potenz positiv. Das Minus im Exponenten verlangt den Kehrwert.
09
Aufgabe 9Negative Potenzen · TransferVereinfache $\mathsf{x^{-2}\cdot x^5}$ und nenne die ursprüngliche Bedingung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Definitionsbedingung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der negative Exponent verlangt $\mathsf{x\ne0}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Exponenten addieren: $\mathsf{-2+5=3}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der ursprüngliche Ausschluss bleibt erhalten.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vereinfachter Term $\mathsf{x^3}$
2. Definitionsbedingung $\mathsf{x\ne0}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich bilde den Kehrwert einer ganzen Basis.
Ich unterscheide Exponentenminus und negatives Ergebnis.
Ich rechne mit negativen Exponenten nach der passenden Regel.
Ich behalte ausgeschlossene Nullbasen bei.

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