Polynome · Erklären & üben

Horner-Schema

Das Horner-Schema berechnet einen Polynomwert mit einer Folge aus Multiplikationen und Additionen. Dieselben Zahlen liefern den Quotienten und Rest bei der Division durch einen Linearfaktor x−a.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Koeffizienten lückenlos ordnen

Schreibe das Polynom in absteigenden Potenzen. Jede Potenz bis zum konstanten Glied erhält einen Platz. Eine fehlende Potenz wird durch den Koeffizienten 0 vertreten.

Beispiel: P(x) = 2x³−5x+3 hat die Koeffizientenfolge 2, 0, −5, 3. Ohne die 0 würde das Schema ein anderes Polynom auswerten.

Erklärung 02

Herunterholen, multiplizieren, addieren

Für den Wert P(a) übernimmst du zuerst den führenden Koeffizienten. Multipliziere das Zwischenergebnis mit a und addiere den nächsten Koeffizienten. Wiederhole dies bis zum konstanten Glied.

Der letzte Wert ist P(a). Der Ablauf entspricht der geklammerten Form $\mathsf{P(x)=((2x+0)x-5)x+3}$ im folgenden Beispiel.

Horner-Tabelle mit vollständiger Koeffizientenfolge 2, 0, minus 5, 3; Produktzeile 4, 8, 6 und Ergebniszeile 2, 4, 3, 9.

So geht es am Beispiel

Berechne P(2) für P(x) = 2x³−5x+3.

$\mathsf{b_0=2}$ — führenden Koeffizienten übernehmen.

$\mathsf{b_1=2\cdot2+0=4}$ — multiplizieren und nächsten Koeffizienten addieren.

\mathsf{b_2=4\cdot2-5=3}

\mathsf{b_3=3\cdot2+3=9}

\mathsf{P(2)=9}

$\mathsf{2\cdot2^3-5\cdot2+3=16-10+3=9}$ — direkte Probe.

Erklärung 03

Division durch x−a ablesen

Für die Division durch x−a verwendest du im Schema die Zahl a. Die unteren Zahlen bis auf die letzte sind die Koeffizienten des Quotienten Q in absteigenden Potenzen. Die letzte Zahl ist der Rest r.

Es gilt die Polynomidentität $\mathsf{P(x)=(x-a)Q(x)+r}$ . Daher ist r = P(a). Der Quotient hat bei einem Polynom vom Grad n ≥ 1 den Grad n−1.

So geht es am Beispiel

Dividiere P(x) = 2x³−5x+3 durch x−2.

Das Horner-Schema mit a = 2 liefert unten 2, 4, 3, 9.

\mathsf{Q(x)=2x^2+4x+3}

\mathsf{r=9}

\mathsf{P(x)=(x-2)(2x^2+4x+3)+9}

\mathsf{=2x^3+4x^2+3x-4x^2-8x-6+9}

$\mathsf{=2x^3-5x+3}$ — vollständige Divisionsprobe.

Erklärung 04

Nullstelle und Vorzeichen richtig lesen

Ist der Rest 0, dann ist a eine Nullstelle und x−a ein Faktor. Bei einem Divisor x+2 lautet die eingesetzte Zahl a = −2, denn x+2 = x−(−2).

Ein Rest ungleich 0 ist kein Rechenfehler an sich: Der Divisor muss kein Faktor des Polynoms sein.

Horner-Tabelle für die Division durch x plus 2: a ist minus 2, Quotient x-Quadrat minus 1, Rest 0.

So geht es am Beispiel

Dividiere P(x) = x³+2x²−x−2 durch x+2.

\mathsf{a=-2}

\mathsf{b_0=1}

\mathsf{b_1=1\cdot(-2)+2=0}

\mathsf{b_2=0\cdot(-2)-1=-1}

\mathsf{b_3=(-1)\cdot(-2)-2=0}

\mathsf{Q(x)=x^2-1}

\mathsf{P(x)=(x+2)(x^2-1)}

Erklärung 05

Grenzen des hier verwendeten Schemas

Dieses Schema ist unmittelbar für Divisoren x−a mit führendem Koeffizienten 1 gedacht. Bei 2x−4 muss zunächst 2(x−2) berücksichtigt werden; der Quotient aus der Division durch x−2 wäre entsprechend noch durch 2 zu teilen.

Die Divisionsidentität gilt für alle reellen x. Eine daraus geschriebene Bruchgleichung gilt nur dort, wo der ursprüngliche Nenner nicht 0 ist.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Horner-Schema · EinstiegBerechne P(3) mit Horner für P(x) = x²−2x+4 und prüfe direkt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{b_0=1}$
  $\mathsf{b_1=1\cdot3-2=1}$
  $\mathsf{b_2=1\cdot3+4=7}$
  $\mathsf{P(3)=7}$
  $\mathsf{3^2-2\cdot3+4=7}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{P(3)=7}$
02
Aufgabe 2Horner-Schema · EinstiegBerechne P(−1) für P(x) = 2x³+x²−4 mit Horner.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Koeffizientenfolge: 2, 1, 0, −4.
  $\mathsf{b_0=2}$
  $\mathsf{b_1=2(-1)+1=-1}$
  $\mathsf{b_2=(-1)(-1)+0=1}$
  $\mathsf{b_3=1(-1)-4=-5}$
  $\mathsf{2(-1)^3+(-1)^2-4=-5}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{P(-1)=-5}$
03
Aufgabe 3Horner-Schema · StandardDividiere P(x) = x³−3x²+2x durch x−1. Gib Quotient und Rest an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Koeffizienten: 1, −3, 2, 0; a = 1.
  $\mathsf{b_0=1}$
  $\mathsf{b_1=1-3=-2}$
  $\mathsf{b_2=-2+2=0}$
  $\mathsf{b_3=0+0=0}$
  $\mathsf{Q(x)=x^2-2x}$
  $\mathsf{r=0}$
  $\mathsf{(x-1)(x^2-2x)=x^3-3x^2+2x}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisQ(x) = x²−2x, Rest 0.
04
Aufgabe 4Horner-Schema · StandardDividiere P(x) = x³+1 durch x+1.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Koeffizienten: 1, 0, 0, 1; a = −1.
  $\mathsf{b_0=1}$
  $\mathsf{b_1=1(-1)+0=-1}$
  $\mathsf{b_2=(-1)(-1)+0=1}$
  $\mathsf{b_3=1(-1)+1=0}$
  $\mathsf{Q(x)=x^2-x+1}$
  $\mathsf{(x+1)(x^2-x+1)=x^3+1}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisQuotient x²−x+1, Rest 0.
05
Aufgabe 5Horner-Schema · StandardDividiere P(x) = x²+2x+5 durch x−2. Prüfe die Identität.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{b_0=1}$
  $\mathsf{b_1=1\cdot2+2=4}$
  $\mathsf{b_2=4\cdot2+5=13}$
  $\mathsf{Q(x)=x+4,\quad r=13}$
  $\mathsf{(x-2)(x+4)+13=x^2+2x-8+13}$
  $\mathsf{=x^2+2x+5}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisQuotient x+4, Rest 13.
06
Aufgabe 6Horner-Schema · StandardJemand verwendet für x⁴−3x+2 die Folge 1, −3, 2. Korrigiere die Folge und erkläre den Fehler.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Potenzen x³ und x² fehlen und benötigen jeweils eine 0.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Folge 1, −3, 2 würde das Polynom x²−3x+2 beschreiben.
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisRichtige Folge: 1, 0, 0, −3, 2.
07
Aufgabe 7Horner-Schema · StandardPrüfe mit Horner, ob 2 eine Nullstelle von P(x) = x³−4x²+x+6 ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{b_0=1}$
  $\mathsf{b_1=1\cdot2-4=-2}$
  $\mathsf{b_2=(-2)\cdot2+1=-3}$
  $\mathsf{b_3=(-3)\cdot2+6=0}$
  $\mathsf{P(x)=(x-2)(x^2-2x-3)}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisJa, der Rest ist 0. Quotient x²−2x−3.
08
Aufgabe 8Horner-Schema · VertiefungBerechne P(0) für P(x) = 3x³−2x²+7x−5 mit Horner. Was liest man allgemein bei a = 0 ab?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{b_0=3}$
  $\mathsf{b_1=3\cdot0-2=-2}$
  $\mathsf{b_2=(-2)\cdot0+7=7}$
  $\mathsf{b_3=7\cdot0-5=-5}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisP(0) = −5. Allgemein ist P(0) das konstante Glied.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich notiere alle Potenzen bis zum konstanten Glied.
Ich verwende bei x−a die richtige Zahl a.
Ich trenne Quotientenkoeffizienten und Rest.
Ich prüfe P = Divisor mal Quotient plus Rest.

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