Polynome · Erklären & üben

Koeffizientenvergleich

Zwei Polynome sind genau dann identisch, wenn ihre Koeffizienten bei jeder gleichen Potenz übereinstimmen. So lassen sich unbekannte Parameter über ein Gleichungssystem bestimmen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Identität bedeutet Gleichheit für alle x

Eine Polynomidentität gilt für alle reellen x. Nach dem Ausmultiplizieren und Zusammenfassen müssen die Koeffizienten von xⁿ, xⁿ⁻¹ und so weiter bis zur Konstanten übereinstimmen.

Eine Gleichung, die nur für einzelne x gelöst werden soll, ist etwas anderes. Aus x² = x an den Lösungen 0 und 1 folgt nicht, dass die Koeffizienten identisch sind.

Koeffiziententabelle verdeutlicht den fehlenden linearen Term bei 3x-Quadrat minus 5: sein Koeffizient ist 0.

Erklärung 02

Ausmultiplizieren und gleiche Potenzen ordnen

Bevor du vergleichst, löst du Klammern auf und fasst gleiche Potenzen zusammen. Eine fehlende Potenz besitzt den Koeffizienten 0.

Behandle die Parameter als unbekannte Zahlen. x ist bei der Identität keine zu bestimmende einzelne Lösung.

Koeffiziententabelle mit Spalten x-Quadrat, x und Konstante; links a, 2a plus b, a plus c; rechts 2, 7, 4.

So geht es am Beispiel

Bestimme a, b und c so, dass a(x+1)²+bx+c identisch mit 2x²+7x+4 ist.

\mathsf{a(x+1)^2+bx+c=ax^2+(2a+b)x+(a+c)}

$\mathsf{a=2}$ — Koeffizient von x².

$\mathsf{2a+b=7}$ — Koeffizient von x.

$\mathsf{a+c=4}$ — konstantes Glied.

\mathsf{4+b=7}

\mathsf{b=3}

\mathsf{2+c=4}

\mathsf{c=2}

Erklärung 03

Die vollständige Identität prüfen

Setze die bestimmten Parameter in den ganzen Ausgangsausdruck ein und forme ihn zum Zielpolynom um. Ein einzelner Testwert kann einen Fehler aufdecken, beweist aber keine allgemeine Identität.

So geht es am Beispiel

Prüfe das Ergebnis a = 2, b = 3, c = 2 aus dem Beispiel.

\mathsf{2(x+1)^2+3x+2}

\mathsf{=2(x^2+2x+1)+3x+2}

\mathsf{=2x^2+4x+2+3x+2}

\mathsf{=2x^2+7x+4}

Erklärung 04

Quotient und Rest über Koeffizienten finden

Für eine Division kannst du eine passende Form des Quotienten ansetzen. Bei einem Polynom dritten Grades und einem linearen Divisor ist der Quotient quadratisch; der Rest ist konstant.

So geht es am Beispiel

Bestimme A, B, C und r in x³+2x²−x+4 = (x−1)(Ax²+Bx+C)+r.

\mathsf{(x-1)(Ax^2+Bx+C)+r=Ax^3+(B-A)x^2+(C-B)x+(r-C)}

\mathsf{A=1}

\mathsf{B-A=2}

\mathsf{B=3}

\mathsf{C-B=-1}

\mathsf{C=2}

\mathsf{r-C=4}

\mathsf{r=6}

\mathsf{(x-1)(x^2+3x+2)+6=x^3+2x^2-x+4}

Erklärung 05

Widerspruch oder mehrere Möglichkeiten

Nicht jede Parameteraufgabe hat eine Lösung. Stimmen die Bedingungen nicht zusammen, ist die geforderte Identität unmöglich.

Bei zu wenigen unabhängigen Bedingungen können mehrere Parameterwerte passen. Vergleiche alle Potenzen und prüfe, ob das Gleichungssystem wirklich eindeutig ist.

So geht es am Beispiel

Kann a(x+1) identisch mit 2x+3 sein?

\mathsf{a(x+1)=ax+a}

$\mathsf{a=2}$ — x-Koeffizient.

$\mathsf{a=3}$ — Konstante.

Diese beiden Bedingungen widersprechen sich.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Koeffizientenvergleich · EinstiegBestimme a und b in ax+b = 4x−7 als Identität.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a=4}$ — x-Koeffizient.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{b=-7}$ — Konstante.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{ax+b=4x-7}$ — Einsetzen.
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{a=4,\quad b=-7}$
02
Aufgabe 2Koeffizientenvergleich · EinstiegBestimme a, b, c in ax²+bx+c = 3x²−5.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a=3}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{b=0}$ — fehlender linearer Term.
  $\mathsf{c=-5}$
  $\mathsf{3x^2+0x-5=3x^2-5}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{a=3,\quad b=0,\quad c=-5}$
03
Aufgabe 3Koeffizientenvergleich · StandardBestimme a und b so, dass a(x−2)+b = 3x+1 für alle x gilt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a(x-2)+b=ax+(b-2a)}$
  $\mathsf{a=3}$
  $\mathsf{b-2a=1}$
  $\mathsf{b-6=1}$
  $\mathsf{b=7}$
  $\mathsf{3(x-2)+7=3x+1}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{a=3,\quad b=7}$
04
Aufgabe 4Koeffizientenvergleich · StandardBestimme a, b, c in a(x−1)²+bx+c = 2x²+x−3.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a(x-1)^2+bx+c=ax^2+(b-2a)x+(a+c)}$
  $\mathsf{a=2}$
  $\mathsf{b-2a=1}$
  $\mathsf{b=5}$
  $\mathsf{a+c=-3}$
  $\mathsf{c=-5}$
  $\mathsf{2(x-1)^2+5x-5=2x^2-4x+2+5x-5}$
  $\mathsf{=2x^2+x-3}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{a=2,\quad b=5,\quad c=-5}$
05
Aufgabe 5Koeffizientenvergleich · StandardBestimme p und q so, dass (x+2)(x+p) = x²+5x+q identisch gilt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(x+2)(x+p)=x^2+(p+2)x+2p}$
  $\mathsf{p+2=5}$
  $\mathsf{p=3}$
  $\mathsf{q=2p=6}$
  $\mathsf{(x+2)(x+3)=x^2+5x+6}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{p=3,\quad q=6}$
06
Aufgabe 6Koeffizientenvergleich · StandardBestimme A, B und r in x²+3x+5 = (x−1)(Ax+B)+r.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(x-1)(Ax+B)+r=Ax^2+(B-A)x+(r-B)}$
  $\mathsf{A=1}$
  $\mathsf{B-A=3}$
  $\mathsf{B=4}$
  $\mathsf{r-B=5}$
  $\mathsf{r=9}$
  $\mathsf{(x-1)(x+4)+9=x^2+3x+5}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{A=1,\quad B=4,\quad r=9}$
07
Aufgabe 7Koeffizientenvergleich · StandardKann a(x+2) für einen Wert a identisch gleich 2x+5 sein?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a(x+2)=ax+2a}$
  $\mathsf{a=2}$
  $\mathsf{2a=5}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Aus a = 2 folgt 2a = 4, nicht 5.
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisKeine Lösung; die Koeffizientenbedingungen widersprechen sich.
08
Aufgabe 8Koeffizientenvergleich · VertiefungEine Person prüft x² = x bei x = 0 und behauptet eine Identität. Widerlege und erkläre den Unterschied.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{0^2=0}$ — einzelne Gleichheit.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2^2=4 e2}$ — Gegenbeispiel.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Der x²-Koeffizient ist links 1, rechts 0. Die Polynome sind nicht identisch.
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisDie Gleichung gilt nur für x = 0 und x = 1, nicht für alle x.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Identität und einzelne Gleichungslösungen.
Ich multipliziere aus und ordne alle Potenzen.
Ich schreibe auch fehlende Koeffizienten als 0.
Ich prüfe die vollständige Identität nach dem Einsetzen.

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