Dreieck Aufbau · Erklären & üben

Hypotenuse berechnen

Die Hypotenuse liegt gegenüber dem rechten Winkel. Welche Rechnung passt, hängt davon ab, ob zwei Katheten oder eine Kathete und ein spitzer Winkel bekannt sind.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die längste Seite richtig erkennen

Nur ein rechtwinkliges Dreieck besitzt eine Hypotenuse. Liegt der rechte Winkel bei C, ist AB die Hypotenuse c. Gegenüber α bei A liegt die Kathete a; die an α liegende Kathete heißt b.

Markiere den rechten Winkel.
Benenne die gegenüberliegende Seite.

c ist länger als jede einzelne Kathete.

C rechtwinklig, α bei A; Gegenkathete a, Ankathete b, Hypotenuse c.

Erklärung 02

Zwei Katheten sind bekannt

Mit zwei Katheten verwendest du den Satz des Pythagoras. Addiere ihre Quadrate und ziehe anschließend die Wurzel. Addiere nicht einfach die beiden Längen.

Bringe die Längen auf dieselbe Einheit.
Quadriere und addiere.
Ziehe die positive Wurzel.

$\mathsf{c=\sqrt{a^2+b^2}}$

So geht es am Beispiel

Die Katheten sind 7 cm und 24 cm lang. Berechne c.

\mathsf{c^2=7^2+24^2=49+576=625\,\mathsf{cm}^2}

\mathsf{c=25\,\mathsf{cm}}

Erklärung 03

Gegenkathete und Winkel sind bekannt

Voraussetzung: Sinus im rechtwinkligen Dreieck. Für einen spitzen Winkel α ist der Sinus das Verhältnis Gegenkathete zu Hypotenuse. Stelle nach c um. Bei Winkelangaben in Grad braucht der Taschenrechner den Gradmodus.

Ordne die bekannte Kathete dem Winkel zu.
Teile die Gegenkathete durch den Sinus.

$\mathsf{\sin\alpha=\frac{a}{c}\Rightarrow c=\frac{a}{\sin\alpha}}$

Maßhaltiges 30-60-90-Dreieck: a 6, b 6Wurzel 3, c 12.

So geht es am Beispiel

α = 30° und die Gegenkathete a = 6 cm. Berechne c.

\mathsf{\sin30^\circ=0{,}5}

\mathsf{c=\frac{6}{0{,}5}=12\,\mathsf{cm}}

Erklärung 04

Ankathete und Winkel sind bekannt

Mit der Ankathete verwendest du den Kosinus. Auch hier teilst du durch den Funktionswert. Für einen spitzen Winkel liegen Sinus und Kosinus zwischen 0 und 1; die Hypotenuse wird daher größer als die eingesetzte Kathete.

Identifiziere die anliegende Kathete.
Teile durch den Kosinus des Winkels.

$\mathsf{\cos\alpha=\frac{b}{c}\Rightarrow c=\frac{b}{\cos\alpha}}$

So geht es am Beispiel

α = 60° und b = 9 cm. Berechne c.

\mathsf{\cos60^\circ=0{,}5}

\mathsf{c=\frac{9}{0{,}5}=18\,\mathsf{cm}}

Erklärung 05

Welche Angaben reichen?

Zwei Katheten reichen. Eine Kathete und ein spitzer Winkel reichen ebenfalls. Ein Winkel allein bestimmt nur die Form, nicht die Größe. Tangens verbindet die beiden Katheten; die Hypotenuse kommt darin nicht direkt vor. Das Anschlussthema Tangens hilft, aus einer Kathete die andere zu berechnen.

Zähle bekannte Längen und Winkel.
Wähle die Rechnung, die direkt zur gesuchten Seite führt.

$\mathsf{\tan\alpha=\frac{a}{b}}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Hypotenuse berechnen · AnwendenIm Dreieck KLM liegt der rechte Winkel bei L. Welche Seite ist die Hypotenuse?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Hypotenuse
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Gegenseite von L verbindet K und M.
Ergebnis
1. HypotenuseKM
02
Aufgabe 2Hypotenuse berechnen · AnwendenDie Katheten messen 9 cm und 12 cm. Berechne die Hypotenuse.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Hypotenuse
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{c=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Hypotenuse15 cm
03
Aufgabe 3Hypotenuse berechnen · AnwendenEin spitzer Winkel beträgt 30°. Seine Gegenkathete ist 5 cm lang. Berechne die Hypotenuse.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Hypotenuse
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{c=\frac{5}{\sin30^\circ}=\frac{5}{0{,}5}=10\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Hypotenuse10 cm
04
Aufgabe 4Hypotenuse berechnen · AnwendenEin spitzer Winkel beträgt 60°. Seine Ankathete ist 7 cm lang. Berechne die Hypotenuse.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Hypotenuse
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{c=\frac{7}{\cos60^\circ}=\frac{7}{0{,}5}=14\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Hypotenuse14 cm
05
Aufgabe 5Hypotenuse berechnen · AnwendenMarkiere in der Vorlage die Gegenkathete a, die Ankathete b und die Hypotenuse c bezüglich α. Ergänze die Formel für c, wenn a und α bekannt sind.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Seitenmarkierung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Seitenmarkierung
Hypotenusenformel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  a liegt gegenüber A; b berührt A und ist Kathete.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Aus sin α = a/c folgt die gesuchte Gleichung.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Seitenmarkierunga an BC, b an CA, c an AB.
2. Hypotenusenformel $\mathsf{c=\frac{a}{\sin\alpha}}$
06
Aufgabe 6Hypotenuse berechnen · AnwendenGegeben ist nur α = 30° in einem rechtwinkligen Dreieck. Ist c eindeutig bestimmt? Begründe mit zwei möglichen Größen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Ähnliche Dreiecke können verschieden groß sein.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Bei Gegenkathete 1 cm ist c = 2 cm; bei Gegenkathete 2 cm ist c = 4 cm.
Ergebnis
1. BegründungNein. Zum selben Winkel passen beispielsweise Hypotenusen 2 cm und 4 cm; eine Längenangabe fehlt.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

AT Academy · Version 2026-10-21