Dreieck Aufbau · Erklären & üben

Höhensatz

Der Höhensatz verbindet die Höhe auf die Hypotenuse mit den beiden entstehenden Abschnitten. Er hilft auch beim Prüfen eines rechten Winkels und bei flächengleichen Konstruktionen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die Höhe muss auf der Hypotenuse stehen

C ist der rechte Winkel. CD steht senkrecht auf AB; D liegt zwischen A und B. Die Abschnitte heißen p = AD und q = DB, die Höhe h = CD. Der Höhensatz gilt für genau diese Anordnung.

Prüfe den rechten Winkel bei C.
Finde den Lotfuß D.
Lies p und q auf der Hypotenuse ab.

$\mathsf{h^2=pq}$

Rechtwinkliges Dreieck und senkrechte Höhe mit p,q,h.

Erklärung 02

Höhe oder Abschnitt berechnen

Für eine Länge wird die positive Wurzel genommen. Ist ein Abschnitt gesucht, teile das Höhenquadrat durch den anderen Abschnitt.

Quadriere oder multipliziere zuerst.
Ziehe die Wurzel erst am Ende.

$\mathsf{h=\sqrt{pq},\qquad q=\frac{h^2}{p}}$

So geht es am Beispiel

p = 2 cm und q = 8 cm. Berechne h.

\mathsf{h^2=2\cdot8=16\,\mathsf{cm}^2}

\mathsf{h=4\,\mathsf{cm}}

Erklärung 03

Einen rechten Winkel prüfen

Die Umkehrung braucht dieselbe Anordnung: D liegt innen auf AB und CD ist das Lot. Wenn die positive Höhe und die Abschnitte die Gleichung h² = pq erfüllen, ist der Winkel ACB recht. Denn nach Pythagoras in ADC und CDB ergeben die beiden Kathetenquadrate zusammen AB².

Prüfe Lot und inneren Lotfuß.
Vergleiche h² und pq.
Nutze nur bei Gleichheit die Umkehrung.

$\mathsf{AC^2+BC^2=p^2+2h^2+q^2=(p+q)^2}$

So geht es am Beispiel

D liegt innen auf AB, CD steht senkrecht auf AB. AD = 1 cm, DB = 9 cm, CD = 3 cm. Ist ACB recht?

\mathsf{h^2=3^2=9\,\mathsf{cm}^2}

\mathsf{pq=1\cdot9=9\,\mathsf{cm}^2}

Erklärung 04

Quadrat und Rechteck vergleichen

Das Quadrat über h hat dieselbe Fläche wie das Rechteck mit Seiten p und q. Das heißt nicht, dass die Seitenlängen gleich sind. Die Höhe ist das geometrische Mittel der beiden Abschnitte.

Vergleiche Flächenprodukte.
Unterscheide Längen von Quadrateinheiten.

$\mathsf{h\cdot h=p\cdot q}$

Maßhaltiges Rechteck 4x 9 und Quadrat 6x 6.

Erklärung 05

Ein flächengleiches Quadrat konstruieren

Für ein Rechteck mit Seiten p und q legst du beide Strecken hintereinander als AB aus. D ist ihre gemeinsame Grenze. Zeichne den Halbkreis über AB und das Lot in D. Sein Schnittpunkt C mit dem Halbkreis bildet nach Thales den rechten Winkel ACB. Die Länge CD ist die gesuchte Quadratseite.

Trage AD = p und DB = q ab.
Zeichne Halbkreis und Lot in D.
Übertrage CD als Quadratseite.

$\mathsf{|CD|=\sqrt{pq}}$

So geht es am Beispiel

Wandle ein Rechteck 4 mal 9 cm in ein flächengleiches Quadrat um.

\mathsf{AB=4+9=13\,\mathsf{cm}}

\mathsf{CD=\sqrt{4\cdot9}=6\,\mathsf{cm}}

Erklärung 06

Höhe und Kathete auseinanderhalten

Im Thema Kathetensatz wird eine Kathete mit ihrer Projektion und der gesamten Hypotenuse verbunden. Der Höhensatz verwendet dagegen nur die beiden Abschnitte.

Markiere zuerst die gesuchte Strecke.
Wähle dann die passende Gleichung.

$\mathsf{h^2=pq,\qquad AC^2=AB\cdot AD}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Höhensatz · Anwendenp = 3 cm und q = 12 cm. Berechne h.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Höhe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h=\sqrt{3\cdot12}=6\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Höhe6 cm
02
Aufgabe 2Höhensatz · Anwendenh = 6 cm und p = 4 cm. Berechne q.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Abschnitt q
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{q=\frac{6^2}{4}=9\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Abschnitt q9 cm
03
Aufgabe 3Höhensatz · AnwendenD liegt zwischen A und B und CD steht senkrecht auf AB. AD = 5 cm, DB = 20 cm, CD = 9 cm. Ist ACB ein rechter Winkel?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Höhenquadrat
Abschnittsprodukt
Winkelurteil
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h^2=81\,\mathsf{cm}^2}$
  $\mathsf{pq=100\,\mathsf{cm}^2}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Bei einem rechten Winkel müssten beide Werte gleich sein.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Höhenquadrat81 Quadratzentimeter
2. Abschnittsprodukt100 Quadratzentimeter
3. WinkelurteilNein, ACB ist nicht rechtwinklig.
04
Aufgabe 4Höhensatz · AnwendenEin rechtwinkliges Dreieck hat Hypotenusenabschnitte 2 cm und 18 cm. Welche Fläche hat das Quadrat über der Höhe? Wie lang ist seine Seite?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Quadratfläche
Quadratseite
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h^2=2\cdot18=36\,\mathsf{cm}^2}$
  $\mathsf{h=6\,\mathsf{cm}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Quadratfläche36 Quadratzentimeter
2. Quadratseite6 cm
05
Aufgabe 5Höhensatz · AnwendenErgänze in der Vorlage den Halbkreis über AB und das Lot in D bis C. Markiere CD als Seite eines flächengleichen Quadrats zum Rechteck 4 mal 9.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Konstruktion
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Konstruktion
Quadratseite
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  AB ist der Halbkreisdurchmesser.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Schnitt des Lots mit dem Halbkreis liefert C.
  $\mathsf{CD=\sqrt{4\cdot9}=6}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. KonstruktionHalbkreis über AB, Lot durch D bis C; CD markiert.
2. Quadratseite6 Längeneinheiten
06
Aufgabe 6Höhensatz · AnwendenFür p = 4 cm und q = 16 cm wird h = (4 + 16) : 2 = 10 cm behauptet. Korrigiere den Rechenweg.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Richtige Höhe
Fehler
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h=\sqrt{4\cdot16}=8\,\mathsf{cm}}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der Höhensatz verlangt das geometrische Mittel; das arithmetische Mittel ist hier falsch.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Richtige Höhe8 cm
2. FehlerStatt des Mittelwerts der Abschnitte muss die Wurzel ihres Produkts berechnet werden.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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