Statistische Tests · Erklären & üben

Hypothesentest

Ein Hypothesentest verbindet eine vorab festgelegte Modellbehauptung mit einer Entscheidungsregel. Du prüfst, ob eine beobachtete Stichprobe nach dieser Regel gegen die Nullhypothese spricht.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Vor der Stichprobe entscheiden

Lege Zielparameter, Nullhypothese, Gegenhypothese, Teststatistik und Signifikanzniveau fest. In unseren Beispielen zählt XTreffer in unabhängigen Versuchen mit konstantem p. Bei einem rechtsseitigen Test lautet die Nullhypothese p≤0,5 und die Alternative p>0,5. Die kritische Wahrscheinlichkeit wird am Rand p=0,5 berechnet; dort ist die Wahrscheinlichkeit großer Trefferzahlen innerhalb dieser Nullhypothese am größten.

Lege Hypothesen, Richtung, Voraussetzungen und Niveau vor der Entscheidung fest.
Trenne Rechenwert, Entscheidungsregel und sachliche Interpretation.

$\mathsf{H_0:p\le0{,}5,\qquad H_1:p>0{,}5}$

Erklärung 02

Welche Abweichung zählt?

Rechtsseitig sprechen große, linksseitig kleine Prüfwerte gegen H 0. Zweiseitig werden Abweichungen in beide Richtungen berücksichtigt. Die Richtung folgt aus der Fragestellung und wird nicht erst nach Ansicht der Daten gewählt. Die folgenden exakten kleinen Binomialtests brauchen keine Normalapproximation.

Lege Hypothesen, Richtung, Voraussetzungen und Niveau vor der Entscheidung fest.
Trenne Rechenwert, Entscheidungsregel und sachliche Interpretation.

$\mathsf{\textsf{rechts: }X\ge c,\quad\textsf{links: }X\le c,\quad\textsf{zweiseitig: beide Ränder}}$

Rechtsseitiger Ablehnungsbereich{5}unter B(5,0,5).

Zweiseitiger Ablehnungsbereich{0,6}unter B(6,0,5).

So geht es am Beispiel

Fünf unabhängige Versuche: Teste H 0:p≤0,5 gegen p>0,5 bei Niveau 5 Prozent. Wähle den Ablehnungsbereich.

\mathsf{P_{0{,}5}(X\ge4)=\frac{5+1}{32}=0{,}1875>0{,}05}

\mathsf{P_{0{,}5}(X=5)=\frac1{32}=0{,}03125\le0{,}05}

Deshalb wird nur bei 5 Treffern verworfen; die tatsächlich erreichte Fehlerwahrscheinlichkeit beträgt am Rand 3,125 Prozent.

So geht es am Beispiel

Teste bei fünf Versuchen H 0:p≥0,5 gegen p<0,5 auf demselben Niveau.

\mathsf{P_{0{,}5}(X=0)=\frac1{32}=0{,}03125}

Der symmetrische linksseitige Ablehnungsbereich besteht nur aus 0 Treffern.

So geht es am Beispiel

Teste bei sechs Versuchen H 0:p=0,5 gegen p≠0,5. Verwende gleich extreme Ränder und Niveau 5 Prozent.

\mathsf{P_{0{,}5}(X\in\{0,6\})=\frac2{64}=0{,}03125}

0 oder 6 Treffer führen zum Verwerfen. Die Werte 1 bis 5 gehören zum Nichtverwerfungsbereich.

Erklärung 03

Nichtverwerfen ist kein Beweis

Der häufig sogenannte Annahmebereich wird hier Nichtverwerfungsbereich genannt: Ein Ergebnis darin beweist H 0 nicht. Ein wahrer H 0 kann verworfen werden (Fehler erster Art); ein falscher H 0 kann nicht verworfen werden (Fehler zweiter Art). Sigma-Regeln liefern nur im passenden Normalmodell ungefähre Randflächen. Für eine exakt standardnormalverteilte Teststatistik entspricht die Regel |Z|>1,96 ungefähr einem zweiseitigen 5-Prozent-Test; bei Binomialdaten müssen Voraussetzungen und gegebenenfalls Stetigkeitskorrektur berücksichtigt werden. Für Mittelwerttests mit unbekannter Streuung folgt der eigene t-Test. Der Mann-Whitney-U-Test ist ein anderer Methodenanschluss für Rangdaten und wird hier nicht durchgeführt.

Lege Hypothesen, Richtung, Voraussetzungen und Niveau vor der Entscheidung fest.
Trenne Rechenwert, Entscheidungsregel und sachliche Interpretation.

$\mathsf{\textsf{Nicht verwerfen}\ne\textsf{H}_0\textsf{ beweisen}}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Hypothesentest · EinstiegEine Trefferwahrscheinlichkeit soll größer als 0,5 sein. Formuliere die rechtsseitige Null- und Alternativhypothese.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Nullhypothese
Alternative
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Nullhypothese umfasst den Grenzwert und kleinere Werte; die Gegenhypothese beschreibt die behauptete Zunahme.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Nullhypothese $\mathsf{H_0:p\le0{,}5}$
2. Alternative $\mathsf{H_1:p>0{,}5}$
02
Aufgabe 2Hypothesentest · EinstiegBeim rechtsseitigen Test mit n=5 lautet der Ablehnungsbereich{5}. Beobachtet werden 4 Treffer. Entscheide.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Entscheidung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  4 liegt nicht im Ablehnungsbereich. Die Nullhypothese wird nach der vorab festgelegten Regel nicht verworfen.
Ergebnis
1. EntscheidungH 0 nicht verwerfen.
03
Aufgabe 3Hypothesentest · StandardBeim linksseitigen Test mit n=5 lautet der Ablehnungsbereich{0}. Beobachtet werden 0 Treffer. Entscheide.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Entscheidung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der beobachtete Wert gehört zum Ablehnungsbereich.
Ergebnis
1. EntscheidungH 0 verwerfen.
04
Aufgabe 4Hypothesentest · StandardBeim zweiseitigen Test mit n=6 ist der Ablehnungsbereich{0,6}. Berechne seine Wahrscheinlichkeit unter p=0,5.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehlerwahrscheinlichkeit unterH0
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac1{64}+\frac1{64}=\frac1{32}=0{,}03125}$
Ergebnis
1. Fehlerwahrscheinlichkeit unterH0 $\mathsf{0{,}03125}$
05
Aufgabe 5Hypothesentest · TransferMarkiere in der vorbereiteten Nullverteilung B(5,0,5)den Ablehnungsbereich des rechtsseitigen 5-Prozent-Tests. Die Regel lautet: Verwerfen nur bei 5 Treffern.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Markierter Ablehnungsbereich
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Markierter Ablehnungsbereich
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Nur die Säule bei 5 wird markiert. Die anderen fünf Säulen bleiben im Nichtverwerfungsbereich.
Ergebnis
1. Markierter AblehnungsbereichNur Säulek=5 markiert.
06
Aufgabe 6Hypothesentest · TransferEin Test verwirft H 0 nicht. Warum ist „H 0 ist damit bewiesen“ keine zulässige Folgerung?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Ein Test kann eine falsche Nullhypothese wegen begrenzter Teststärke übersehen. Nichtverwerfen bedeutet nur, dass diese Daten nach der gewählten Regel nicht zur Ablehnung reichen.
Ergebnis
1. BegründungNichtverwerfen schließt einen Fehler zweiter Art nicht aus.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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