Schätzen und Konfidenzintervalle · Erklären & üben

Induktive Statistik

Induktive Statistik schließt unter Annahmen von einer Stichprobe auf eine Population. Du unterscheidest Beschreibung, Schätzung und Testentscheidung und erkennst die Grenzen solcher Schlüsse.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Von beobachteten Daten zu einer größeren Gruppe

Deskriptive Statistik beschreibt die tatsächlich erhobenen Daten. Induktive Statistik verwendet sie, um Aussagen über eine darüber hinausgehende Population zu treffen. Diese Aussagen bleiben mit Unsicherheit verbunden. Der Parameter der Population ist unbekannt; eine daraus berechnete Stichprobenkennzahl ist ein Schätzer beziehungsweise nach der Beobachtung ein Schätzwert. Eine größere Datenmenge beseitigt nicht automatisch systematische Fehler.

Benenne Fragestellung, Größen und Modellvoraussetzungen.
Unterscheide beobachtete Werte, unbekannte Parameter und daraus gezogene Aussagen.

Eine Beschreibung der Stichprobe ist noch keine gesicherte Aussage über die Population.

Unbekannte Populationsparameter und beobachtete Stichprobenkennzahlen gegenübergestellt.

So geht es am Beispiel

In einer zufällig ausgewählten Stichprobe von 80 Personen nutzen 24 ein bestimmtes Angebot. Was ist beobachtet und was wird geschätzt?

\mathsf{\widehat p=\frac{24}{80}=0{,}3}

30 Prozent ist der beobachtete Stichprobenanteil. Er dient als Punktschätzung für den unbekannten Nutzungsanteil pder Zielpopulation, nicht als Beweis seines exakten Werts.

Erklärung 02

Die Auswahl bestimmt die Aussagekraft

Lege die Zielpopulation und eine passende Auswahlgrundlage fest. Zufällige Auswahl kann kontrollierbare Aussagen ermöglichen; die konkrete Abhängigkeit der Beobachtungen und der Stichprobenplan gehören zur Methode. Freiwillige Teilnahme kann mit dem untersuchten Merkmal zusammenhängen. Nichtantworten, Messfehler oder fehlende Teile der Population müssen berücksichtigt werden. „Repräsentativ“ ist keine Eigenschaft, die allein aus einer großen Fallzahl folgt.

Benenne Fragestellung, Größen und Modellvoraussetzungen.
Unterscheide beobachtete Werte, unbekannte Parameter und daraus gezogene Aussagen.

Eine kleine Zufallsunsicherheit korrigiert keinen systematischen Auswahlfehler.

So geht es am Beispiel

Eine freiwillige Onlineumfrage befragt nur Personen, die eine Vereinsseite besuchen. Soll daraus auf alle Einwohner geschlossen werden?

Menschen ohne Besuch der Seite fehlen in der Auswahlgrundlage. Zusätzlich entscheiden Besucher selbst über die Teilnahme. Beide Mechanismen können mit der Einstellung zum Verein zusammenhängen.

Erklärung 03

Punktwert und Intervall

Eine Punktschätzung liefert einen einzelnen Wert. Eine Intervallschätzung macht eine modellabhängige Präzision sichtbar. Ein Konfidenzniveau beschreibt die langfristige Abdeckung des Verfahrens unter dessen Annahmen. Es ist keine nachträgliche Wahrscheinlichkeit für einen festen Parameter in einem fest berechneten Intervall. Die konkrete Intervallformel muss zur Zielgröße und zum Modell passen; ein Mittelwertintervall wird nicht automatisch zum Anteilsintervall.

Benenne Fragestellung, Größen und Modellvoraussetzungen.
Unterscheide beobachtete Werte, unbekannte Parameter und daraus gezogene Aussagen.

$\mathsf{\textsf{Parameter }p\quad\longleftrightarrow\quad\textsf{Schätzer }\widehat p}$

Begründeter Ablauf von Zielpopulation über Stichprobe zur Schätzung.

Erklärung 04

Eine Modellbehauptung prüfen

Ein Test legt Nullhypothese, Gegenhypothese, Prüfgröße und Signifikanzniveau vor der Entscheidung fest. Der p-Wert beschreibt unter der Nullhypothese die Wahrscheinlichkeit mindestens so extremer Prüfergebnisse gemäß dem gewählten Test. Er ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese wahr ist. Ein Nichtverwerfen beweist sie nicht. Ein statistisch auffälliger Unterschied ist außerdem nicht automatisch groß, praktisch wichtig oder kausal. Variablenrollen und mögliche Störgrößen erläutert Abhängige und unabhängige Variable.

Benenne Fragestellung, Größen und Modellvoraussetzungen.
Unterscheide beobachtete Werte, unbekannte Parameter und daraus gezogene Aussagen.

$\mathsf{p\textsf{-Wert}\le\alpha\quad\Rightarrow\quad\textsf{Nullhypothese nach der festgelegten Regel verwerfen}}$

So geht es am Beispiel

Ein korrekt gewählter Test liefert p-Wert 0,03 bei vorab festgelegtem Signifikanzniveau 0,05. Wie lautet die Entscheidung?

\mathsf{0{,}03<0{,}05}

Nach dieser Entscheidungsregel wird die Nullhypothese verworfen. Daraus folgt weder eine 97-Prozent-Wahrscheinlichkeit der Gegenhypothese noch ein Kausalitätsbeweis.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Induktive Statistik · EinstiegEine Stadt möchte die mittlere Fahrzeit aller täglichen Pendler schätzen und befragt zufällig 100 dieser Pendler. Nenne Zielpopulation und Stichprobe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zielpopulation
Stichprobe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Zielpopulation sind alle täglichen Pendler der festgelegten Stadt und Bezugszeit. Die Stichprobe besteht aus den 100 ausgewählten Personen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. ZielpopulationAlle täglichen Pendler der definierten Stadt und Bezugszeit.
2. StichprobeDie 100 zufällig ausgewählten Pendler.
02
Aufgabe 2Induktive Statistik · EinstiegOrdne ein: „Von den 60 Befragten fahren 18 Rad“ und „Der Radanteil aller Beschäftigten wird auf 30 Prozent geschätzt“.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erste Aussage
Zweite Aussage
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die erste Aussage beschreibt nur die beobachtete Stichprobe. Die zweite überträgt eine Kennzahl auf eine größere Population und ist induktiv.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erste AussageDeskriptiv
2. Zweite AussageInduktiv
03
Aufgabe 3Induktive Statistik · Standard18 von 60 zufällig ausgewählten Beschäftigten fahren Rad. Berechne den Stichprobenanteil als Punktschätzung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Geschätzter Anteil
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\widehat p=\frac{18}{60}=0{,}3=30\%}$
Ergebnis
1. Geschätzter Anteil $\mathsf{0{,}3}$
04
Aufgabe 4Induktive Statistik · StandardEine Befragung zu Arbeitszufriedenheit erreicht nur freiwillige Teilnehmende aus einem Internetforum. Beweist eine sehr große Teilnehmerzahl die Übertragbarkeit auf alle Beschäftigten?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Nein. Die freiwillige Teilnahme und die Forumsnutzung können systematisch mit der Zufriedenheit zusammenhängen. Viele Antworten beseitigen diesen Auswahlmechanismus nicht.
Ergebnis
1. BegründungGroße Fallzahl beseitigt mögliche Auswahlverzerrung nicht.
05
Aufgabe 5Induktive Statistik · TransferErgänze die drei Felder im Ablauf: Benenne zuerst die Zielgruppe, dann die zufällige Datenauswahl und zuletzt das Ergebnis des Schließens mit seiner Unsicherheit.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Beschrifteter Ablauf
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Beschrifteter Ablauf
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Reihenfolge lautet Zielpopulation → Zufallsstichprobe → Schätzung mit Unsicherheit. Die Unsicherheit muss zur gewählten Methode und ihren Annahmen passen.
Ergebnis
1. Beschrifteter AblaufZielpopulation; Zufallsstichprobe; Schätzung mit Unsicherheit.
06
Aufgabe 6Induktive Statistik · TransferEin gültiger Test liefert p-Wert 0,03 bei α=0,05. Nenne die Entscheidung und korrigiere die Behauptung „Die Nullhypothese ist mit 3 Prozent Wahrscheinlichkeit wahr“.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Entscheidung
Korrekte Einordnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{0{,}03<0{,}05}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Nullhypothese wird nach der Regel verworfen. Der p-Wert ist eine Wahrscheinlichkeit möglicher Daten beziehungsweise Prüfergebnisse unter der Nullhypothese, keine Wahrscheinlichkeit der Hypothese selbst.
Ergebnisse & Teilantworten
1. EntscheidungNullhypothese verwerfen.
2. Korrekte Einordnungp-Wert bewertet Prüfergebnisse unter der Nullhypothese, nicht deren Wahrheitswahrscheinlichkeit.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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