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Schätzen und Konfidenzintervalle · Erklären & üben

Konfidenzintervall Übung

Diese eigene Aufgabenfamilie führt von Stichprobendaten bis zum Konfidenzintervall und zur Planung der Stichprobengröße. Alle Rechnungen beruhen auf ausdrücklich festgelegten Voraussetzungen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die Voraussetzungen bleiben Teil der Aufgabe

Wir betrachten unabhängige, identisch normalverteilte Massenmessungen. Die Populationsstandardabweichung ist als bekannt vorgegeben: σ=12 g. Gesucht ist der unbekannte Populationsmittelwert μ. Die Zahl nbezeichnet die Anzahl der einzelnen Messungen. Ohne diese Annahmen darf die hier verwendete exakte Normalmethode nicht unverändert übernommen werden. Die Stichprobenvarianz wird hier nicht zur Schätzung vonσbenötigt.

  1. Benenne Fragestellung, Größen und Modellvoraussetzungen.

  2. Unterscheide beobachtete Werte, unbekannte Parameter und daraus gezogene Aussagen.

Xˉ∼N ⁣(μ,σ2n)\mathsf{\bar X\sim N\!\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)}

Erklärung 02

Schätzwert, Standardfehler und Quantil

Zuerst berechnest du den Stichprobenmittelwert. Die Varianz des Mittelwerts ist die Populationsvarianz geteilt durch n; ihre Wurzel ist der Standardfehler. Das z-Quantil wird durch das gewünschte zweiseitige Konfidenzniveau bestimmt. Für 95 Prozent verwenden wir 1,96, für 99 Prozent 2,576. Diese gerundeten Quantile stammen aus den linken Standardnormalflächen 0,975 beziehungsweise 0,995. Du transformierst nicht erst unbekannte fertige Grenzen, sondern wählst die Grenzen anhand des standardisierten Pivot-Ausdrucks.

  1. Benenne Fragestellung, Größen und Modellvoraussetzungen.

  2. Unterscheide beobachtete Werte, unbekannte Parameter und daraus gezogene Aussagen.

Z=Xˉ−μσ/n,[L;U]=[xˉ−zSE;xˉ+zSE]\mathsf{Z=\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n},\qquad [L;U]=[\bar x-zSE;\bar x+zSE]}

Berechnetes95-Prozent-Intervall mit Schätzwert100g.
Vergleich von95-und99-Prozent-Intervall bei unveränderten Daten.

So geht es am Beispiel

64 Messungen ergeben den Mittelwert 100 g; σ=12 g ist bekannt. Berechne das 95-Prozent-Intervall.

Var⁡(Xˉ)=12264=2,25 g2\mathsf{\operatorname{\textsf{Var}}(\bar X)=\frac{12^2}{64}=2{,}25\,\mathsf g^2}
SE=2,25=1,5 g\mathsf{SE=\sqrt{2{,}25}=1{,}5\,\mathsf g}
h=1,96⋅1,5=2,94 g\mathsf{h=1{,}96\cdot1{,}5=2{,}94\,\mathsf g}
[L;U]=[97,06;102,94] g\mathsf{[L;U]=[97{,}06;102{,}94]\,\mathsf g}

Ergebnis

Das Intervall liegt symmetrisch um den Schätzwert 100 g.

So geht es am Beispiel

Berechne bei denselben Daten das 99-Prozent-Intervall.

h=2,576⋅1,5=3,864 g\mathsf{h=2{,}576\cdot1{,}5=3{,}864\,\mathsf g}
[L;U]=[96,136;103,864] g\mathsf{[L;U]=[96{,}136;103{,}864]\,\mathsf g}

Ergebnis

Das höhere Konfidenzniveau führt zu einem breiteren Intervall.

Erklärung 03

Eine gewünschte Präzision vorgeben

Für bekannteσund ein festes Quantil kannst du die Versuchszahl so planen, dass die Halbbreite höchstens einen Zielwert hhat. Löse die Ungleichung nach nauf und runde anschließend nach oben. Diese Rechnung berücksichtigt die Zufallsstreuung im Modell, nicht systematische Messfehler oder eine verzerrte Auswahl. Ein 95-Prozent-Intervall beschreibt die langfristige Abdeckung des Verfahrens, nicht 95 Prozent der Einzelmessungen.

  1. Benenne Fragestellung, Größen und Modellvoraussetzungen.

  2. Unterscheide beobachtete Werte, unbekannte Parameter und daraus gezogene Aussagen.

n≥(zσh)2\mathsf{n\ge\left(\frac{z\sigma}{h}\right)^2}

So geht es am Beispiel

Bei bekannterσ=12 g soll ein 95-Prozent-Intervall höchstens 2 g Halbbreite besitzen. Plane n.

n≥(1,96⋅122)2=138,2976\mathsf{n\ge\left(\frac{1{,}96\cdot12}{2}\right)^2=138{,}2976}

Da n eine ganze Zahl ist, wird auf 139 aufgerundet. Abrunden auf 138 würde die Zielhalbbreite überschreiten.

Ergebnis

Mindestens 139 Messungen sind im genannten Modell nötig.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Konfidenzintervall Übung · EinstiegDie Summe von 64 Massenmessungen beträgt 6400 g. Berechne den Stichprobenmittelwert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      xˉ=640064=100 g\mathsf{\bar x=\frac{6400}{64}=100\,\mathsf g}

    Ergebnis

    1. Stichprobenmittelwert100 g\mathsf{100\,\mathsf g}
  2. Aufgabe 2Konfidenzintervall Übung · EinstiegUnter dem beschriebenen unabhängigen Normalmodell sind σ=12 g und n=64 gegeben. Berechne Varianz und Standardfehler des Mittelwerts.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      Var⁡(Xˉ)=14464=2,25 g2\mathsf{\operatorname{\textsf{Var}}(\bar X)=\frac{144}{64}=2{,}25\,\mathsf g^2}
      SE=1,5 g\mathsf{SE=1{,}5\,\mathsf g}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Varianz des Mittelwerts2,25 g2\mathsf{2{,}25\,\mathsf g^2}
    2. Standardfehler1,5 g\mathsf{1{,}5\,\mathsf g}
  3. Aufgabe 3Konfidenzintervall Übung · StandardBerechne für Mittelwert 100 g und Standardfehler 1,5 g die 95-Prozent-Grenzen mit z=1,96.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      L=100−1,96⋅1,5=97,06 g\mathsf{L=100-1{,}96\cdot1{,}5=97{,}06\,\mathsf g}
      U=100+1,96⋅1,5=102,94 g\mathsf{U=100+1{,}96\cdot1{,}5=102{,}94\,\mathsf g}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Untergrenze97,06 g\mathsf{97{,}06\,\mathsf g}
    2. Obergrenze102,94 g\mathsf{102{,}94\,\mathsf g}
  4. Aufgabe 4Konfidenzintervall Übung · StandardBestimme bei Standardfehler 1,5 g die Halbbreite und Gesamtbreite des 99-Prozent-Intervalls. Verwende z=2,576.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      h=2,576⋅1,5=3,864 g\mathsf{h=2{,}576\cdot1{,}5=3{,}864\,\mathsf g}
      2h=7,728 g\mathsf{2h=7{,}728\,\mathsf g}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Halbbreite3,864 g\mathsf{3{,}864\,\mathsf g}
    2. Gesamtbreite7,728 g\mathsf{7{,}728\,\mathsf g}
  5. Aufgabe 5Konfidenzintervall Übung · TransferZeichne das 95-Prozent-Intervall[97,06 g;102,94 g]in die Vorlage. Markiere den Schätzwert 100 g und beschrifte die beiden Grenzen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Intervallzeichnung

    Vorbereitete Achsen oder Ablaufstruktur.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Die Mitte 100 liegt jeweils 2,94 g von den beiden Intervallgrenzen entfernt.

    Ergebnis

    1. IntervallzeichnungStrecke 97,06–102,94 mit Mittelpunkt 100 und passenden Beschriftungen.
  6. Aufgabe 6Konfidenzintervall Übung · TransferBei bekannterσ=12 g soll die 95-Prozent-Halbbreite höchstens 2 g sein. Bestimme die kleinste ganze Stichprobengröße.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      n≥(1,96⋅12:2)2=138,2976\mathsf{n\ge(1{,}96\cdot12:2)^2=138{,}2976}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Aufrunden liefert 139. Die Ungleichung verlangt mindestens diesen Wert;138 ist zu klein.

    Ergebnis

    1. Kleinste Stichprobengröße139\mathsf{139}

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
  • Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
  • Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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