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Mit Winkeln rechnen · Erklären & üben

Innenwinkelsumme Dreieck

In jedem nicht entarteten Dreieck der Ebene ergeben die drei Innenwinkel zusammen 180∘\mathsf{180^\circ}. Das gilt für spitze, rechte und stumpfe Dreiecke unabhängig von ihrer Größe.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Drei Innenwinkel ergeben 180 Grad

Die Winkel bei den Ecken A,B,C\mathsf{A,B,C} heißen α,β,γ\mathsf{\alpha,\beta,\gamma}. Für einen fehlenden Innenwinkel ziehst du die beiden bekannten Winkel von 180∘\mathsf{180^\circ} ab. Jeder Innenwinkel ist positiv und kleiner als 180 Grad. Ein negatives Ergebnis zeigt unmögliche oder falsch zugeordnete Angaben.

  1. Ordne die drei Innenwinkel den Ecken zu.

  2. Ergänze die beiden bekannten Winkel auf 180 Grad.

α+β+γ=180∘\mathsf{\alpha+\beta+\gamma=180^\circ}

Drei Innenwinkel ergeben 180°

So geht es am Beispiel

Ein Dreieck hat α=42∘\mathsf{\alpha=42^\circ} und β=73∘\mathsf{\beta=73^\circ}. Berechne γ\mathsf{\gamma}.

γ=180∘−42∘−73∘=65∘\mathsf{\gamma=180^\circ-42^\circ-73^\circ=65^\circ}

Ergebnis

γ=65∘\mathsf{\gamma=65^\circ}

Erklärung 02

Eine Parallele macht die Summe sichtbar

Zeichne durch C\mathsf{C} eine Parallele zu AB\mathsf{AB}. Die Innenwinkel bei A\mathsf{A} und B\mathsf{B} erscheinen dort als gleich große Wechselwinkel. Zusammen mit dem Innenwinkel bei C\mathsf{C} liegen die drei Winkel nebeneinander an einer Geraden. Sie ergeben deshalb einen gestreckten Winkel. Der Beweis setzt die ebene euklidische Geometrie voraus.

  1. Ziehe durch C die Parallele zu AB.

  2. Übertrage alpha und beta mithilfe der Wechselwinkel.

  3. Lies die drei nebeneinanderliegenden Winkel als gestreckten Winkel.

α+γ+β=180∘\mathsf{\alpha+\gamma+\beta=180^\circ}

Parallelenbeweis der Innenwinkelsumme

So geht es am Beispiel

Warum ist das bloße Nachmessen vieler Dreiecke noch kein Beweis für alle Dreiecke?

Messungen besitzen eine begrenzte Genauigkeit und betreffen nur einzelne Beispiele.

Die Parallelengeraden-Begründung verwendet allgemeine Winkelsätze und gilt für jedes ebene Dreieck.

Ergebnis

Der allgemeine Beweis folgt aus Wechselwinkeln und dem gestreckten Winkel.

Erklärung 03

Besondere Dreiecke und Außenwinkel

Im gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel gleich und daher je 60∘\mathsf{60^\circ} groß. Im gleichschenkligen Dreieck stimmen die Basiswinkel überein. Im rechtwinkligen Dreieck ergeben die übrigen Winkel zusammen 90 Grad. Ein Außenwinkel, der durch Verlängern einer Seite entsteht, ist Nebenwinkel zum benachbarten Innenwinkel und gleich der Summe der beiden entfernten Innenwinkel.

  1. Nutze zuerst besondere Gleichheiten oder den rechten Winkel.

  2. Unterscheide beim Außenwinkel den benachbarten von den entfernten Innenwinkeln.

δ=180∘−γ=α+β\mathsf{\delta=180^\circ-\gamma=\alpha+\beta}

So geht es am Beispiel

Die entfernten Innenwinkel zu einem Außenwinkel sind 35∘\mathsf{35^\circ} und 65∘\mathsf{65^\circ}. Berechne den Außenwinkel.

γ=180∘−35∘−65∘=80∘\mathsf{\gamma=180^\circ-35^\circ-65^\circ=80^\circ}
δ=180∘−80∘=100∘\mathsf{\delta=180^\circ-80^\circ=100^\circ}

Ergebnis

δ=100∘\mathsf{\delta=100^\circ}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Innenwinkelsumme Dreieck · basisZwei Innenwinkel messen 38∘\mathsf{38^\circ} und 72∘\mathsf{72^\circ}. Berechne den dritten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      180∘−38∘−72∘=70∘\mathsf{180^\circ-38^\circ-72^\circ=70^\circ}

    Ergebnis

    1. Dritter Innenwinkel70∘\mathsf{70^\circ}
  2. Aufgabe 2Innenwinkelsumme Dreieck · standardIm gleichschenkligen Dreieck misst der Winkel zwischen den gleich langen Schenkeln 44∘\mathsf{44^\circ}. Berechne beide Basiswinkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      180∘−44∘=136∘\mathsf{180^\circ-44^\circ=136^\circ}
      136∘:2=68∘\mathsf{136^\circ:2=68^\circ}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Erster Basiswinkel68∘\mathsf{68^\circ}
    2. Zweiter Basiswinkel68∘\mathsf{68^\circ}
  3. Aufgabe 3Innenwinkelsumme Dreieck · standardBerechne jeden Innenwinkel eines gleichseitigen Dreiecks. Begründe die Division.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Alle drei Innenwinkel sind gleich groß.

      180∘:3=60∘\mathsf{180^\circ:3=60^\circ}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Jeder Innenwinkel60∘\mathsf{60^\circ}
    2. BegründungDrei gleiche Winkel teilen die Gesamtsumme gleichmäßig.
  4. Aufgabe 4Innenwinkelsumme Dreieck · standardZeichne durch C\mathsf{C} die Parallele zu AB\mathsf{AB}. Markiere bei C\mathsf{C} links den Wechselwinkel zu α\mathsf{\alpha} und rechts den Wechselwinkel zu β\mathsf{\beta}. Kennzeichne auch den Innenwinkel γ\mathsf{\gamma} zwischen ihnen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Beweiszeichnung

    Leere Zeichenvorlage mit vorgegebenen Achsen, Rasterlinien und Punkten; gesuchte Ergänzungen fehlen.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Die Parallele durch C ist waagerecht wie AB.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Links neben CA liegt der Winkel alpha, zwischen CA und CB liegt gamma, rechts neben CB liegt beta.

    Ergebnis

    1. BeweiszeichnungParallele durch C\mathsf{C}; drei nebeneinanderliegende Winkel α,γ,β\mathsf{\alpha,\gamma,\beta} unterhalb der Parallelen.
  5. Aufgabe 5Innenwinkelsumme Dreieck · standardEin Außenwinkel eines Dreiecks misst 128∘\mathsf{128^\circ}. Einer seiner beiden entfernten Innenwinkel misst 53∘\mathsf{53^\circ}. Berechne den anderen entfernten Innenwinkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      δ=α+β\mathsf{\delta=\alpha+\beta}
      β=128∘−53∘=75∘\mathsf{\beta=128^\circ-53^\circ=75^\circ}

    Ergebnis

    1. Entfernter Innenwinkel75∘\mathsf{75^\circ}
  6. Aufgabe 6Innenwinkelsumme Dreieck · transferKann ein Dreieck Innenwinkel von 90∘\mathsf{90^\circ} und 95∘\mathsf{95^\circ} besitzen? Begründe rechnerisch.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      90∘+95∘=185∘>180∘\mathsf{90^\circ+95^\circ=185^\circ>180^\circ}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Für den dritten Winkel bliebe ein negativer Wert.

    Ergebnis

    1. BeurteilungNein, diese Angaben beschreiben kein ebenes Dreieck.
  7. Aufgabe 7Innenwinkelsumme Dreieck · transferDie drei Innenwinkel haben die Größen x∘\mathsf{x^\circ}, 2x∘\mathsf{2x^\circ} und 3x∘\mathsf{3x^\circ}. Bestimme x\mathsf{x} und alle drei Winkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      x+2x+3x=180\mathsf{x+2x+3x=180}
      6x=180,x=30\mathsf{6x=180,\quad x=30}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Wert x30\mathsf{30}
    2. Erster Winkel30∘\mathsf{30^\circ}
    3. Zweiter Winkel60∘\mathsf{60^\circ}
    4. Dritter Winkel90∘\mathsf{90^\circ}

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich erkenne Scheitel und den gemeinten Winkelbereich.
  • Ich kann das jeweilige Verfahren an einer eigenen Zeichnung erklären.
  • Ich prüfe Voraussetzungen und begründe mein Ergebnis.

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