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Mit Winkeln rechnen · Erklären & üben

Winkelsumme

Die Innenwinkelsumme ist die Summe aller Winkel im Inneren eines Vielecks. Für ein einfaches ebenes Vieleck hängt sie nur von der Eckenzahl ab, nicht von den Seitenlängen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Dreiecke als Bausteine

Ein Dreieck hat die Innenwinkelsumme 180∘\mathsf{180^\circ}. Eine Diagonale zerlegt ein konvexes Viereck in zwei Dreiecke. Deren Winkel ergeben zusammen genau die Innenwinkel des Vierecks; die Diagonale erzeugt keinen zusätzlichen Winkelanteil.

  1. Zeichne eine innenliegende Diagonale.

  2. Addiere die Winkelsummen der entstandenen Dreiecke.

S4=2⋅180∘=360∘\mathsf{S_4=2\cdot180^\circ=360^\circ}

Eine Diagonale bildet zwei Dreiecke

So geht es am Beispiel

Wie lässt sich die Innenwinkelsumme eines konvexen Vierecks begründen?

Eine Diagonale verbindet zwei nicht benachbarte Ecken.

Es entstehen zwei Dreiecke ohne Überlappung.

S4=180∘+180∘=360∘\mathsf{S_4=180^\circ+180^\circ=360^\circ}

Ergebnis

S4=360∘\mathsf{S_4=360^\circ}

Erklärung 02

Die allgemeine Formel

Ein konvexes Vieleck mit n\mathsf{n} Ecken lässt sich von einer Ecke aus in n−2\mathsf{n-2} Dreiecke zerlegen. Daher gilt die Formel auch für Fünfecke, Sechsecke und größere Vielecke. Allgemeiner gilt sie für einfache Vielecke ohne Selbstüberschneidung und ohne Löcher, auch wenn einzelne Innenwinkel über 180 Grad liegen. Dann muss die Zerlegung passende innenliegende Diagonalen verwenden; ein Fächer von einer beliebigen Ecke funktioniert nicht immer.

  1. Zähle die Ecken; es gilt n mindestens drei.

  2. Ziehe zwei ab und multipliziere mit 180 Grad.

Sn=(n−2)⋅180∘\mathsf{S_n=(n-2)\cdot180^\circ}

Dreieckszerlegung im Fünfeck

So geht es am Beispiel

Berechne die Innenwinkelsummen eines Fünfecks und eines Sechsecks.

S5=(5−2)⋅180∘=540∘\mathsf{S_5=(5-2)\cdot180^\circ=540^\circ}
S6=(6−2)⋅180∘=720∘\mathsf{S_6=(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ}

Ergebnis

S5=540∘,S6=720∘\mathsf{S_5=540^\circ,\quad S_6=720^\circ}

Erklärung 03

Fehlende und regelmäßige Winkel

Einen fehlenden Innenwinkel erhältst du, indem du die bekannten Winkel von der Gesamtsumme abziehst. Nur wenn alle Innenwinkel gleich groß sind, darfst du die Summe gleichmäßig verteilen. Ein regelmäßiges Vieleck hat gleich lange Seiten und gleich große Innenwinkel. Umgekehrt liefert eine bekannte Innenwinkelsumme die Eckenzahl über n=Sn/180∘+2\mathsf{n=S_n/180^\circ+2}.

  1. Bestimme zunächst die Gesamtsumme.

  2. Subtrahiere bekannte Winkel oder teile bei einer regelmäßigen Figur durch n.

αregelmaessig=(n−2)⋅180∘n\mathsf{\alpha_{\mathsf{regelmaessig}}=\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}}

So geht es am Beispiel

Wie groß ist ein Innenwinkel eines regelmäßigen Achtecks?

S8=6⋅180∘=1080∘\mathsf{S_8=6\cdot180^\circ=1080^\circ}
α=1080∘:8=135∘\mathsf{\alpha=1080^\circ:8=135^\circ}

Ergebnis

α=135∘\mathsf{\alpha=135^\circ}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Winkelsumme · basisBestimme die Innenwinkelsumme eines einfachen Fünfecks.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      (5−2)⋅180∘=540∘\mathsf{(5-2)\cdot180^\circ=540^\circ}

    Ergebnis

    1. Innenwinkelsumme540∘\mathsf{540^\circ}
  2. Aufgabe 2Winkelsumme · standardBestimme die Innenwinkelsumme eines einfachen Sechsecks.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      (6−2)⋅180∘=720∘\mathsf{(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ}

    Ergebnis

    1. Innenwinkelsumme720∘\mathsf{720^\circ}
  3. Aufgabe 3Winkelsumme · standardEin einfaches Viereck hat Innenwinkel 95∘\mathsf{95^\circ}, 85∘\mathsf{85^\circ} und 105∘\mathsf{105^\circ}. Berechne den fehlenden Winkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      360∘−(95∘+85∘+105∘)=75∘\mathsf{360^\circ-(95^\circ+85^\circ+105^\circ)=75^\circ}

    Ergebnis

    1. Fehlender Winkel75∘\mathsf{75^\circ}
  4. Aufgabe 4Winkelsumme · standardZerlege das vorgegebene konvexe Fünfeck durch Diagonalen vom Eckpunkt A aus in Dreiecke. Nummeriere die Dreiecke und notiere darunter die Anzahl.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Dreieckszerlegung

    Leere Zeichenvorlage mit vorgegebenen Achsen, Rasterlinien und Punkten; gesuchte Ergänzungen fehlen.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Von A aus sind C und D die nicht benachbarten Eckpunkte.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Zeichne AC und AD; es entstehen die Dreiecke ABC, ACD und ADE.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. DreieckszerlegungDiagonalen AC und AD; drei nummerierte Dreiecke.
    2. Anzahl3\mathsf{3}
  5. Aufgabe 5Winkelsumme · standardVier Innenwinkel eines einfachen Fünfecks messen 100∘\mathsf{100^\circ}, 110∘\mathsf{110^\circ}, 120∘\mathsf{120^\circ} und 90∘\mathsf{90^\circ}. Bestimme den fünften Winkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      S5=540∘\mathsf{S_5=540^\circ}
      540∘−(100∘+110∘+120∘+90∘)=120∘\mathsf{540^\circ-(100^\circ+110^\circ+120^\circ+90^\circ)=120^\circ}

    Ergebnis

    1. Fünfter Winkel120∘\mathsf{120^\circ}
  6. Aufgabe 6Winkelsumme · transferBerechne einen Innenwinkel eines regelmäßigen Zehnecks.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      S10=8⋅180∘=1440∘\mathsf{S_{10}=8\cdot180^\circ=1440^\circ}
      α=1440∘:10=144∘\mathsf{\alpha=1440^\circ:10=144^\circ}

    Ergebnis

    1. Innenwinkel144∘\mathsf{144^\circ}
  7. Aufgabe 7Winkelsumme · transferDie Innenwinkelsumme eines einfachen Vielecks beträgt 1260∘\mathsf{1260^\circ}. Wie viele Ecken hat es?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      n−2=1260:180=7\mathsf{n-2=1260:180=7}
      n=9\mathsf{n=9}

    Ergebnis

    1. Eckenzahl9\mathsf{9}

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich erkenne Scheitel und den gemeinten Winkelbereich.
  • Ich kann das jeweilige Verfahren an einer eigenen Zeichnung erklären.
  • Ich prüfe Voraussetzungen und begründe mein Ergebnis.

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