Integrationsmethoden und Flächen · Erklären & üben

Integration durch Substitution

Substitution ersetzt eine innere Funktion durch eine neue Variable. Passt ihre Ableitung zum übrigen Faktor, wird aus einer Verkettung ein einfacher zu berechnendes Integral.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die Kettenregel rückwärts nutzen

Ist F eine Stammfunktion von f, ergibt die Kettenregel $\mathsf{\frac{d}{dx}F(g(x))=f(g(x))g^{\prime}(x)}$ . Daher gilt:

\mathsf{\int f(g(x))g^{\prime}(x)\,dx=F(g(x))+C}

Wir verwenden stetige Integranden und stetig differenzierbare innere Funktionen auf dem betrachteten Intervall. Mit $\mathsf{u=g(x)}$ schreiben wir $\mathsf{du=g^{\prime}(x)\,dx}$ . Dieses Differential hält den benötigten Faktor fest.

Ersetze den gesamten Integranden einschließlich dx. Im umgeformten Integral dürfen keine ungeklärten x-Terme übrig bleiben.

Vier Schritte der Substitution mit passender innerer Ableitung.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\int2x(x^2+1)^3\,dx}$ .

\mathsf{u=x^2+1}

\mathsf{du=2x\,dx}

\mathsf{\int2x(x^2+1)^3\,dx=\int u^3\,du}

\mathsf{\int u^3\,du=u^4/4+C}

\mathsf{F(x)=\frac{(x^2+1)^4}{4}+C}

Erklärung 02

Lineare Substitution und fehlende Faktoren

Für $\mathsf{u=ax+b}$ ist $\mathsf{du=a\,dx}$ . Falls $\mathsf{a\ne0}$ , folgt $\mathsf{dx=du/a}$ . Der Faktor $\mathsf{1/a}$ darf nicht verloren gehen.

Bei einer nichtlinearen inneren Funktion kann oft ein konstanter Faktor ausgeglichen werden. Beispiel: Für $\mathsf{u=x^2+1}$ gilt $\mathsf{x\,dx=du/2}$ . Dabei wird das gesamte Produkt ersetzt; eine Division durch x ist nicht nötig.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\int(3x+2)^4\,dx}$ .

\mathsf{u=3x+2}

\mathsf{du=3\,dx}

\mathsf{dx=\frac13\,du}

\mathsf{\int(3x+2)^4\,dx=\frac13\int u^4\,du}

\mathsf{F(x)=\frac{(3x+2)^5}{15}+C}

Erklärung 03

Bestimmte Integrale: neue Grenzen

Für $\mathsf{u=g(x)}$ werden die alten Grenzen a und b zu $\mathsf{g(a)}$ und $\mathsf{g(b)}$ . Dann wertest du das u-Integral vollständig mit den neuen Grenzen aus.

Alternativ bestimmst du zuerst eine Stammfunktion in x durch Rücksubstitution und setzt anschließend die ursprünglichen x-Grenzen ein. Beide Wege funktionieren; vermische sie nicht.

Gegenüberstellung von Grenzentransformation und Rücksubstitution.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\int_0^1 2x e^{x^2}\,dx}$ mit neuen Grenzen.

\mathsf{u=x^2}

\mathsf{du=2x\,dx}

\mathsf{x=0\Rightarrow u=0}

\mathsf{x=1\Rightarrow u=1}

\mathsf{\int_0^1 2xe^{x^2}\,dx=\int_0^1e^u\,du}

\mathsf{[e^u]_0^1=e-1}

Erklärung 04

Logarithmischer Spezialfall

Für eine differenzierbare Funktion g ohne Nullstelle auf dem betrachteten Intervall gilt:

\mathsf{\int\frac{g^{\prime}(x)}{g(x)}\,dx=\operatorname{\textsf{ln}}|g(x)|+C}

Der Betrag erlaubt positive und negative Werte von g. An Nullstellen von g ist der Integrand nicht definiert; Stammfunktionen gelten getrennt auf passenden Intervallen.

So geht es am Beispiel

Integriere $\mathsf{\frac{2x}{x^2-4}}$ .

\mathsf{u=x^2-4}

\mathsf{du=2x\,dx}

\mathsf{\int\frac{2x}{x^2-4}\,dx=\int\frac1u\,du}

\mathsf{F(x)=\operatorname{\textsf{ln}}|x^2-4|+C}

Erklärung 05

Vor dem Rechnen die Methode wählen

Bei $\mathsf{2xe^{x^2}}$ passt die innere Ableitung 2x. Bei $\mathsf{xe^x}$ vereinfacht diese Idee den Term nicht passend; dort hilft die partielle Integration.

Bei $\mathsf{x(x+1)}$ genügt Ausmultiplizieren. Nicht jedes Produkt benötigt eine neue Integrationsmethode. Prüfe eine Stammfunktion durch Ableiten.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Integration durch Substitution · EinstiegBerechne $\mathsf{\int4x(x^2+3)^2\,dx}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u=x^2+3}$
  $\mathsf{du=2x\,dx}$
  $\mathsf{4x\,dx=2\,du}$
  $\mathsf{2\int u^2\,du=2u^3/3+C}$
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{F(x)=\frac23(x^2+3)^3+C}$ .
02
Aufgabe 2Integration durch Substitution · EinstiegBerechne $\mathsf{\int e^{5x-1}\,dx}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u=5x-1}$
  $\mathsf{du=5\,dx}$
  $\mathsf{dx=du/5}$
  $\mathsf{\frac15\int e^u\,du=\frac15e^u+C}$
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{F(x)=e^{5x-1}/5+C}$ .
03
Aufgabe 3Integration durch Substitution · StandardIntegriere $\mathsf{\operatorname{\textsf{cos}}(2x+1)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u=2x+1}$
  $\mathsf{du=2\,dx}$
  $\mathsf{\int\operatorname{\textsf{cos}}(2x+1)\,dx=\frac12\int\operatorname{\textsf{cos}}u\,du}$
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{F(x)=\frac12\operatorname{\textsf{sin}}(2x+1)+C}$ .
04
Aufgabe 4Integration durch Substitution · StandardBerechne $\mathsf{\int_0^2 x(x^2+1)^2\,dx}$ mit neuen Grenzen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u=x^2+1}$
  $\mathsf{x\,dx=du/2}$
  $\mathsf{x=0\Rightarrow u=1}$
  $\mathsf{x=2\Rightarrow u=5}$
  $\mathsf{\frac12\int_1^5u^2\,du=[u^3/6]_1^5}$
  $\mathsf{125/6-1/6=62/3}$
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisDas Integral beträgt $\mathsf{62/3}$ .
05
Aufgabe 5Integration durch Substitution · StandardBerechne $\mathsf{\int_0^1(2x+1)^3\,dx}$ durch Rücksubstitution vor dem Einsetzen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u=2x+1}$
  $\mathsf{dx=du/2}$
  $\mathsf{F(x)=\frac12\cdot\frac{(2x+1)^4}{4}}$
  $\mathsf{F(1)-F(0)=81/8-1/8=10}$
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisDas Integral beträgt 10.
06
Aufgabe 6Integration durch Substitution · StandardIntegriere $\mathsf{\frac3{3x-6}}$ und nenne die zulässigen Intervalle.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u=3x-6}$
  $\mathsf{du=3\,dx}$
  $\mathsf{\int du/u=\operatorname{\textsf{ln}}|u|+C}$
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{F(x)=\operatorname{\textsf{ln}}|3x-6|+C}$ auf $\mathsf{(-\infty,2)}$ oder $\mathsf{(2,\infty)}$ .
07
Aufgabe 7Integration durch Substitution · StandardBerechne $\mathsf{\int_0^1\frac{2x}{x^2+1}\,dx}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u=x^2+1}$
  $\mathsf{du=2x\,dx}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Neue Grenzen: 1 und 2.
  $\mathsf{\int_1^2du/u=[\operatorname{\textsf{ln}}u]_1^2}$
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisDas Integral beträgt $\mathsf{\operatorname{\textsf{ln}}2}$ .
08
Aufgabe 8Integration durch Substitution · VertiefungWarum ist $\mathsf{\operatorname{\textsf{ln}}|x|}$ keine Begründung dafür, $\mathsf{\int_{-1}^1 1/x\,dx}$ gewöhnlich auszuwerten?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Bei 0 ist 1/x nicht definiert.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Stammfunktion gilt auf zwei getrennten Intervallen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Das Integrationsintervall überquert die Lücke.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisDie gewöhnliche Auswertung über die Stelle 0 ist unzulässig.
09
Aufgabe 9Integration durch Substitution · VertiefungJemand setzt bei $\mathsf{\int_0^1e^{2x}\,dx}$ u = 2x, schreibt aber $\mathsf{\int_0^1e^u\,du}$ . Korrigiere Faktor und Grenzen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{du=2\,dx}$
  $\mathsf{dx=du/2}$
  $\mathsf{x=1\Rightarrow u=2}$
  $\mathsf{\int_0^1e^{2x}\,dx=\frac12\int_0^2e^u\,du}$
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisDas Ergebnis ist $\mathsf{(e^2-1)/2}$ .
10
Aufgabe 10Integration durch Substitution · VertiefungWähle für a) $\mathsf{2x\operatorname{\textsf{cos}}(x^2)}$ , b) $\mathsf{xe^x}$ , c) $\mathsf{x(x+2)}$ eine passende Methode.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  a) Innere Funktion $\mathsf{x^2}$ , Ableitung 2x: Substitution.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  b) x wird beim Ableiten einfacher: partielle Integration.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  c) Ausmultiplizieren ergibt $\mathsf{x^2+2x}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnisa) Substitution; b) partielle Integration; c) Potenz- und Summenregel.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich wähle Substitution, partielle Integration oder eine einfachere Umformung.
Ich führe Differential, Kettenfaktor und Randterme vollständig mit.
Ich verwende passende Grenzen und beachte Definitionsintervalle.

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