Integrationsmethoden und Flächen · Erklären & üben

Partielle Integration

Bei der partiellen Integration wird ein Produktintegral in einen Produktterm und ein neues Integral umgeformt. Eine gute Wahl der Faktoren macht das neue Integral einfacher.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die Produktregel rückwärts lesen

Die Produktregel lautet $\mathsf{(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}}$ . Nach Umstellen und Integrieren ergibt sich:

\mathsf{\int u(x)v^{\prime}(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u^{\prime}(x)v(x)\,dx}

Für bestimmte Integrale gilt bei stetig differenzierbaren u und v auf [a,b]:

\mathsf{\int_a^b uv^{\prime}\,dx=[uv]_a^b-\int_a^b u^{\prime}v\,dx}

Der Randterm ist $\mathsf{u(b)v(b)-u(a)v(a)}$ . Das Minus vor dem verbleibenden Integral bleibt erhalten.

Erklärung 02

Die Faktoren sinnvoll zuordnen

Wähle u möglichst so, dass seine Ableitung einfacher wird. Für $\mathsf{v^{\prime}}$ sollte eine Stammfunktion v bekannt sein. Schreibe alle vier Größen vor dem Einsetzen auf.

Zuordnung der vier Größen für die partielle Integration von x mal e hoch x.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\int xe^x\,dx}$ .

\mathsf{u=x}

\mathsf{u^{\prime}=1}

\mathsf{v^{\prime}=e^x}

\mathsf{v=e^x}

\mathsf{\int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx}

\mathsf{F(x)=xe^x-e^x+C}

Erklärung 03

Ein Faktor kann unsichtbar sein

Den Logarithmus kannst du als Produkt $\mathsf{\operatorname{\textsf{ln}}x\cdot1}$ auffassen. Sein Ableiten vereinfacht den Term. Beachte dabei $\mathsf{x>0}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\int\operatorname{\textsf{ln}}x\,dx}$ für $\mathsf{x>0}$ .

\mathsf{u=\operatorname{\textsf{ln}}x}

\mathsf{u^{\prime}=1/x}

\mathsf{v^{\prime}=1}

\mathsf{v=x}

\mathsf{\int\operatorname{\textsf{ln}}x\,dx=x\operatorname{\textsf{ln}}x-\int x\cdot\frac1x\,dx}

\mathsf{F(x)=x\operatorname{\textsf{ln}}x-x+C}

Erklärung 04

Bestimmtes Integral vollständig auswerten

Für ein bestimmtes Integral brauchst du keine Integrationskonstante. Berechne den Randterm und das Restintegral getrennt und ziehe anschließend ab.

Rechenschema mit getrenntem Randterm, Restintegral und Subtraktion.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\int_0^1xe^x\,dx}$ .

\mathsf{u=x,\quad u^{\prime}=1}

\mathsf{v^{\prime}=e^x,\quad v=e^x}

\mathsf{\int_0^1xe^x\,dx=[xe^x]_0^1-\int_0^1e^x\,dx}

\mathsf{[xe^x]_0^1=e}

\mathsf{\int_0^1e^x\,dx=e-1}

\mathsf{e-(e-1)=1}

Erklärung 05

Mehrere Schritte und Methodenwahl

Bei $\mathsf{x^2e^x}$ wird der Potenzfaktor zunächst von $\mathsf{x^2}$ zu 2x. Eine zweite partielle Integration beendet die Rechnung.

Die Methode ist kein Zwang für jedes Produkt: $\mathsf{x(x+1)}$ lässt sich ausmultiplizieren, und bei $\mathsf{2xe^{x^2}}$ passt die Substitution.

Entscheidend ist, ob das neue Integral einfacher wird. Behalte das Vorzeichen im Blick und prüfe unbestimmte Ergebnisse durch Ableiten.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\int x^2e^x\,dx}$ .

\mathsf{u=x^2,\quad u^{\prime}=2x}

\mathsf{v^{\prime}=e^x,\quad v=e^x}

\mathsf{\int x^2e^x\,dx=x^2e^x-2\int xe^x\,dx}

\mathsf{\int xe^x\,dx=xe^x-e^x+C}

\mathsf{F(x)=x^2e^x-2xe^x+2e^x+C}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Partielle Integration · EinstiegOrdne für $\mathsf{\int xe^{2x}\,dx}$ die Größen u, u′, v′ und v zu.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u=x}$
  $\mathsf{u^{\prime}=1}$
  $\mathsf{v^{\prime}=e^{2x}}$
  $\mathsf{v=e^{2x}/2}$
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisDie Stammfunktion v benötigt den Faktor 1/2.
02
Aufgabe 2Partielle Integration · EinstiegBerechne $\mathsf{\int xe^{2x}\,dx}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\int xe^{2x}\,dx=\frac{x}{2}e^{2x}-\frac12\int e^{2x}\,dx}$
  $\mathsf{F(x)=\frac{x}{2}e^{2x}-\frac14e^{2x}+C}$
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{F(x)=(x/2-1/4)e^{2x}+C}$ .
03
Aufgabe 3Partielle Integration · StandardBerechne $\mathsf{\int x\operatorname{\textsf{cos}}x\,dx}$ im Bogenmaß.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u=x,\quad u^{\prime}=1}$
  $\mathsf{v^{\prime}=\operatorname{\textsf{cos}}x,\quad v=\operatorname{\textsf{sin}}x}$
  $\mathsf{F(x)=x\operatorname{\textsf{sin}}x-\int\operatorname{\textsf{sin}}x\,dx}$
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{F(x)=x\operatorname{\textsf{sin}}x+\operatorname{\textsf{cos}}x+C}$ .
04
Aufgabe 4Partielle Integration · StandardBerechne $\mathsf{\int x\operatorname{\textsf{sin}}x\,dx}$ im Bogenmaß.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u=x,\quad u^{\prime}=1}$
  $\mathsf{v^{\prime}=\operatorname{\textsf{sin}}x,\quad v=-\operatorname{\textsf{cos}}x}$
  $\mathsf{F(x)=-x\operatorname{\textsf{cos}}x+\int\operatorname{\textsf{cos}}x\,dx}$
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{F(x)=-x\operatorname{\textsf{cos}}x+\operatorname{\textsf{sin}}x+C}$ .
05
Aufgabe 5Partielle Integration · StandardBerechne $\mathsf{\int_1^e\operatorname{\textsf{ln}}x\,dx}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F(x)=x\operatorname{\textsf{ln}}x-x}$
  $\mathsf{F(e)=e-e=0}$
  $\mathsf{F(1)=0-1=-1}$
  $\mathsf{F(e)-F(1)=1}$
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisDas Integral beträgt 1.
06
Aufgabe 6Partielle Integration · StandardBerechne $\mathsf{\int_0^1x e^{-x}\,dx}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u=x,\quad u^{\prime}=1}$
  $\mathsf{v^{\prime}=e^{-x},\quad v=-e^{-x}}$
  $\mathsf{\int_0^1xe^{-x}\,dx=[-xe^{-x}]_0^1+\int_0^1e^{-x}\,dx}$
  $\mathsf{=-1/e+(1-1/e)}$
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisDas Integral beträgt $\mathsf{1-2/e}$ .
07
Aufgabe 7Partielle Integration · StandardBerechne $\mathsf{\int x\operatorname{\textsf{ln}}x\,dx}$ für $\mathsf{x>0}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u=\operatorname{\textsf{ln}}x,\quad u^{\prime}=1/x}$
  $\mathsf{v^{\prime}=x,\quad v=x^2/2}$
  $\mathsf{F(x)=\frac{x^2}{2}\operatorname{\textsf{ln}}x-\frac12\int x\,dx}$
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{F(x)=\frac{x^2}{2}\operatorname{\textsf{ln}}x-\frac{x^2}{4}+C}$ .
08
Aufgabe 8Partielle Integration · VertiefungBerechne $\mathsf{\int_0^1x^2e^x\,dx}$ mit der Stammfunktion aus dem Beispiel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F(x)=(x^2-2x+2)e^x}$
  $\mathsf{F(1)=e}$
  $\mathsf{F(0)=2}$
  $\mathsf{F(1)-F(0)=e-2}$
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisDas Integral beträgt $\mathsf{e-2}$ .
09
Aufgabe 9Partielle Integration · VertiefungEine Lösung behauptet $\mathsf{\int xe^x\,dx=xe^x+e^x+C}$ . Prüfe durch Ableiten und korrigiere.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(xe^x+e^x)^{\prime}=e^x+xe^x+e^x}$
  $\mathsf{=xe^x+2e^x}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Das Restintegral muss subtrahiert werden.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisRichtig: $\mathsf{xe^x-e^x+C}$ .
10
Aufgabe 10Partielle Integration · VertiefungEntscheide für a) $\mathsf{x(x+3)}$ , b) $\mathsf{2xe^{x^2}}$ , c) $\mathsf{x\operatorname{\textsf{sin}}x}$ über einen passenden ersten Schritt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  a) Ausmultiplizieren zu $\mathsf{x^2+3x}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  b) Substitution $\mathsf{u=x^2}$ , $\mathsf{du=2x\,dx}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  c) Partielle Integration mit $\mathsf{u=x}$ und $\mathsf{v^{\prime}=\operatorname{\textsf{sin}}x}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisNicht jedes Produkt wird am einfachsten partiell integriert.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich wähle Substitution, partielle Integration oder eine einfachere Umformung.
Ich führe Differential, Kettenfaktor und Randterme vollständig mit.
Ich verwende passende Grenzen und beachte Definitionsintervalle.

AT Academy · Version 2026-10-21