Integrale verstehen · Erklären & üben

Bestimmte und unbestimmte Integrale berechnen

Ein unbestimmtes Integral beschreibt Stammfunktionen. Ein bestimmtes Integral ist eine Zahl: die orientierte Bilanz über ein Intervall. Diese Zahl ist nicht automatisch die geometrische Fläche.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Familie oder Zahl

Ohne Grenzen steht das Integral für eine Familie F+C. Mit Grenzen a und b ist das Ergebnis eine Zahl; ein zusätzliches C gehört dann nicht ins Ergebnis.

Ist f auf [a,b] stetig und F eine Stammfunktion, gilt der Hauptsatz: Das bestimmte Integral ist F(b)−F(a). Die Reihenfolge obere Grenze minus untere Grenze ist entscheidend.

$\mathsf{\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)}$

So geht es am Beispiel

Berechne ∫ von 1 bis 3 über 2x dx.

$\mathsf{F(x)=x^2}$ — eine Stammfunktion.

$\mathsf{\int_1^3 2x\,dx=3^2-1^2}$ — Grenzen einsetzen.

$\mathsf{3^2-1^2=9-1}$ — Quadrate.

$\mathsf{9-1=8}$ — Differenz.

Erklärung 02

Regeln für die Grenzen

Vertauschst du die Grenzen, wechselt das Vorzeichen. Bei gleichen Grenzen ist das Integral null. Ein Intervall kann an einer Zwischenstelle aufgeteilt werden.

Konstante Faktoren bleiben erhalten, Summen und Differenzen dürfen gliedweise integriert werden. Diese Regeln gelten unter den jeweils nötigen Integrabilitätsvoraussetzungen; unsere Beispiele sind stetig auf dem ganzen Intervall.

$\mathsf{\int_b^a f=-\int_a^b f\qquad\int_a^a f=0}$

So geht es am Beispiel

Nutze ∫ von 1 bis 3 über 2x dx = 8.

$\mathsf{\int_3^1 2x\,dx=-8}$ — Grenzen umkehren.

$\mathsf{\int_2^2 2x\,dx=0}$ — gleiche Grenzen.

Erklärung 03

Vorzeichen und geometrische Fläche

Für a<b zählen Bereiche oberhalb der x-Achse positiv, Bereiche unterhalb negativ. Das Integral verrechnet beide Beiträge.

Für die geometrische Fläche zwischen Graph und x-Achse suchst du zuerst Nullstellen im Intervall und teilst dort auf. Dann addierst du die Beträge der Teilintegrale. Gleichwertig ist das Integral über |f|.

Ein Integralwert null bedeutet daher nicht, dass keine Fläche vorhanden ist. Positive und negative Beiträge können sich aufheben.

Gerade y=x mit korrekt skalierten Dreiecksflächen unterhalb und oberhalb der x-Achse zwischen −1 und 1.

So geht es am Beispiel

Vergleiche Integral und Fläche für f(x)=x auf [−1,1].

$\mathsf{F(x)=x^2/2}$ — Stammfunktion.

$\mathsf{\int_{-1}^1x\,dx=1/2-1/2=0}$ — orientierte Bilanz.

$\mathsf{\int_{-1}^0x\,dx=0-1/2=-1/2}$ — negativer Beitrag.

$\mathsf{\int_0^1x\,dx=1/2-0=1/2}$ — positiver Beitrag.

$\mathsf{A=|-1/2|+|1/2|=1}$ — Flächenbeträge addieren.

Erklärung 04

Beispiel mit Vorzeichenwechsel

Bei einem Vorzeichenwechsel wird die Zerlegung vor dem Einsetzen der Grenzen festgelegt. Verwende auf beiden Teilintervallen dieselbe Stammfunktion.

So geht es am Beispiel

Berechne Integral und Fläche für f(x)=2x−2 auf [0,3].

$\mathsf{2x-2=0\Rightarrow x=1}$ — Nullstelle im Intervall.

$\mathsf{F(x)=x^2-2x}$ — Stammfunktion.

$\mathsf{F(0)=0}$ — linker Rand.

$\mathsf{F(1)=-1}$ — Teilungsstelle.

$\mathsf{F(3)=3}$ — rechter Rand.

$\mathsf{\int_0^3f(x)\,dx=3-0=3}$ — Bilanz.

$\mathsf{A=|-1-0|+|3-(-1)|}$ — Teilflächen.

$\mathsf{A=1+4=5}$ — addieren.

Erklärung 05

Definitionsbereich vor der Rechnung

Prüfe vor dem Hauptsatz, ob die Funktion auf dem Integrationsintervall stetig ist. Eine Polstelle darf nicht einfach durch Einsetzen in eine Stammfunktion übergangen werden.

Unendliche Grenzen oder Singularitäten erfordern uneigentliche Integrale mit getrennten Grenzwerten. Beispielsweise divergieren bei 1/x auf [−1,1] die beiden Teilintegrale an 0; ein reguläres Integral entsteht nicht durch vermeintliche Symmetrie.

Hier rechnen wir bestimmte Integrale stetiger Funktionen auf endlichen Intervallen. Uneigentliche Integrale und weiterführende Verfahren bleiben eigene Themen; breite Übersichten 4048 und 1863 sind nur Orientierung.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Bestimmte und unbestimmte Integrale berechnen · GrundlagenBerechne das unbestimmte Integral ∫(4x+3) dx und prüfe durch Ableiten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F(x)=2x^2+3x+C}$ — gliedweise aufleiten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F^{\prime}(x)=4x+3}$ — Probe.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{2x^2+3x+C}$
02
Aufgabe 2Bestimmte und unbestimmte Integrale berechnen · GrundlagenBerechne ∫ von 0 bis 2 über 3x² dx.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F(x)=x^3}$ — Stammfunktion.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F(2)-F(0)=8-0}$ — einsetzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{8-0=8}$ — ausrechnen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis8.
03
Aufgabe 3Bestimmte und unbestimmte Integrale berechnen · GrundlagenBerechne ∫ von 0 bis 1 über (2x−3) dx. Nenne auch die geometrische Fläche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F(x)=x^2-3x}$ — Stammfunktion.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F(1)-F(0)=-2-0=-2}$ — Bilanz.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  2x−3 ist auf [0,1] negativ.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{A=|-2|=2}$ — Fläche.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisIntegral −2, Fläche 2.
04
Aufgabe 4Bestimmte und unbestimmte Integrale berechnen · AnwendenGegeben ist ∫ von −1 bis 2 über f(x) dx = 7. Bestimme das Integral mit vertauschten Grenzen und das Integral von 2 bis 2.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Grenzen tauschen kehrt das Vorzeichen um.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Gleiche Grenzen liefern null.
Ergebnis
1. Antwort und Begründung−7 beziehungsweise 0.
05
Aufgabe 5Bestimmte und unbestimmte Integrale berechnen · AnwendenBerechne ∫ von 0 bis 1 über e hoch x dx.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F(x)=e^x}$ — Stammfunktion.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F(1)-F(0)=e^1-e^0}$ — einsetzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{e^1-e^0=e-1}$ — vereinfachen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{e-1}$
06
Aufgabe 6Bestimmte und unbestimmte Integrale berechnen · AnwendenBerechne ∫ von 1 bis 2 über 1/x dx. Begründe die Anwendbarkeit.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  1/x ist auf [1,2] stetig; 0 liegt nicht im Intervall.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F(x)=\ln x}$ — Stammfunktion auf x>0.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F(2)-F(1)=\ln2-\ln1}$ — Grenzen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\ln2-\ln1=\ln2}$ — ln1=0.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{\ln2}$
07
Aufgabe 7Bestimmte und unbestimmte Integrale berechnen · AnwendenBestimme Integral und geometrische Fläche für f(x)=x−1 auf [0,3].Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x-1=0\Rightarrow x=1}$ — aufteilen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F(x)=x^2/2-x}$ — Stammfunktion.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F(0)=0}$ — Rand.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F(1)=-1/2}$ — Nullstelle.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F(3)=3/2}$ — Rand.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{I=3/2-0=3/2}$ — Bilanz.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{A=|-1/2|+|3/2-(-1/2)|=5/2}$ — Flächen.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisIntegral $\mathsf{3/2}$ , Fläche $\mathsf{5/2}$ .
08
Aufgabe 8Bestimmte und unbestimmte Integrale berechnen · VertiefenWarum darf ∫ von −1 bis 1 über 1/x dx nicht als ln|1|−ln|−1|=0 berechnet werden?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Funktion ist bei 0 nicht definiert und hat dort eine Polstelle.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Voraussetzungen des hier verwendeten Hauptsatzes fehlen.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Bei getrennter Annäherung an 0 divergieren die Teilintegrale; ihre gegensätzlichen Unendlichkeiten dürfen nicht als Summe 0 behandelt werden.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungKein gewöhnliches bestimmtes Integral; das uneigentliche Integral konvergiert nicht.
09
Aufgabe 9Bestimmte und unbestimmte Integrale berechnen · VertiefenSchraffiere für die gegebene Gerade f(x)=x auf [−1,1] die beiden Teilflächen. Kennzeichne positive und negative Integralbeiträge und nenne Gesamtintegral und Fläche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{I_{links}=-1/2}$ — unterhalb der Achse.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{I_{rechts}=1/2}$ — oberhalb.
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{I=0}$ — Bilanz.
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{A=1}$ — Beträge addieren.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungIntegral 0; Fläche 1.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich beachte Definitionsbereich und Ausnahmen der Potenzregel.
Ich unterscheide Stammfunktionenfamilie und Integralzahl.
Ich trenne orientierte Bilanz und geometrische Fläche.

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