Integrale verstehen · Erklären & üben

Stammfunktionen bilden

Eine Stammfunktion F zu f erfüllt F′=f. Beim Aufleiten suchst du also eine Funktion, deren Ableitung der vorgegebene Term ist.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Eine Funktion und ihre ganze Familie

Wenn F eine Stammfunktion ist, ist auch F+C eine Stammfunktion: Die Ableitung jeder Konstanten ist null. Auf einem Intervall unterscheiden sich alle Stammfunktionen nur durch eine Konstante.

Die Schreibweise eines unbestimmten Integrals beschreibt diese Familie. C ist eine beliebige reelle Zahl. Eine zusätzliche Bedingung wie F(0)=3 legt C fest.

$\mathsf{\int f(x)\,dx=F(x)+C}$

Gleich skalierte Parabeln x² und x²+2: gleiche Ableitung 2x, unterschiedliche vertikale Lage.

So geht es am Beispiel

Bilde alle Stammfunktionen zu f(x)=2x.

$\mathsf{F(x)=x^2+C}$ — Potenz um eins erhöhen und passenden Faktor wählen.

$\mathsf{F^{\prime}(x)=2x+0}$ — Ableitungsprobe.

$\mathsf{F^{\prime}(x)=2x}$ — vereinfachen.

Erklärung 02

Potenzregel mit Ausnahme

Für x hoch n erhöhst du den Exponenten um eins und teilst durch den neuen Exponenten. Voraussetzung ist n≠−1. Bei n=−1 würde der neue Nenner null; dafür brauchst du die Logarithmusregel.

Für beliebige reelle n verwenden wir die Regel auf x>0. Bei nichtnegativen ganzen n gilt sie auf ganz R; negative ganze Potenzen werden auf Intervallen ohne 0 betrachtet.

Konstante Faktoren bleiben erhalten. Summen und Differenzen werden gliedweise integriert. Eine Konstante k wird zu kx, nicht zu null.

$\mathsf{\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\ne-1)}$

So geht es am Beispiel

Bilde Stammfunktionen zu f(x)=6x²−4x+3.

$\mathsf{F(x)=6\cdot\frac{x^3}3-4\cdot\frac{x^2}2+3x+C}$ — gliedweise aufleiten.

$\mathsf{F(x)=2x^3-2x^2+3x+C}$ — Faktoren vereinfachen.

$\mathsf{F^{\prime}(x)=6x^2-4x+3}$ — Probe.

Erklärung 03

Brüche, Wurzeln und der Logarithmus

Schreibe Brüche und Wurzeln zuerst als Potenzen, sofern das den Term vereinfacht. Bei der Quadratwurzel nutzen wir für die gewöhnliche Ableitung x>0.

Für 1/x ist ln|x| eine Stammfunktion auf jedem Intervall ohne 0. Die positiven und negativen Halbgeraden sind getrennte Intervalle; ihre Konstanten müssen nicht übereinstimmen.

$\mathsf{\int\frac1x\,dx=\ln|x|+C\quad(x\ne0)}$

So geht es am Beispiel

Bilde Stammfunktionen zu f(x)=√x.

$\mathsf{f(x)=x^{1/2}}$ — als Potenz schreiben.

$\mathsf{F(x)=\frac{x^{3/2}}{3/2}+C}$ — Potenzregel.

$\mathsf{F(x)=\frac23x^{3/2}+C}$ — Bruch vereinfachen.

$\mathsf{F^{\prime}(x)=\frac23\cdot\frac32x^{1/2}}$ — Probe.

$\mathsf{F^{\prime}(x)=\sqrt{x}}$ — Faktoren kürzen.

Erklärung 04

Bekannte Funktionsfamilien und Probe

Eine Stammfunktion von e hoch x ist e hoch x. Zu sin x gehört −cos x; zu cos x gehört sin x. Die trigonometrischen Formeln gelten im Bogenmaß.

Für ln x auf x>0 lautet eine Stammfunktion x ln x−x. Die Produktregel bestätigt das: (x ln x−x)′=ln x+1−1=ln x.

Bei komplizierten Produkten oder Verkettungen reichen diese Grundregeln nicht immer. Partielle Integration und Substitution sind eigene Methoden; hier wird keine vollständige Behandlung dieser Verfahren behauptet.

So geht es am Beispiel

Bilde Stammfunktionen zu f(x)=2e hoch x−3sin x.

$\mathsf{F(x)=2e^x+3\cos x+C}$ — bekannte Stammfunktionen.

$\mathsf{F^{\prime}(x)=2e^x-3\sin x}$ — Probe mit Kosinusableitung.

Erklärung 05

Zusatzbedingung bestimmt C

Erst die ganze Familie bilden, dann die Zusatzbedingung einsetzen. Eine vorgegebene Stelle bestimmt nicht den Ableitungsterm, sondern die vertikale Lage der Stammfunktion.

So geht es am Beispiel

Gesucht ist F′(x)=2x mit F(1)=5.

$\mathsf{F(x)=x^2+C}$ — Familie.

$\mathsf{5=1^2+C}$ — Bedingung einsetzen.

$\mathsf{5=1+C}$ — Quadrat ausrechnen.

$\mathsf{C=4}$ — 1 abziehen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Stammfunktionen bilden · GrundlagenBilde alle Stammfunktionen zu $\mathsf{f(x)=8}$ und bestätige durch Ableiten. Beachte den Bereich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{8=8x^0}$ — konstanten Term erkennen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F(x)=8x+C}$ — aufleiten.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F^{\prime}(x)=8}$ — Ableitungsprobe.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{8x+C}$ auf R.
02
Aufgabe 2Stammfunktionen bilden · GrundlagenBilde alle Stammfunktionen zu $\mathsf{f(x)=3x^2-2}$ und bestätige durch Ableiten. Beachte den Bereich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F(x)=x^3-2x+C}$ — passende Potenz- oder Grundregel anwenden.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F^{\prime}(x)=3x^2-2}$ — Ableitungsprobe.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{x^3-2x+C}$ auf R.
03
Aufgabe 3Stammfunktionen bilden · GrundlagenBilde alle Stammfunktionen zu $\mathsf{f(x)=4x^{-3}}$ und bestätige durch Ableiten. Beachte den Bereich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F(x)=-2x^{-2}+C}$ — passende Potenz- oder Grundregel anwenden.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F^{\prime}(x)=4x^{-3}}$ — Ableitungsprobe.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{-2x^{-2}+C}$ auf jedem Intervall ohne 0.
04
Aufgabe 4Stammfunktionen bilden · AnwendenBilde alle Stammfunktionen zu $\mathsf{f(x)=3\sqrt{x}}$ und bestätige durch Ableiten. Beachte den Bereich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F(x)=2x^{3/2}+C}$ — passende Potenz- oder Grundregel anwenden.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F^{\prime}(x)=3\sqrt{x}}$ — Ableitungsprobe.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{2x^{3/2}+C}$ für x>0.
05
Aufgabe 5Stammfunktionen bilden · AnwendenBilde alle Stammfunktionen zu $\mathsf{f(x)=2/x}$ und bestätige durch Ableiten. Beachte den Bereich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F(x)=2\ln|x|+C}$ — passende Potenz- oder Grundregel anwenden.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F^{\prime}(x)=2/x}$ — Ableitungsprobe.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{2\ln|x|+C}$ auf jedem Intervall ohne 0.
06
Aufgabe 6Stammfunktionen bilden · AnwendenBilde alle Stammfunktionen zu $\mathsf{f(x)=e^x+2\cos x}$ und bestätige durch Ableiten. Beachte den Bereich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F(x)=e^x+2\sin x+C}$ — passende Potenz- oder Grundregel anwenden.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F^{\prime}(x)=e^x+2\cos x}$ — Ableitungsprobe.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{e^x+2\sin x+C}$ auf R.
07
Aufgabe 7Stammfunktionen bilden · AnwendenBestimme F mit F′(x)=3x² und F(2)=1.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F(x)=x^3+C}$ — Familie.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1=8+C}$ — x=2 einsetzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{C=-7}$ — 8 abziehen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F^{\prime}(x)=3x^2}$ — Probe.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{F(x)=x^3-7}$
08
Aufgabe 8Stammfunktionen bilden · VertiefenJemand schreibt ∫1/x dx = x⁰/0+C. Erkläre den Fehler und gib eine gültige Familie an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Exponent ist −1; die Potenzregel schließt diesen Fall aus.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{F(x)=\ln|x|+C}$ auf einem Intervall ohne 0.
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{F^{\prime}(x)=1/x}$ — Probe.
Ergebnis
1. Antwort und Begründung $\mathsf{\ln|x|+C}$ ; keine Division durch 0.
09
Aufgabe 9Stammfunktionen bilden · VertiefenFür f(x)=2x ist F(x)=x² eine Stammfunktion. Zeichne rechts G mit G′(x)=2x und G(0)=2. Beschreibe den Unterschied zu F.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{G(x)=x^2+C}$ — Familie.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{2=0+C}$ — Bedingung einsetzen.
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{C=2}$ — bestimmen.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungG(x)=x²+2; um 2 nach oben verschoben, gleiche Ableitung.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich beachte Definitionsbereich und Ausnahmen der Potenzregel.
Ich unterscheide Stammfunktionenfamilie und Integralzahl.
Ich trenne orientierte Bilanz und geometrische Fläche.

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