Datentypen und Skalen · Erklären & üben

Intervallskala

Bei einer Intervallskala sind Abstände zwischen Werten sinnvoll, ihr Nullpunkt ist aber frei gewählt. Du interpretierst Temperaturen und Datumsabstände und erkennst zulässige Umrechnungen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Gleiche Abstände und freier Nullpunkt

Eine Intervallskala hat eine Ordnung und vergleichbare Differenzen. Der Nullpunkt ist ein Bezugspunkt; er bedeutet nicht das Fehlen der gemessenen Eigenschaft. Auf der Celsius-Skala ist der Abstand zwischen10°C und20°C genauso groß wie zwischen20°C und30°C. Quotienten der Celsiuswerte haben deshalb noch keine Bedeutung als Wärmeverhältnis.

Prüfe die Gleichheit von Differenzen.
Trenne den Bezugspunkt von einem natürlichen Nullpunkt.

Abstände sind sinnvoll; Verhältnisse von Werten sind ohne natürlichen Nullpunkt nicht begründet.

Skalenvergleich mit Gleichheit, Ordnung, Abständen und Nullpunkt.

So geht es am Beispiel

Vergleiche10°C,20°C und30°C. Welche Aussage liefern die benachbarten Abstände?

20minus10 ist10,30minus20 ist ebenfalls10.

Der gleiche Abstand sagt nichts über ein Verdoppeln der Temperatur anhand der Celsiuswerte aus.

Erklärung 02

Skala verschieben und Einheit ändern

Eine positive lineare Umrechnung mit zusätzlichem konstantem Versatz erhält die Intervallstruktur: y=a·x+b mit a>0. Differenzen werden mit a multipliziert; der Versatz b fällt beim Subtrahieren weg. Bei Celsius und Fahrenheit gilt°F=1,8·°C+32. Der neue Nullpunkt verändert Quotienten, während Abstandsvergleiche erhalten bleiben.

Wende dieselbe Umrechnung auf alle Werte an.
Vergleiche Differenzen in jeweils derselben Einheit.

Eine positive affine Transformation erhält Ordnung und Gleichheit von Abständen.

Zwei beschriftete Darstellungen zur Einordnung der Messwerte.

So geht es am Beispiel

Rechne10°C und20°C in Fahrenheit um und vergleiche die Differenzen.

10°C ergeben1,8·10+32=50°F;20°C ergeben68°F.

Die Differenz von10°C entspricht18°F. Der Quotient68/50 ist nicht20/10.

Erklärung 03

Datum, Mittelwert und Abgrenzung

Zeitpunkte können relativ zu einem frei gewählten Bezugstag in Tagen gemessen werden. Zeitabstände sind dann sinnvoll. Kalenderdaten müssen dafür in eine gemeinsame Zeiteinheit umgerechnet werden; Monatsnummern sind keine gleich langen Zeitabstände. Eine Zeitdauer hat dagegen einen natürlichen Nullpunkt und ist verhältnisskaliert. Eine bloße Kategorienkennung bleibt nominal.

Unterscheide einen Zeitpunkt von einer Dauer.
Wähle für Differenzen eine einheitliche Zeitdarstellung.

Eine Differenz zwischen Zeitpunkten ist eine Dauer; das Verhältnis ihrer Kalenderzahlen ist keine Dauerrelation.

So geht es am Beispiel

Vergleiche den2.,12. und22.Januar desselben Jahres. Welche Abstände liegen vor?

Vom2. bis zum12.Januar vergehen10Tage.

Vom12. bis zum22.Januar vergehen ebenfalls10Tage.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Intervallskala · EinstiegBestimme den Temperaturanstieg von−5°C auf7°C.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Anstieg
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Sieben minus minus fünf ergibt zwölf. Der negative Ausgangswert ist auf dieser Intervallskala zulässig.
Ergebnis
1. Anstieg12 °C
02
Aufgabe 2Intervallskala · EinstiegWarum bedeutet0°C nicht, dass keine Temperatur vorhanden ist?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Celsiusnull ist ein gewählter Bezugspunkt. Er ist kein natürlicher Nullpunkt der Temperaturgröße.
Ergebnis
1. Begründung0°C ist ein Bezugspunkt und nicht das Fehlen von Temperatur.
03
Aufgabe 3Intervallskala · StandardRechne0°C und10°C mit°F=1,8·°C+32 in Fahrenheit um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erster Wert
Zweiter Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Für0°C erhältst du32°F. Für10°C erhältst du50°F.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erster Wert32 °F
2. Zweiter Wert50 °F
04
Aufgabe 4Intervallskala · StandardEine Temperatur von20°C wird als doppelt so warm wie10°C bezeichnet. Widerlege die Begründung allein durch den Celsiusquotienten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die gleichen Temperaturen sind68°F und50°F. Der Quotient ändert sich mit dem Nullpunkt.
Ergebnis
1. BegründungEin Wärmeverhältnis wird durch Celsiusquotienten nicht begründet; nach Umrechnung ist68/50 ungleich2.
05
Aufgabe 5Intervallskala · TransferTrage die Häufigkeiten der Messwerte0°C,10°C und20°C ein:2,3,1. Sind negative Messwerte auf derselben Skala grundsätzlich erlaubt?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Häufigkeitsdiagramm
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Häufigkeitsdiagramm
Entscheidung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Säulenhöhen sind2,3,1. Da der Nullpunkt frei gewählt ist, sind Werte unter null möglich.
Ergebnisse & Teilantworten
1. HäufigkeitsdiagrammDie geschützte Musterzeichnung zeigt die vorgegebenen Häufigkeiten.
2. EntscheidungJa. Negative Celsiuswerte sind möglich.
06
Aufgabe 6Intervallskala · TransferOrdne einen Kalenderzeitpunkt, eine Zeitdauer in Sekunden und eine Postleitzahl ein.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Einordnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Zeitpunkt hat einen gewählten Bezugspunkt. Eine Dauer hat einen natürlichen Nullpunkt. Die Postleitzahl ist eine Kennung.
Ergebnis
1. EinordnungZeitpunkt intervallskaliert; Dauer verhältnisskaliert; Postleitzahl nominal.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich beurteile die Bedeutung der Werte statt nur ihre Schreibweise.
Ich begründe, ob Ordnung, Abstände und ein natürlicher Nullpunkt vorliegen.
Ich nutze nur Kennzahlen und Vergleiche, die durch die Skala gerechtfertigt sind.

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