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Datentypen und Skalen · Erklären & üben

Kardinalskala

Kardinalskala ist ein Sammelbegriff für metrische Skalen. Du arbeitest mit interpretierbaren Abständen und unterscheidest dabei frei gewählte von natürlichen Nullpunkten.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Messbare Abstände statt bloßer Rangfolge

Bei einer kardinalen oder metrischen Skala haben Differenzen eine inhaltliche Bedeutung. Die Bezeichnungen werden hier synonym verwendet. Metrische Daten können diskret sein, etwa die Anzahl von Anrufen, oder kontinuierlich modelliert werden, etwa eine Länge. Die Schreibweise mit Dezimalstellen entscheidet darüber nicht.

  1. Prüfe, ob eine Differenz eine Größe mit Bedeutung und Einheit ist.

  2. Trenne Messniveau und diskrete bzw. stetige Modellierung.

Metrische Werte erlauben begründete Abstandsvergleiche.

Skalenvergleich mit Gleichheit, Ordnung, Abständen und Nullpunkt.

So geht es am Beispiel

Drei Längen betragen100cm,120cm und140cm. Vergleiche die Abstände und bestimme den Mittelwert.

Die benachbarten Längen unterscheiden sich jeweils um20cm.

Die Summe beträgt360cm; geteilt durch drei erhältst du120cm.

Ergebnis

Beide Abstände sind20cm; der Mittelwert ist120cm.

Erklärung 02

Intervall und Verhältnis getrennt behandeln

Intervallskalen besitzen interpretierbare Abstände, aber einen frei gewählten Nullpunkt. Die Celsius-Skala ist ein Beispiel. Verhältnisskalen haben zusätzlich einen natürlichen Nullpunkt; bei Längen oder Massen sind deshalb Verhältnisse sinnvoll. Ein Temperaturunterschied von zehn Celsiusgraden bedeutet nicht einen bestimmten Quotienten der Temperaturen.

  1. Prüfe den Nullpunkt getrennt von den Abständen.

  2. Vergleiche Verhältnisse nur bei einer passenden Verhältnisskala.

Jede Verhältnisskala ist metrisch; eine metrische Skala muss keine Verhältnisskala sein.

Zwei beschriftete Darstellungen zur Einordnung der Messwerte.

So geht es am Beispiel

Warum ist20°C nicht im durch die Celsiuswerte begründeten Sinn doppelt so warm wie10°C, obwohl20kg die doppelte Masse von10kg sind?

Celsiusnull ist ein gewählter Bezugspunkt und bedeutet nicht das Fehlen von Temperatur.

Bei Masse bedeutet null das Fehlen der gemessenen Größe.

Ergebnis

Celsiusdifferenzen sind sinnvoll, ein Wärmeverhältnis aus Celsiusquotienten nicht. Das Massenverhältnis beträgt zwei.

Erklärung 03

Einheit, Mittelwert und Informationsverlust

Messwerte müssen vor einer gemeinsamen Rechnung vergleichbar und auf dieselbe Einheit bezogen sein. Der Mittelwert von1m und200cm lässt sich erst nach einer Umrechnung sinnvoll bilden. Werden metrische Messwerte in Größenklassen zusammengefasst, bleibt eine Ordnung erhalten, aber genaue Abstände gehen verloren. Zahlen können umgekehrt auch nur nominale Kennungen sein.

  1. Vereinheitliche die Einheiten.

  2. Benenne die Information, die eine Gruppierung entfernt.

Eine neue Zahlencodierung erzeugt keine Messinformation.

So geht es am Beispiel

Bestimme den Mittelwert von1m und200cm.

Ein Meter entspricht100cm.

Der Mittelwert aus100cm und200cm beträgt150cm.

Ergebnis

Der Mittelwert ist150cm bzw.1,5m.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Kardinalskala · EinstiegOrdne Körpergröße, Platz im Rennen und Postleitzahl nach ihrer Bedeutung ein.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Körpergröße hat interpretierbare Abstände und einen natürlichen Nullpunkt. Der Platz gibt eine Ordnung, die Postleitzahl eine Kennung an.

    Ergebnis

    1. EinordnungKörpergröße metrisch/verhältnisskaliert; Platz ordinal; Postleitzahl nominal.
  2. Aufgabe 2Kardinalskala · EinstiegBestimme die Differenz zwischen18°C und12°C. Welche Einheit gehört zum Ergebnis?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Die Differenz beträgt sechs Celsiusgrade. Sie ist eine sinnvolle Abstandsangabe auf der Celsius-Skala.

    Ergebnis

    1. Differenz6 °C
  3. Aufgabe 3Kardinalskala · StandardEine Masse beträgt8kg, eine andere2kg. Wie groß ist ihr Verhältnis?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Beide Werte verwenden dieselbe Einheit. Acht geteilt durch zwei ist vier.

    Ergebnis

    1. Verhältnis4 zu 1
  4. Aufgabe 4Kardinalskala · StandardBestimme den Mittelwert aus50cm und1,5m.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      1,5m entsprechen150cm. Aus50cm und150cm ergibt sich der Mittelwert100cm.

    Ergebnis

    1. Mittelwert100 cm bzw.1 m
  5. Aufgabe 5Kardinalskala · TransferZeichne die Häufigkeiten der Längen10cm,20cm und30cm ein:2,3,1. Bestimme anschließend die gesamte Anzahl der Messwerte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Häufigkeitsdiagramm

    Vorbereitete Säulenachsen mit Kategorien und Häufigkeitsskala bis sechs.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Die Säulenhöhen sind2,3,1. Die Summe der Häufigkeiten ist sechs; die Länge und ihre Häufigkeit sind unterschiedliche Größen.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. HäufigkeitsdiagrammDie geschützte Musterzeichnung zeigt die vorgegebenen Häufigkeiten.
    2. Anzahl6
  6. Aufgabe 6Kardinalskala · TransferJemand behauptet: Metrische Daten müssen stetig sein. Beurteile das anhand der Anzahl eingehender Anrufe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Eine Anzahl nimmt nur ganze nichtnegative Werte an und ist daher diskret. Differenzen und ein natürlicher Nullpunkt sind dennoch sinnvoll.

    Ergebnis

    1. BegründungDie Behauptung ist falsch. Eine Anzahl ist diskret und zugleich metrisch/verhältnisskaliert.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich beurteile die Bedeutung der Werte statt nur ihre Schreibweise.
  • Ich begründe, ob Ordnung, Abstände und ein natürlicher Nullpunkt vorliegen.
  • Ich nutze nur Kennzahlen und Vergleiche, die durch die Skala gerechtfertigt sind.

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